积分因子法习题（doc X页）

积分因子法习（doc X页） 习题2—5 1( 求解下列微分方程: 2322(1); (3xy，2xy，y)dx，(x，y)dy,0 ,P,Q22解 这里，因此原方程不是恰当方程，由于 ,3x，2x，3y,,2x,y,x 1,P,Q ， (,),3Q,y,x于是原方程有积分因子 3dx3x,. ,(x),e,e将它乘原方程两边，得到一个恰当方程 3x233x22， e(3xy，2xy，y)dx，e(x，y)dy,0 改写为 3x223x3x32， [e(3x，2x)ydx，xedy]，e(ydx，ydy),0 即 123x3x3d(xey)，d(ey),0. 3由此可求得通积分 123x3x3xey，ey,C. 3 22(2); ydx,(x，y，x)dy,0 解 把方程改写为 22 . (ydx,xdy),(x，y)dy,0 1容易观察出一个积分因子为,，将它乘原方程两边，得 ,22x，y ydx,xdy,dy,0. 22x，y 即 y,d(arctan),dy,0 . x从而原方程的通积分为 yarctan，y,C. x 322(3); 2xydx，(xy,1)dy,0 ,P,Q22,6xy,,2xy解 这里，因此原方程不是恰当方程，由于 ,y,x 1,Q,P2 ， (,),,P,x,yy于是原方程有积分因子 2,dx(),1y. ,(x),e,2y将它乘原方程两边，得 12， (2xydx，xdy),dy,02y从而原方程的通积分为 12. xy，,Cy 322(4); ydx，2(x,xy)dy,0 解 把方程改写为 322 . (ydx,2xydy)，2xdy,0 22yy11,C和通积分，因而它有更一般的积分因子，前一不难看出，前一组有积分因子g()122xxyxxy 11g(y)组有积分因子和通积分，故它有更一般的积分因子.为使关系式 y,C222xx 21y1 g(),g(y)1222xxyx 成立，可取 2y1g(),1，. ,g(y)12xy 1从而得到原方程的积分因子,，以它乘方程的两端，得到 ,2xy 2ydx,2xydy2 . ，dy,02yx 从而原方程的通积分为 2y2lny,,C. x 此外，原方程还有解x,0,y,0. 2( 证明方程 P(x,y)dx，Q(x,y)dy,0 ? 有形如的积分因子的充要条件是 ,,,(,(x,y)) ,P,Q,,y,x ? ,f[(x,y)],,,,,Q,P,x,y 并写出这个积分因子，然后将结果应用到下述各种情形，得出存在每一种类型积分因子的充要条件: 22(1); (2); ,,,(x,y),,,(x，y) y(3); (4); ,,,(),,,(xy)x ,,(5). ,,,(xy) 证明 方程有积分因子的充要条件是 ,(x,y) ,,,,,Q,P. P,Q,,(,),y,x,x,y令，则有 ,,,(,(x,y)) ,,,,,,,,ddQP ,,,， PQ(),(,(x,y)),,,,dydxxy,, 即满足下列微分方程 ,,,(,(x,y)) ,Q,P,,()((,)),xy,d,x,y, ? ,,,,d,P,Q,y,x 由于上式左端只与有关，所以右端亦然，因此微分方程?有形如的积分因子的充,(x,y),,,(,(x,y)) 要条件是 ,P,Q,,y,x,f[,(x,y)] . ,,,,Q,P,x,y 求解?式得 f[,(x,y)]dy,,[,(x,y)]e, . 将此结果应用到下列各种情形，有 22(1)具有形式的积分因子的充要条件: ,,,(x，y) ,P,Q,,y,x . ,f(x,y)Q,P (2)具有形式的积分因子的充要条件: ,,,(x,y) ,P,Q,,y,x22 . ,f(x，y)xQ,yP (3)具有形式的积分因子的充要条件: ,,,(xy) ,P,Q,,y,x . ,f(xy)yQ,xP y(4)具有,,,()形式的积分因子的充要条件: x ,P,Q,y,y,x,f() . yPxQ，2xx ,,(5)具有形式的积分因子的充要条件: ,,,(xy) ,P,Q,,y,x,,,f(xy) . ,,QP,xy 5( 设，，，都是连续可微的，而且，是,(x,y),(x,y),(x,y),(x,y)P(x,y)Q(x,y)1212 微分方程 ? P(x,y)dx，Q(x,y)dy,0 ,,(x,y)(x,y)11,C的两个积分因子，不恒为常数.试证明:是方程?的一个通积分.证明 因为,(x,y),(x,y)22,(x,y),(x,y)，是微分方程?的两个积分因子，所以 12 ,P(x,y)dx，,Q(x,y)dy,dU(x,y)， 111 ,P(x,y)dx，,Q(x,y)dy,dU(x,y)， 222 ,,U,UPP111,,:从而有 ， ,x,y,QQ1 ,,U,UPP222 ， ,,:,x,yQQ,2 ,,dUD(U,U)11112故，则与函数相关，即.又且不恒为常数.又,UUU,,(U),01221,,dUD(x,y)222 ,dUdU111111，令，所以， ,,,,,(U),,(U)11''''dU,,(U)dU,(U),,(U)(U)2212111 ,1而是方程?的一个通积分.故是方程?的一个通积分. ,C,(U),C1,2