分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用

分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用，主要的分式函数有 x2axb，man,，axbxc，，mxn,，sin，，， 等.解题的关键是通过恒等变形y,y,y,y,x2cxd，paq,，mxnxp，，pxq,，sin 从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 31x，例1 求函数的值域. fxx()(1),,x,2 3[(2)2]1x,，，3(2)77x,，解 由已知有. fx(),,,，3x,2xx,,22 1x,1x,,,21由，得.?. ,,,10x,2 ?函数的值域为. fx(){|43}yRy,,,, 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 xa，例2 已知函数，判断函数的单调性. fx()fxab()(),,xb， ()xbabab，，,,xb,, 由已知有，. 解y,,，1xbxb，， ab,,0所以，当时，函数在和上是减函数;当时，函ab,,0fx()(,),,,b(,),，,b 数在和上是增函数. fx()(,),,,b(,),，,b 3.用分离常数法求分式函数的最值 2xx，，710x,,1例3 设，求函数的最小值. fx(),x，1 x,,1x，,10解 ?，?. 由已知有 22(1)5(1)4xx，，，，[(1)1]7[(1)1]10xx，,，，,，4,fx(),,，，，[(1)]5xx，1x，1x，1 44x,1.当且仅当，即时，等号成立. x，,1,，，,2(1)59xx，1x，1 9x,1?当时，取得最小值. fx() 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题 2[2,4]例4 已知函数在上有零点，求的取值范围. gxxax()4,,，a 22xax,，,40[2,4][2,4]解 ?函数在上有零点，?方程在上有gxxax()4,,， 4实根，即方程在上有实根. [2,4]ax,，x 4令，则的取值范围等于函数在上的值域. fx()[2,4]afxx(),，x 4(2)(2)xx，,又在上恒成立，?在上是增函x,[2,4]fx()[2,4],fx()10,,,,22xx 数. ?，即.?45,,a. 4()5,,fxffxf(2)()(4),, 2.用分离参数法解决函数单调性问题 22xax2a，,例5 已知在上是单调递增函数，求的取值范围. [1,)，,af(x),2x aaa解 ?，?. fxx(),,，,fx()1,，2x2x 2,a,,x又在上是单调递增函数，?.于是可得不等式对于[1,)，,f(x),0f(x) 2x,1恒成立.?. ax,,()max 2x,1,,,x1a,,1由，得.?. 用分离参数法解决不等式恒成立问题 3. 2mxxm,,，,210,,,22m例6 已知不等式对满足的所有都成立，求的取mx 值范围. 2,,,22m解 原不等式可化为，此不等式对恒成立. (1)210xmx,,，, 2,,,22m构造函数，，其图像是一条线段. fmxmx()(1)21,,,， 22,fxx(2)2(1)210,,,,,，,,2230xx，,,,,，，1713,根据题意有，即.解得. ,,x,,2222fxx(2)2(1)210,,,，,2210xx,,,,,,, 4.用分离参数法解决不等式有解问题 例7 如果关于的不等式的解集不是空集，求参数的取值xaxxa,，,,，,34210范围. 原不等式可化为解. xxa,，,,,3421 ?原不等式的解集不是空集，?. (34)21xxa,，,,,min 又，当且仅当时，等号成立，?xxxx,，,,,,,,34(3)(4)1(3)(4)0xx,,, 211a,,a,1，即. 5.用分离参数法求定点的坐标 llmR,例8 已知直线(21)(1)740mxmym，，，,,,:，，求证:直线恒过定 点. 解 直线的方程可化为. lxymxy，,，，,,4(27)0 xy，,,40,设直线恒过定点.由，得. lmR,Mxy(,),M(3,1),270xy，,,, l?直线恒过定点. (3,1)