利用均值不等式求最值问题方法探讨

利用均值不等式求最值问题方法探讨 南阳一中数学组 苗春章 在高中求二元变量产生的最值问题是重点内容，也是高考重点考察的内容。我结合这几年的教学体会和学生在处理问题时遇到的困惑，谈一下我对利用均值不等式求最值的认识和体会。 在高二必修五第三章3.1是基本不等式;3.2是基本不等式与最大(小)值。我在讲授时，学生普遍感觉在接受上难度比较大，在独立解题时利用它求解更是困难重重。我就针对学生的这些疑虑，思考了这一篇文章，以便对学生有所帮助。 一、明确均值不等式求最值的原则 首先，我明确告诉学生求二元变量产生的最值问题可以有许多工具，高中阶段可供选择的工具有:?构造常见的7个基本求值域(常见的7个基本函数是指:一次函数、二次函数、对勾函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数);?线性规划;?均值不等式;?柯西不等式(两个向量数量积小于等于模的积)。然后再告诉学生均值不等式仅 xy，,xy是一个基本不等式:只要为非负数，就有成立(当且仅当时取等号)，xy,xy,2 不等式本身并不产生最值问题，要产生最值问题就必须已知明确这两个变量的一个定xy,式。只有已知了定式才能够求这两个变量产生的其它代数式的值。 2s均值不等式也仅能处理这两个变量在和为定值的情况下，积有最大值;在这两个s4变量在积为定值p的情况下，和有最小值;并且在和为定值，积为定值时也不一定就2p 能得到积的最大值、和的最小值，且必须看这时xy,是否成立。也就是我们常说的利用均值不等式求二元变量产生的最值时，必须遵循“一正”“二定”“三相等”的原则。 二、利用均值不等式可以处理哪些最值问题 能利用均值不等式求最值的问题，也一定能把该问题转化为求基本函数值域的问题，且它仅与形如fxaxxxxba()()()(0),,,，,的二次函12 afxxa()(0),，,数和的对勾函数相联系。看下面两例: x 例1，求的最大值。 fxxxx()3(1),(01),,,, 10 1 利用二次函数求解，画出二次函数简图(如图) 2 13fxf()(),,可得答案。 max24 xx，,132xx,,1fxxx()3(1)3(),,,,,利用均值不等式可有，当且仅当时取 24 1,(0,1)得最大值，此时。 2 1fxxx()3,(0),，, 例2，求的最小值。 x 1 利用对勾函数，画出图像可得 y3。 fxf()()23,,min3 1利用均值不等式可有，当且仅3fxx()323,，,,x3 3 x 0 133当时，即时得最小值。 3x,23x,x3 为什么这两道例题的最值求法可以用均值不等式呢, 1因为在例1中，为定值1,;例2中3x，为xx，,(1)x 定值3.所以可以利用均值不等式代替相对应函数求出最值。 若把例1中的定义域改为，求的最大值。由的图像易知x,1.2fxxx()3(1),,fx(),, ; fxf()(1)0,,max2 0 1 3而利用均值不等式得到的最大值仍然是，这就不对了。因4 1xx,,1为此时虽然有x,1.2为定值1，但此时得不在定义域中。利用均值xx，,(1),,2 不等式求解就错了。所以利用均值不等式求最值时一定要验证取得这个最值时，这样的变量是否存在。 x,0x,2 再如在例2中，把改为;则由对勾函数图像很易求得 113113x，3x,fxf()(2)6,,，,;若利用均值不等式虽然有等于定值3，但此时minxx22 32,，,得不在内，这样一来利用均值不等式求解也错了。 x,，,3 学生可以练习以下两道练习题: 2xyx,,,(1)练习1:，求函数的最小值。 x,1 练习2，求函数的最大值。 yxxx,,,,2(4),(04) 解法略(提示练习1中可以令，问题就可以迎刃而解) xtt,,,1,0 这样学生就明确了利用均值不等式求解时必须遵循的原则。既然利用均值不等式能求的最值问题都可以转化为相应的基本函数来处理，那为什么还要用均值不等式求最值呢, 三、均值不等式相应于函数解最值问题的优势和方便 有这样两道例题: 1221mn，,，mn,例3，已知均为正数，且;求的最小值。 mn 2 2例4，关于的不等式在上恒成立，求的取值范围。 xax，，,10x,0,2xa，, 21mn，,nm,,12例3中若采用常规的构造函数的方法比较麻烦，首先，从中解得， 121121,,,,，代入中得到关于的函数。而这个函，mm,0,fmm(),0,,，,,,,,mn2mm122,,,,,数的值域的求法很多学生都头疼，觉得相当麻烦，我到这儿也不在求解。若换种思路，就简 1212化多了。=。把上式展开得到: ，()(2)，,，mnmnmn 12nm4nm4==。 ()(2)，,，mn22，，，4，，mnmnmn nm4nm4有均值不等式，当且仅当,时，即时取得等号。 ，,4nm,2mnmn 121212,8，，所以=，函数的最小值为8. ()(2)，,，mnmnmnmn 例4中若采用常规的二次函数分区间讨论求解，需要分三种情况，即对称轴 aaa,,,,,0,,,0,2,,，,2, ，学生会觉得相当麻烦。我也换了种解法，对不，，，，,,222 22等式xax，，,10变形，可得xax，,,1在x,0,2上恒成立。上式两边同时除以，x，, 11x，xa，,,2得在x,0,2上恒成立，利用均值不等式可以求得的最小值为。所以，,xx ,,a2a,,2，即。 在高中阶段有时转换一下解题工具的选择，会收到意想不到的效果，这需要对每一工具把握的很熟悉，以上两题就充分体现了利用均值不等式在求最值方面的优势和方便。 学生可以练习以下练习题: 2xax,，,40x,0,2练习题3:已知关于的不等式在上恒成立，求的取值范xa，,围。 2xmx，，,40练习题4:当时，关于不等式恒成立，则的取值范围是 xmx,(12)， 四、利用均值不等式容易出错的问题 在2010年河南的高中有这样一道考题: 0,,abfxx()lg,,例5(2010全国数学1卷第10题)已知函数若，且，fafb()(),ab，2则的取值范围是( ) ，A.22,，,B.22,，,C.3,，,D.3,，, ，，，,，，，， 1ab,lglgab,b,解:因为fafb()(),，所以，所以(舍去)，或，所以a 220,,ab01,,,ababa，,，2faa(),，，又，所以，令，由“对勾”函数的性aa 3 2ab，2质知函数在上为减函数，所以，即的取值范围是0,1faf()(1)13,,，,fa()，,1 。而考生在解本题时极易忽视的取值范围，而利用均值不等式求得C.3,，,a，， 2。从而错选，这也是命题者的用心良苦之处。 Aaba，,，2,22a 例6下列命题中正确的是( ) 2x，31的最小值是2 y,的最小值是2 Ay,x，B2xx，2 2x，545Cy,2,3x,y,的最小值是 的最大值是 D2,4322xx，4 学生如果仅用均值不等式去求解，还真找不出答案，认真推敲后，仿照上例，本题答 C案应该选.这是学生很容易出错的题目。能把这些题目甄别清楚，也就把能利用均值不等式求最值的问题搞清楚了。 学生可以练习以下练习题: 23，x，x练习题5:函数y,(x,0)的最小值是 ( ) 1，x 3333 A(2 B(,1，2 C(1，2 D(,2，2 22x,2x，1x,1y,练习题6:当时,求的最小值. x,1 以上仅是个人在关于均值不等式教学中的一点认识，希望同志们多提宝贵意见和不足，本人深感谢。 4