向量的模设a(X

向量的模设a(X 向量 ,,221/2(1) 向量的模:设=(X, Y)，则||=(X+Y) aa 平面向量的概 在平面内具有大小和方向的量叫做和向量 念 运算性质 实数与向量的 积 运算律 平面向量基本 定量 向量平行 向量垂直 定比分点公式 空间向量的概念在空间内具有大小和方向的量叫做和向量 共线向量定理 共面向量定理 空间向量基本定 理 两个向量的数量 积 空间向量的数量 积的性质 空间向量的坐标 运算 两向量的夹角 定比分点的向量公式:在平面上任取一点O，设，，若，OP,aOP,bPP,,PP1212 ,1,，则OPab。 1，,1，, 11PP特别地，当时，即P为线段的中点，则有OP,a，b。 ,,11222 ,,a,b42,cos,,,,,10210,25a,b ( 一、向量及向量的加减运算 1( 向量 (1) 向量的示方法有两种:一种是几何表示，它借用标有箭头的线段来表示向量;另一种是用一个 标有箭头的小写字母或两个大写英文字母来表示，也称作代数表示。 ABABAB(2) 向量的大小，就是向量的长度，叫做向量的模，记作。 (3) 方向相同或相反的一组非零向量叫做平行向量。 2( 向量的加法 (1) 求两个向量的和一般有两种几何方法:一是向量的三角形法则，二是向量加法的平行四边形法则。 向量的平行四边形法则不适用于两个共线向量。 (ab)ca(bc)，，,，，abba，,，(2) 向量的加法满足交换律和结合律:即，。 3( 向量的减法 bxa，,向量的减法有两种定义，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，即如果，那么 ab,abx叫做与的差，记作。第二种方法是先定义相反的向量，然后利用向量的加法定义:a(b)ab，,,,。 二、实数与向量的积，平面向量的坐标运算 1( 实数与向量的积的定义 ,aa,,实数与向量的乘积运算，其结果是一个向量，叫做实数与向量的积，记作，它的模为,,,aa。 2( 实数与向量的乘法的运算律 ab设m、n为任意实数，、为任意向量，那么 (mn)amana，,，(1); m(ab)mamb，,，(2); m(na)(mn)a,(3)。 3(两个向量共线的充要条件 ba,,ba, 向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得。 4(平面向量的坐标表示 OP(1)在直角坐标平面内，以原点为始点、点P为终点的向量，叫做点P的位置向量。 (x,y)(x,y)xxx,,yyy,,11222121AB(2)设A点的坐标为，B点的坐标为，则向量的坐标，，AB{xx,yy},,,2121即。 5(平面向量的坐标运算 a{x,y},b{x,y},,ab{xx,yy}，,，，ab{xx,yy},,,,112212121212(1)设，则，。 A(x,y),B(x,y)ABOBOA{xx,yy},,,,,11222121(2)设，则。 a{x,y},,,,,,,,a{x,y}(3)设，则。 6(向量平行的坐标表示 a{x,y},b{x,y},,a//bxyxy0,,,b0,11221221 设，且，则或xx12,,,(y0,y0)12yy12。这就是说，两个向量平行的充要条件是它们的坐标对应成比例。 7(线段的定比分点坐标公式 P(x,y),P(x,y),P(x,y)PP111222,,12 设，是实数，且点P分有向线段所成的比是，即 xx，,,12x,,,,1，,,yy，,12,y.,,PPPP,,1，,,12，则 三、平面向量的数量积 1(平面向量的数量积及其几何意义 abcos,(0),,,,abab,(1)如果两个非零向量和的夹角为，那么我们把叫做和的数量积， ab,a00,,a记作。特别的，对任意的，规定。 ,,,ababab,2(2)设和是两个非零向量，如果，则称和互相垂直，记作。所以，对于两个非零 abab,ab0,,,向量和，有。 ab,cos,,22aa,abab(3)利用向量的数量积定义还可知道:，非零向量和的夹角满足。 2(向量数量积的性质 ababba,,,性质1 对于任意向量、，。 abab,ab0,,,性质2 对于两个非零向量、，。 abab,,,abab,,,,abab性质3 当和同向时，，当和反向时，。 ab,cos,, abab性质4 (、为非零向量)。 abab,,性质5 。 3(平面向量数量积的运算律 abc,已知向量、、和实数，向量的数量积满足下列三条运算律: abba,,,(1); (a)b(ab)a(b),,,,,,,,(2); (ab)cacbc，,,,，,(3)。 4(平面向量数量积的坐标表示 a{x,y},b{x,y},abxxyy,,，11221212 设，，则。 5(向量的模 22aaaxy,,,，a{x,y}, 设向量，则。 6(两点间的距离公式 B(x,y)A(x,y)AB{xx,yy},,,22112121 设、，则向量，即 22AB(xx)(yy),,，,2121。 7(两向量的夹角 ab,xxyy,，,1212cos,,,2222abxyxy，,，a{x,y},b{x,y},11221122 设非零向量，，则。 8(两向量垂直的充要条件 a{x,y},b{x,y},1122 设两个非零向量，，则 ,,，,,xxyy0ab,ab0,,1212,。 四、空间向量 1(空间直角坐标系及空间点的坐标 OyOOxOz 从空间某一定点引三条互相垂直且有相同长度单位的数轴轴，轴及轴，这样就建立了空间直角坐标系。一般情况下，三根轴成右手系即伸出右手，将拇指、食指、中指伸展成互相垂直的状态， OyOxOz如果拇指所指的是轴正向，食指所指的是轴正向，则中指所指的为轴的正向。 2(空间两点的距离公式 222PP(xx)(yy)(zz),,，,，,P(x,y,z)P(x,y,z)1212121222221111 如果、，则。 3(空间向量及其运算 P(1)点的位置向量 OPOPP 在空间直角坐标系中，始点是坐标原点，终点是的向量，叫做点的位置向量。 P(x,y,z)CAB 设点在三条坐标轴上的射影分别是点、、。根据实数与向量乘法定义， OByj,OAxi,OCzk,得 ，，。 OPOAOBOCxiyjzk,，，,，，于是 。 {x,y,z}OPP 我们把有序实数组叫做空间中点的位置向量的坐标。 (2)空间向量的运算 a{a,a,a},b{b,b,b},,123123k 如果，为实数，那么 ab{ab,ab,ab}，,，，，112233; ab{ab,ab,ab},,,,,112233; ka{ka,ka,ka},123; ababcosababab,,,,,，，112233ab, (其中为和的夹角) (3)空间向量垂直或平行的充分必要条件 ab 对于非零向量和， ababab0，，,ab112233 和垂直的充要条件是:; abab,,,,ab 和平行的充要条件是:。 ab(4)两个空间非零向量和之间夹角的余弦公式 ababab,，,，ab,112233cos,,,222222abaaabbb，，,，，123123。