辗转相除法

辗转相除法 《1》辗转相除法
「辗转相除法」又叫做「欧几里得算法」,是公元前 300 年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的.利用这个方法,可以较快地求出两个自然数的最大公因数,即 HCF 或叫做 gcd.所谓最大公因数,是指几个数的共有的因数之中最大的一个,例如 8 和 12 的最大公因数是 4,记作 gcd(8,12)=4.
在介绍这个方法之前,先整除性的一些特点,注以下文的所有数都是正整数,以后不再重覆.
我们可以这样给出整除以的定义:
对於两个自然数 a 和 b,若存在正整数 q,使得 a=bq,则 b 能整除 a,记作 b | a,我们叫 b 是 a 的因数,而 a 是 b 的倍数.
那麼如果 c | a,而且 c | b,则 c 是 a 和 b 的公因数.
由此,我们可以得出以下一些推论:
推论一:如果 a | b,若 k 是整数,则 a | kb.因为由 a | b 可知 ha=b,所以 (hk)a=kb,即 a | kb.
推论二:如果 a | b 以及 a | c,则 a | (b?c).因为由 a | b 以及 a | c,可知 ha=b,ka=c,二式相加,得 (h+k)a=b+c,即 a | (b+c).同样把二式相减可得 a | (b-c).
推论三:如果 a | b 以及 b | a,则 a=b.因为由 a | b 以及 b | a,可知 ha=b,a=kb,因此 a=k(ha),hk=1,由於 h 和 k 都是正整数,故 h=k=1,因此 a=b.
辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数,在数值很大时尤其有用而且应用在电脑程式上也十分简单.其理论如下:
如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余数,即 m=nq+r,则 gcd(m,n)=gcd(n,r).
证明是这样的:
设 a=gcd(m,n),b=gcd(n,r)
则有 a | m 及 a | n,因此 a | (m-nq)(这是由推论一及推论二得出的),即 a | r 及 a | n,所以 a | b
又 b | r 及 b | n,所以 b | (nq+r),即 b | m 及 b | n,所以b | a.因为 a | b 并且 b | a,所以 a=b,即 gcd(m,n)=gcd(n,r).
例如计算 gcd(546, 429),由於 546=1(429)+117,429=3(117)+78,117=1(78)+39,78=2(39),因此
gcd(546, 429)
=gcd(429, 117)
=gcd(117, 78)
=gcd(78, 39)
=39 最小公倍数就是2个数的积除以最大公约数 《2》那我就按照你给的这个例子具体来说吧: 8251,6105，2146，为了示简单，我就用a=b+c表示这个吧 于是有c=a-b 那么如果有d|a,且d|b,就必然有d|a-b,也就是d|c, 可见a和b的公约数必然也是c的约数。 现在假设d是a,b的最大公约数，那么d也必然是c的约数，于是d是b,c的公约数，现在就要证明它是最大公约数—— 因为a=b+c，于是b,c的公约数也必然是a的约数，假设(b,c)=e,(根据"d是b,c的公约数"知道d|e)那么有e|b+c,即e|a,可见e也是a,b的公约数，e|d,综上有e=d 可见(a,b)=(b,c)=d 这个思想一推广，就成了辗转相除法了。 说的够明白吧?呵呵 ..... 《3》辗转相除法可以用画图像的方法证明 也就是把数字转换成长方形的面积 假设58 / 27 先把58看成一个面积为58的长方形 58里面有两个27，还余4 也就是说，面积为58的长方形可以看成由两个面积27的和一个面积为4的长方形组成 再用27除以4 得到6，余3 面积27 的都可以看成6个面积4的和一个面积3的长方形组成 最后拿4除以3得到1还余1 也就是4是由1个面积3的和1个面积1的组成 再最后，拿3除以1正好除尽 这样到最正好除尽的情况是结束 发现，58和27的最大公约数是1 具体你还要画图意会，不好意思了啊