参数估计习题

参数估计习题 第三章参数估计 一、单项选择题 以下每小题各有四项备选，其中只有一项是正确的. 1(对甲乙两个工厂工人平均工资进行纯随机不重复抽样调查，调查的工人数一样，两工厂工资方差相同，但甲厂工人总数比乙厂工人总数多一倍，则抽样平均误差( )。 A(甲厂比乙厂大 B(乙厂比甲厂大 C(两个工厂一样大 D(无法确定 [答案] A [解析] 在不重置抽样时，样本均值的方差为: 其中，为修正系数。由于N=2N，所以，则甲厂工甲乙 人的样本均值的方差大于乙厂工人。 2(对某单位职工的文化程度进行抽样调查，得知其中80%的人是高中毕业，抽样平均误差为2%，当置信度为95.45%时(z=2)，该单位职工中具有高中文化程度的比重是( )。 A(大于84% B(等于78% C(在76%,84%之间 D(在78%,82%之间 [答案] C [解析] 该单位职工中具有高中文化程度的置信区间为: =(80%-2×2%，80%+2×2%)=(76%，84%) 3(假定10亿人口大国和100万人口小国的居民年龄差相同，现在各自用重复抽样方法抽取本国的1‰人口了解年龄状况，比较抽样误差，两者的关系为( )。 A(两者相等 B(前者大于后者 C(前者小于后者 D(不能确定 [答案] C 2[解析] 在重置抽样时，样本均值的方差为总体方差σ的，即。可见，在标准差一定时，样本容量与抽样误差成反比，样本容量大的，抽样误差小。 4(重置抽样的特点是( )。 A(每次抽样的总体单位数都是不同的 B(各次抽选相互影响 C(每次抽选时，总体单位数都在逐渐减少 D(每次抽选时，总体单位数始终不变 [答案] D [解析] 重置抽样是指在抽取样本单位的时候每次只抽取一个样本单位，观察记录之后再放回到总体中参加下一次的抽样，这样在抽样的过程中总体单位总数始终不变。 5(当抽样单位数是原抽样单位数的4倍而其他条件保持不变时，随机重复抽样的平均误差比原来( )。 A(减少1/2 B(增加1/2 C(减少1/3 D(增加1/3 [答案] A [解析] 统计量的标准误差也称为标准误，它是指样本统计量分布的标准差。标准误差用于衡量样本统计量的离散程度，在参数估计中，它是用于衡量样本统计量与总体参数之间差距的一个重要尺度。就样本均值而言，样本均值的标准误差用SE或表示，计算公式。所以当抽样单位数是原抽样单位数的 。 4倍而其他条件保持不变时，随机重复抽样的平均误差比原来减少1/26(某企业生产一批袋装食品，共2000袋，按简单随机不重复抽样方式，抽取100袋检查其净重量是否合格，结果发现不合格率为5%，不合格率的抽样平均误差是( )。 A(2.18% B(2.12% C(0.5% D(0.48% [答案] B [解析] 在不重置抽样条件下，抽样成数的平均误差的计算公式为: 当总体比例的方差π(1-π)未知时，可用样本比例的方差p(1-p)代替。题中，已知N=2000，n=100，p=5%，那么不合格率的抽样平均误差为: 7(从一般意义上讲，抽样分布的含义是指( )。 A(一个样本中各观察值的分布 B(总体中各元素的观察值所形成的分布 C(抽样推断中假设的分布 D(样本统计量的概率分布 [答案] D [解析] 由样本统计量所形成的概率分布就是抽样分布，如样本均值的分布，样本比例的分布等。 8(联系一定的概率作参数区间估计时，概率表明的是要求估计的( )。 A(精确度 B(可靠程度 C(准确性 D(有效性 [答案] B [解析] 区间估计就是根据估计可靠程度的要求，利用随机抽取的样本的统计量值确定能够覆盖总体参数的可能区间的一种估计方法。概率越大，估计的可靠程度越高，置信区间就越宽;概率越小，估计的可靠程度越低，置信区间就越窄。 9(某地有2万亩稻田，根据上年资料得知其中平均亩产的标准差为50公斤，若以95.45%的概率保证平均亩产的误差不超过10公斤，按重复抽样条件计算，应抽选( )亩地作为样本进行抽样调查。 A(100 B(250 C(500 D(1000 [答案] A [解析] 在重复抽样条件下，由于，所以。已知z=2，4.55%/2σ=50，E=10，则。 210(当σ已知时，总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为( )。 A( B( C( D( [答案] A 22[解析] 如果总体X-N(μ，σ)，且方差σ已知，均值μ为待估参数，对于事先给定的小概率α有: 故总体均值μ在1-α置信水平下的置信区间为: 11(设一个总体共有6个元素，从中随机抽取一个容量为2的样本，在重置抽样时，共有( )个不同的样本。 12 C(6 D(1 A(36 B( [答案] A [解析] 设总体共有N个元素，从中随机抽取一个容量为n的样本，在重置抽样nn时，共有N种抽法，即可以组成N个不同的样本。题中，N=6，n=2，所以在重2置抽样时，共有6=36个不同的样本。 12(在不重复抽样条件下，如果不考虑顺序，其样本可能个数是( )。 A(N! B( C( D( [答案] C [解析] 不重置抽样是指在抽取样本单位的时候每次只抽取一个样本单位，观察记录之后不再放回到总体中参加下一次的抽样，这样在抽样的过程中总体单位总数始终在减少。在不重置抽样时，共有个可能的样本。 13(从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为13，32，45的样本，当样本容量增大时，样本均值的数学期望______，标准差______。( ) A(保持不变;增加 B(保持不变;减小 C(增加;保持不变 D(减小;保持不变 [答案] B [解析] 由于总体服从正态分布，所以样本均值的抽样分布仍为正态分布，数学期望不变;方差为，标准差为，故当样本容量n增大时，标准差减小。 214(从均值为μ，方差为σ(有限)的任意一个总体中抽取样本容量为n的样本，下列说法正确的是( )。 A(当n充分大时，样本均值的分布近似服从正态分布 B(只有当n,30时，样本均值的分布近似服从正态分布 C(样本均值的分布与n无关 D(无论n多大，样本均值的分布都为非正态分布 [答案] A 2[解析] 根据中心极限定理，设从均值为μ，方差为σ的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ，方差为的正态分布。 15(总体均值为50，标准差为8，从此总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值的抽样分布的均值和标准差分别为( )。 A(50;8 B(50;1 C(50;4 D(8;8 [答案] B [解析] n=64?30，根据中心极限定理，当总体均值为μ，标准差为σ时，从该任意总体中抽取样本量为n的样本，n充分大时，样本均值的抽样分布的均值为:μ=50，标准差=。 16(假设总体比例为0.3，采取重置抽样的方法从此总体中抽取一个容量为100的简单随机样本，则样本比例的期望是( )。 A(0.3 B(0.8 C(1.6 D(2 [答案] A [解析] 当样本容量比较大(n=100?30)时，样本比率p近似服从正态分布，且有p的数学期望就是总体比率π，即:E(p)=π=0.3。 17(在重置抽样时，假设总体比例为0.2，从此总体中抽取容量为100的样本，则样本比例的标准差为( )。 A(0.2 B(0.02 C(0.04 D(0.16 [答案] C [解析] 在重置抽样时，样本比例的标准差=。 条件时，可以认为抽样成数的概率分布近似正态分布。 18(满足下面( ) A。n?30，np?5，n(1-p)?5 B(n?30，np?5，n(1-p)?5 C(n?30，np?5，n(1-p)?5 D(n?30，np?5，n(1-p)?5 [答案] A 19(按重置抽样方式从总体随机抽取样本量为n的样本。假设总体标准差σ=2，如果样本量n=16增加到n=64，则样本均值的标准差( )。 A(减少4倍 B(增加4倍 C(减少一半 D(增加一半 [答案] C [解析] 当样本量n=16时，样本均值的标准差为:;当样本量n=64时，样本均值的标准差为:。因此，当样本量从n=16增加到n=64时，样本均值的标准差减少一半。 20(其他条件相同时，要使样本均值的标准差减少1/4，样本量必须增加( )。 A(1/4 B(4倍 C(7/9 D(3倍 [答案] C [解析] 样本均值的标准误差的计算公式为;。要使标准误差减少1/4，即为原来3/4，则样本量应为原来的16/9倍，即增加7/9。 21(参数估计分为( )。 A(点估计和区间估计 B(区间估计和无偏估计 C(点估计和无偏估计 D(区间估计和一致估计 [答案] A 22(估计量的数学期望等于总体参数这一标准称为( )。 A(一致性 B(无偏性 C(有效性 D(随机性 [答案] B [解析] 无偏性是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。设总体参数为θ，所选择的估计量为，如果，则称为θ的无偏估计量。 23(总体方差的无偏估计量是( )。 A( B( C( D( [答案] B [解析] 由样本均值的抽样分布可知，，E(p)=π，同样可以证明， 2222E(s)=σ，因此，、p、s分别是总体均值μ、总体比例π、总体方差σ的无偏估计量。 24(抽样估计的有效性，是指作为优良估计量的方差，应该比其他估计量的方差( )。 A(大 B(小 C(相等 D(无关 [答案] B [解析] 有效性是指估计量的方差尽可能小。一个无偏的估计量并不意味着它就非常接近被估计的总体参数，估计量与参数的接近程度是用估计量的方差(或标准误差)来度量的。对同一个总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。 25(在抽样估计中，随着样本容量的增大，样本统计量接近总体参数的概率就越大，这一性质称为( )。 A(无偏性 B(有效性 C(及时性 D(一致性 [答案] D [解析] 一致性是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。即一个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体的参数。 26(对一部贺岁片收视率进行调查，随机抽取100人，其中有20人没有看过这部贺岁片，则看过这部贺岁片人数比率的点估计值为( )。 A(20% B(20 C(80 D(80% [答案] D [解析] 点估计就是用样本统计量的实现值来近似相应的总体参数。本题中，样本为随机抽取的100人，有20人没有看过该部贺岁片，则看过这部贺岁片的人数有80人，因此看过这部贺岁片人数比率的点估计值为80/100=80%。 27(当正态总体的方差未知，且为小样本条件下，构造总体均值的置信区间使用的分布是( )。 2A(正态分布 B(t分布 C(χ分布 D(F分布 [答案] B [解析] 如果总体方差未知，且为小样本条件下，需要用样本方差代替总体方差，样本均值经过标准化以后的随机变量服从自由度为(n-1)的t分布，需要采用t分布来建立总体均值的置信区间。 228(设总体X,N(μ，σ)，基于来自总体X的容量为16的简单随机样本，测 2得样本均值=31.645，样本方差s=0.09，则总体均值μ的置信度为0.98的置信区间为( )。 A((30.88，32.63) B((31.45，31.84) C((31.62，31.97) D((30.45，31.74) [答案] B [解析] 这是σ未知的小样本情形。总体均值μ的1-α的置信区间为 ，代入数据可得总体均值μ的置信度为0.98的置信区间为(31.45，31.84)。 29(抽取一个容量为100的随机样本，其均值为=81，标准差s=12。总体均值μ的95%的置信区间为( )。 A(81?1.97 B(81?2.35 C(81?3.10 D(81?3.52 [答案] B [解析] 在大样本的情况下，总体均值的置信区间为，α=0.05，所以总体均值μ的95%的置信区间为，即(81?2.35)。 230(在其他条件不变的情况下，当总体方差σ已知时，要使总体均值的置信区间的宽度缩小一半，样本量应增加( )。 A(一半 B(一倍 C(三倍 D(四倍 [答案] C 2[解析] 当总体方差σ已知时，总体均值的置信区间为，置信区间宽度为，则在其他条件不变的情况下，要使置信区间的宽度缩小一半，则样本量应该为原来的4倍，即样本量应增加3倍。 31(在其他条件不变的情况下，总体数据的方差越大，估计时所需的样本量( )。 A(越大 B(越小 C(可能大也可能小 D(不变 [答案] A [解析] 根据公式可知，在其他条件不变的情况下，样本量n与总2体数据的方差σ成正比，总体数据的方差越大，估计时所需的样本量越大。 32(小区的写字楼月租金的标准差为80元，要估计总体均值95%的置信区间，希望的允许误差为15元，应抽取的样本量为( )。 A(100 B(110 C(120 D(130 [答案] B [解析] 已知σ=80，E=15，z=z=1.96，所以应抽取的样本量为: α/20.05/2 33(企业要提出一项改革措施，为估计职工中赞成该项改革的人数比例，要求允许误差不超过0.03，置信水平为90%，应抽取的样本量为( )。 A(552 B(652 C(757 D(852 [答案] C [解析] 因为总体比例π未知，取π=0.5，而z=z=1.65，E=0.03，所以α/20.1/2 应抽取的样本容量为:。 二、多项选择题 以下每小题至少有两项正确答案。 1(由样本均值的抽样分布可知样本统计量与总体参数之间的关系为( )。 A(在重复抽样条件下，样本均值的方差等于总体方差的1/n B(样本方差等于总体方差的1/n C(样本均值的期望值等于总体均值 D(样本均值恰好等于总体均值 E(样本均值的方差等于总体方差 [答案] AC [解析] 在重置或者不重置抽样的条件下，样本均值的期望值恰好等于总体均 2值。在重置抽样时，样本均值的方差为总体方差σ的1/n，即。在不重置抽样时，样本均值的方差为。 2(区间估计中总体指标所在范围( )。 A(是一个可能范围 B(是绝对可靠的范围 C(不是绝对可靠的范围 D(是有一定把握程度的范围 E(是毫无把握的范围 [答案] ACD [解析] 区间估计就是根据估计可靠程度的要求，利用随机抽取的样本的统计量值确定能够覆盖总体参数的可能区间的一种估计方法。它是包括样本统计量在内(有时是以统计量为中心)的一个区间，该区间通常是由样本统计量加减估计标准误差得到的。 3(重复抽样的特点是( )。 A(各次抽选互不影响 B(各次抽选相互影响 C(每次抽选时，总体单位数逐渐减少 D(每次抽选时，总体单位数始终不变 E(各单位被抽中的机会在各次抽选中相等 [答案] ADE [解析] 重复抽样是指在抽取样本单位的时候每次只抽取一个样本单位，观察记录之后再放回到总体中参加下一次的抽样，这样在抽样的过程中总体单位总数始终不变。BC两项属于不重复抽样的特点。 24(设总体X,N(μ，σ)，X，X，X，X是正态总体X的一个样本，为样本12342均值，S为样本方差，若μ为未知参数且σ为已知参数，下列随机变量中属于统计量的有( )。 A(X-X+X B(2X-μ C( D( 1233 E( [答案] AE [解析] 统计量是指针对不同的统计问题构造一个不含未知参数的样本函数。BCD三项，因为函数中都含有未知参数μ，所以不属于统计量。 5(下列关于统计量的表述中，正确的有( )。 A(统计量是样本的函数 B(估计同一总体参数可以用多个不同统计量 C(统计量是随机变量 D(统计量不能含有任何总体参数 E(统计量不能含有未知的参数 [答案] ABCE [解析] 在样本抽取出来以后，样本值就是已经观察到的值，这个样本的统计量就是已知的，构成统计量的函数中不能包含未知因素。 6(在重置抽样中，( )。 A(每个单位在每次抽样都有相同被抽中的概率 B(每个单位都有可能在样本中出现1次 C(每抽1次，总体单位减少1个 D(n次抽样之间相互独立 nE(可以形成N个可能样本 [答案] ABDE [解析] C项，每抽取1次，总体单位减少1个，这是不重置抽样的特点;在重置抽样中，由于抽取样本后放回，所以总体单位数是不变的。 7(若“”都是总体参数θ的无偏估计量，下列说法中正确的有( )。 A( B(若，则更有效 C( D(若a，b为常数，并且a+6=1，则也是θ的无偏估计量 E(是θ的无偏估计量 [答案] BCD [解析] 若估计量的数学期望E()存在，且对于任意θ?Θ有E()=θ，则称是θ的无偏估计量。设都是θ的无偏估计量，若有D()?D()，则称有效。由题意知:E()=θ，E()=θ。所以 ? ?也是θ的无偏估计量; ?显然，，即不是θ的无偏估计量。 8(下列说法中正确的有( )。 A(样本均值是总体均值的无偏估计量 B(样本比例是总体比例的无偏估计量 C(样本均值是总体均值的一致估计量 D(样本标准差是总体标准差的无偏估计量 E(样本方差是总体方差的无偏估计量 [答案] ABCE 9(一盒中装有大量的红、蓝两色的弹子，但比例未知，现随机摸出100粒弹子，发现53颗是红的，盒子中红弹子的百分比估计为53%，估计标准误差为5%，下列陈述正确的有( )。 A(53%是盒中红弹子比例的点估计 B(5%度量了抽样误差的可能大小 C(可能偏离盒子中红弹子的百分数5%左右 D(盒子中红弹子百分数的近似95%置信区间为从43%到63% E(样本中红弹子百分数的近似95%置信区间为从43%到63% [答案] ABCD [解析] D项，盒子中红弹子百分比的置信区间是 代入数据可得，其95%的置信区间是[43%，63%];E项，样本中红弹子百分数是53%，是个确定的数。 10(若一组数据服从正态分布，则下列判断正确的有( )。 A(正态随机变量落入其均值左右各1个标准差内的概率是68.27% B(正态随机变量落入其均值左右各2个标准差内的概率是68.27% C(正态随机变量落入其均值左右各2个标准差内的概率是95.45% D(正态随机变量落入其均值左右各3个标准差内的概率是99.73% E(正态随机变量落入其均值左右各4个标准差内的概率是99.73% [答案] ACD 三、判断题 1(将一组数据经过标准化处理后，其平均值为1、方差为0。( ) [答案] × [解析] 将一组数据经过标准化处理后，其平均值为0、方差为1。 2(在参数估计中，无偏性是衡量一个估计量是否理想的唯一准则。( ) [答案] × [解析] 评价估计量的标准有:?无偏性，是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数;?有效性，是指估计量的方差尽可能小;?一致性，是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估计总体的参数。 3(区间估计不仅给出了未知参数的估计范围，而且还可以给出该范围包含参数真值的可信程度。( ) [答案] A 4(样本均值的均值就是总体均值。( ) [答案] A 5(重置抽样的抽样标准误差一定大于不重置抽样的抽样平均误差。( ) [答案] A [解析] 重置抽样的抽样标准误差;不重置抽样的抽样标准误差 ;因为一般情况下，，所以。 6(标准正态分布的均值为0，标准差为1。( ) [答案] A 7(标准化公式为。( ) [答案] A 8(估计量的有效性与其方差无关。( ) [答案] × [解析] 有效性是指估计量的方差尽可能小。 9(样本量越大，样本均值的抽样标准差就越大。( ) [答案] × [解析] 根据样本均值的抽样分布可知，样本均值抽样分布的标准差，所以样本量越大，样本均值的抽样标准差就越小。 10(当正态总体方差已知时，在小样本情况下可以用正态分布对总体均值进行估计。( ) [答案] A [解析] 如果总体服从正态分布，则无论样本量如何，样本均值的抽样分布都服从正态分布，这时，只要总体方差已知，即使在小样本的情况下也可以按照公式(0，1)对总体均值进行估计。 11(一个无偏估计量意味着它非常接近总体的参数。( ) [答案] × [解析] 一个无偏估计量并不意味着它非常接近总体的参数，它还必须与总体参数的离散程度比较小。对于同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效。 四、综合应用题 (一)某小组5个工人的周工资分别为140、160、180、200、220元，现在用重置抽样的方法从中抽出2个工人的工资构成样本。写出样本均值的概率分布。 解:总体均值和方差分别为: 2从总体中采取重置抽样方法抽取样本量为2样本，共有5=25个可能的样本。计算出每一个样本的均值，结果如表3-1所示。 表3-1 平均工资 140 160 180 200 220 140 140 150 160 170 180 160 150 160 170 180 190 180 160 170 180 190 200 200 170 180 190 200 210 220 180 190 200 210 220 合计 800 850 900 950 1000 每个样本被抽中的概率相同，均为1/25。将表3-1整理后得表3-2，即为样本均值的概率分布。 表3-2 样本均值的取值 样本均值的个数 样本均值的概率 140 1 1,25 150 2 2,25 160 3 3,25 170 4 4,25 180 5 1,5 190 4 4,25 200 3 3,25 210 2 2,25 220 1 1,25 (二)从某大学全体教师中随机抽取16名教师，了解到他们的平均月收入为2000元，标准差为400元。假定该大学教师的月收入服从正态分布，试以95%的置信水平估计该大学教师的平均月收入。 解:因为总体服从正态分布，且是小样本，总体方差未知，所以应采用t统计量估计。已知n=16，=2000，s=400，1-α=0.95，(n-1)=t(15)=2.131，0.025所以该大学教师平均月收入的置信区间为: 即(1786.9，2213.1)，该大学教师的平均月收入的置信区间为1786.9,2213.1元。 (三)一家调查公司进行一项调查，其目的是为了了解某市电信营业厅大客户对该电信服务的满意情况。调查人员随机访问了30名去该电信营业厅办理业务的大客户，发现受访的大客户中有9名认为营业厅现在的服务质量较两年前好。试在95%的置信水平下对大客户中认为营业厅现在的服务质量较两年前好的比例进行区间估计。 解:由已知n=30，z=z=1.96得，抽样结果的样本比例为p=9/30=30%。 α/20.05/2 总体比例置信区间为: 即(13.60%，46.40%)。 (四)为调查某单位每个家庭每天观看电视的平均时间，从该单位随机抽取了16户家庭，计算得样本均值为6.75小时，样本标准差为2.25小时。要求: 1(对家庭每天平均看电视时间进行区间估计。 2(若已知该市每个家庭看电视置信水平为95%，假设允许的估计误差为1.20，问此时需调查多少户才能满足要求? 解:1(已知:n=16，=6.75，s=2.25，t(15)=2.131。所以该单位平均每个0.025 家庭每天看电视的95%的置信区间为: 即(5.55，7.95)。 2(α=0.05时，z=z=1.96，E=1.20，需要调查的家庭户数为: α/20.025 (五)假定总体比例π=0.55，从该总体中分别抽取样本量为100、200、500和1000的样本。 1(分别计算样本比例的标准差σ。 p 2(当样本量增大时，样本比例的标准差有何变化? 解:1(n=100时，样本比例的标准差为: 同理，可以计算出n=200，500，1000时的样本比例的标准差分别为0.035，0.022，0.016。 2(当样本量增大时，样本比例的标准差越来越小。 (六)假设一家大型企业有职工5000人。为了解全体职工上、下班花费在路途上的平均时间a，进行随机抽样调查。首先经过预抽样，得标准差为10分钟。问为使对a的估计的边际误差以95%的概率不大于5分钟，至少需要抽查多少名 职工? 解:α=0(05，z=1.96，s=10，E=5，因此 0.05/2 需要抽取16名职工。 (七)为了确定某大学学生配戴眼镜的比例，调查人员欲对该大学的学生进行抽样调查。而根据以往的调查结果表明，该大学有75%的学生配戴眼镜，则对于允许误差π分别为(1)5%;(2)10%;(3)15%时，抽取的样本量各为多少较合适?(σ=0.05) 解:根据估计总体比例时样本容量的确定公式:，其中z=z=1.96，π=0.75，则: α/20.025 (1)当允许误差E=0.05时，有: 。 (2)当允许误差E=0.10时，有:。 (3)当允许误差E=0.15时，有:。