关于“最小的偶数”的讨论

关于“最小的偶数”的讨论 关于“最小的偶数”的讨论 中小学数学?小学版2009年第9期 江苏省盐城市迎宾路小学(224001)卞恩鸿 小学名师网”名师论坛”栏目上发了某网友的帖 子:”最小的偶数是几?恳请有关专家,教师指正!新 课改后,在约数,倍数一章,原来只讨论自然数.随着 自然数中0的加入,最小的偶数是否发生了变化呢? 我认为由原来的2,变成0.不知道是否正确,恳请指 正!谢谢各位.” 此帖引起笔者加入探讨的兴趣,最终写成此文敬 请各位同行指正! 观点一最小的偶数是2 持”最小的偶数是2”观点的人,大多数是上世纪 八十年代任教数学的老教师,或者是在那段时期上小 学的年轻教师.那时,小学数学教科书里,0还不是自 然数,没有学习负数,在教科书里”2是最小的偶数”. 持”最小的偶数是2”观点的人,还有坚持认为”0 不是偶数”的,说:”我认为0不能算偶数,因为什么叫 偶数?能被2整除的数叫做偶数,而在整除的概念中 把0是排除在外的,都是指非零自然数.” 持”最小的偶数是2”观点的人,最具代表性的陈 述是:”一次考试阅卷,五年级的试卷中有这样一道题: 最小的偶数是几?绝大部分的老师都认为是2,但有 现实,选择学生最常见,最熟悉的直角是90~作为知识 的切入点.2.环环紧扣,步步设伏,先等分直角,让学 生形成一些特殊角的大小的表象,再过渡到等分平角, 由两等分,4等分直到180等分.在教师精心指导下, 学生逐步认识量角器的制作原理,顺理成章地自己”创 造”出量角器的雏形,使学生由”量角器的使用者”提升 成了”量角器的制作者”.3.用探索学习与接受学习 相结合的方式,认识量角器组成部分的名称及其作用. 4.让学生认识”以角比角”和”用量角器量角”的内在 联系,进而揭示出量角方法的实质.5.设计多层次的 练习,从正反两方面深化了学生对量角方法的理解,拓 展了学生知识视野,还渗透了数学思想方法等等.这 些都是本课的显着特点,它们如一颗颗夺目的珍珠,贯 穿于整个课堂,使课堂生机勃勃,充满了魅力.本堂课 给我们的启示有以下三点: 1.创造性地使用教材. 教材应该得到珍视.但我们不能拘泥于教材,而应 根据学生的实际,创造性使用教材,以提高教学质量. 人教版小学数学第七册37页中,对于1度的概念 是这样规定的:”把半圆分成180等份,每一份所对的 角的大小是1度,记做l..”这个定义本身就有瑕疵. 把半圆180等分,每一份应是小扇形,它没有所对的 角,只有所对应的角(即它本身的中?心角).因此应把 原定义中的”对”改为”对应”才妥!而且这一定义隐晦 难懂,学生不易理解.教者独树一帜地提出:”把平角 180等分,每一份就是1度的角”.这一简明易懂的定 义既解决了教学难点,又弥补了课本中的定义的不足! 还有利于学生准确表述1度的角,培养学生数学语言 表达能力.在教学中,又几次把平角加上了限制词”半 圆中的平角”,这既充分揭示了”等分半圆”实质上就是 “等分半圆中的平角”,又顺理成章地引出了量角器. 这就是教者创造性使用教材的精妙之处1 2.尽可能向学生提供充分从事数学活动的机会. 让学生认识量角器的教学中,一般老师认为:只需 要介绍量角器各部分的名称就可以了.而教者却独树 一 帜地安排了”看一看”,”指一指”,”说一说”,”议一 议”等多种活动,这样既能激发学生自主探索的积极 性,又能通过动眼,动手,动口,动脑,多种感官感知量 角器的组成部分和作用,为量角打下良好的基础;还能 培养学生的观察能力,想象能力和数学表达能力.特 别是生4精彩的发言和丰富的想象力,真是让人拍手 叫绝!试想,没有这些数学活动,学生的聪明才智能展 现得如此淋漓尽致吗? 用量角器量角是本堂课的重点又是难点,为了突 破这一难点,教者精心安排了多层次的数学活动:首先 让学生在量角器上从不同方向指出给定的角,并小结 出读刻度的注意事项.这就为突破难点,奠定了良好 的基础.其次让学生用量角器量角,并边操作边口述 其方法.最后引导学生将操作方法变成简明易懂的儿 歌,并利用儿歌有效地指导学生掌握量角的方法,形成 量角的技能. 3.高度重视渗透数学思想方法. 上课伊始,教者就引导学生关注”用角比角”与”用 量角器量角”两者的密切联系,渗透”事物相互联系”的 观点和思想方法;在练习中让学生”先估再量”,”先猜 想后验证”,这样不仅能巩固量角的方法与技能,形成 角的大小的空间观念,而且能逐渐感悟”猜想一推理一 验证”的思想方法. 中小学数学?小学版2009年第9期 一 位老师却认为是0.一石激起千层浪,引发了一场 激烈的争论.最小的偶数到底是几呢?绝大多数的老 师都认为最小的偶数应该是2,而不应该是0.到底最 小的偶数是0还是2呢?虽然教科书明确指出0是偶 数,但从未明确指明最小的偶数就是0.笔者认为:0 是一个特殊的数,所以教材明确指出在研究约数和倍 数时,不包括0.这让我感觉教材陈述是前后矛盾的, 前面说在研究数的整除时,不包括O;但到了讲偶数概 念时,又明确指出0也是偶数.如果0是最小的偶数, 那么许多题目将变得毫无意义.如:教材80页练习十 六第4题的(1)”既能被6整除,又能被9整除的数,最 小的是多少?绝大多数都认为是6和9的最小公倍 数,结果是”l8”.但另有一种观点认为:此题是求能被 6和9整除的最小的数,因为0既能被6整除,又能被 9整除,所以结果应该是0.此题如果考察0,则意义不 大.但如果0是最小的偶数,那么既能被6整除,又能 被9整除的数,最小的是0,就很正常了.0是最小的 偶数,那么到初中,负数出现后,0还是最小的偶数吗? 当负数出现后,最小的偶数是不存在的,就如同不存在 最大的自然数.笔者有一种认识,教材规定了0是偶 数,这一性质也是值得商榷的.因为0也能被2整除, 所以0也是偶数.那么0也能被任何自然数整除,0又 是一个什么数呢?我们知道:一种特性,必定是区别于 其他事物的;一种特性,在同类事物中也肯定有共同的 外在或内在的表现;事物的本质属性必定是与其他类 事物的本质属性是相互排斥的,如果不相互排斥,那不 就混为同一类了吗?如果说0是偶数,那么0与其他 偶数是有较大的区别的,用上述三点去分析,也觉得0 是偶数规定的太过牵强.所以笔者认为,在小学数学 中,把0规定为偶数,是不恰当的,应该把0在整除中 的特殊地位明确规定,以避免一些不必要的争论.” 新课改教科书中,”0是自然数”,据说这是与国际 接轨. 整除的定义是:两个整数n,b,如果存在一个整数 q,使得.=bq,就称n被b整除,或b整除a,并记作 bIn.如果不存在这样的整数,就说b不能整除a. “0是偶数”.——《学生辞海》(小学卷),南京大 学出版社,1992年12月,186页. 观点二最小的偶数是0 有网友说:”整数a除以整数b(b不等于0),除得 的商正好是整数而没有余数(也就是余数是0),我们 就说a能被b整除(也可以说b能整除n).(人教版 修订版教材,小学数学教材第50页)0=2X0,所以0 能被2整除.能被2整除的数叫偶数,不能被2整除 的数叫奇数.并且九年义务教育六年制小学教科书 《数学》第十册53页上明确指出:【注意】因为0也能被 一 52, 2整除,所以0也足偶数.综合上述,0就是偶数.” 在搞清”0是偶数”时,不少老师根据”0是最小的 自然数”推断出”0是最小的偶数”. 最具有代表性意见的是与:最小偶数应是0.主 要陈述如下:只要含有约数2的数,它就是偶数;只要 是2的倍数,它就是偶数:因为0?2:0,所以2,是0 的约数,0是2的倍数.教材规定:能被2整除的数叫 做偶数,所以最小的偶数应是0.并特别指出九年义 务教育六年制小学教科书《数学》第十册53页上明确 指出:【注意】因为0也能被2整除,所以0也是偶数. 所以,最小的偶数应该是0.大部分老师见了教材都 无言以对,但心中却总有些不同意.有些老师也提出, 教科书49页最后一段也明确注明:【注意】为了方便, 以后在研究约数和倍数时,我们所说的数一般指自然 数,不包括0. 有网友说:我们讨论问题一般是在某些前提下进 行的.一般地,在数学里,讨论数的奇偶性问题是在整 数范围内进行的,整数包括正整数,0和负整数,这样 一 来还有很多偶数是负数.所以说最小的偶数是几就 得看在哪个范围内来讨论的.如果在非0的自然数集 内讨论,那么最小的偶数就是2.如果在自然数集内 讨论,那么最小的偶数就是0.如果在整数数集里讨 论,那么就没有最小的偶数了. 观点三没有最小的偶数 笔者同意”如果在整数数集里讨论,那么就没有最 小的偶数了”这个说法. 有网友说:”讨论数的整除,谈到约数和倍数,是在 整数集里进行的.这样一来正整数,0和负整数也就 被列入讨论之中了.但是我们小学在这之后就要学习 质数与合数,而质数与合数是在非0自然数集中讨论 的,为了方便学生学习质数与合数以及学习求两个数 的最小公倍数最大公约数,加上小学生知识水平和认 知能力的限制,只得减缓学习坡度.因些,教材中补充 了这样的规定:【注意】为了方便,以后在研究约数和倍 数时,我们所说的数一般不包括0. 这样一来,就为我们界定了:小学阶段学习整除, 就是在非0自然数集中进行的. 下面,我们就来解决前述网友谈到的那个他认为 是矛盾的问题了. “既能被6整除,又能被9整除的数,最小的是多 少?”讨论解决这个问题是在教材中所说的”非0自然 数集”这样一个前提下进行的,因此,既能被6整除又 能被9整除的数,最小的是他们的最小公倍数18.如 果在自然数集内讨论,那这个最小数就是0了,如果在 整数集内讨论,既能被6整除又能被9整除的数就还 有负数了,找不到最小的数了. 中小学数学?小学版2009年第9期 例谈教学中的 山东省济宁市市中区安居镇中心小学(272059)谢涛张秋玲 由于某些教师对课改新理念缺乏理解,出现了一 些重视形式,忽视本质,曲解理念的现象,现 “曲解理念”现象之一亦步亦趋”走教案” 理念教学过程是师生交往,积极互动和共同发 展的过程. 现象描述一些教师在备课时,往往考虑更多的 是如何教这堂课,只备教材,不备学生,很少从学生的 角度考虑,很少把自己当成学生来想想:”如果我是学 生,我会遇到什么问题?”同样,这些老师在上课时,也 是沿着自己的教案去引导学生,如果学生跟着老师的 教学设计走,顺风顺水,教师就心情舒畅,如果稍有闪 失,游离于教师的设计,教师就不知所措,甚至龙颜大 怒:”你再认真想一想,是这样回答吗?”这种现象就是 典型的以教代学,或者说按事先的”脚本”来演戏的教 学表演,在这样的教学中,教师过多考虑的是如何教, 用教师的思维代替学生的思维,把教师的意愿强加给 学生. 我的思考”这样的课堂师生互动何在?”恐怕只 有教师动,而无学生动,如果说学生动了,那也是教师 牵着学生动.在教学时应更多地考虑学生如何学,即 以学生的求知需求为目标,教师要从”独奏者”的角色 过度到”伴奏者”的角色,帮助学生发现知识,引导他们 而非塑造他们,围绕学生的发展精心设计教学,充分运 用自己的教学智慧,保持课堂的灵活性和开放性,与学 生一道,共同生成课程,当学生思维阻塞时,给他们以 启迪,能从学生的眼中读出愿望,从学生回答中听出创 造,使学生在课堂中能充分地表现自己,感受到发现的 欣喜,成功的快乐,始终把学生置于教学的出发点和落 脚点,应学生而动,应课堂而变,而非走教案,这样的课 堂才是师生互动的课堂,也只有这样的课堂,师生才能 共同发展. “曲解理念”现象之二创设情境为”好看” 编者语:分解0是没有意义的事,没有意义的事就 不必做.按照”任何数与0相乘都为0”的运算规定, 其逆动作,即分解0导致的结果显然不具有确定性,不 具有确定性的事,按照简约性的原则,数学是不愿意做 的,因此也就不会让人们纠缠于这类事. 综上所述,我的观点就是:最小的偶数是几?得要 看是在哪个范围内进行讨论的.今后可能还会遇到类 似的许多问题,我们要把握好小学数学教材知识与问 题的呈现背景与条件就好说了.” 有网友跟帖说:”我觉得我们小学里面,只要搞清 楚研究偶数的范围是在’非0的自然数’范围内呢,还 是在自然数内,这是关键. 还有网友说:”偶数是没有穷尽的,所以没有最大 也没有最小.在小学阶段研究整除的时候是不考虑0 的,所以在小学阶段O不是最小的偶数.” 笔者跟帖说:”在小学阶段0不是最小的偶数,是 因为小学阶段学习负数了,学习的数的范围扩大了.” 笔者还接着其他网友发言跟帖说:”课标教材在小学 里就有’负数’.在小学还有讨论最小的偶数的必要吗?即 使有必要讨论,也仅仅是讨论.如果考,那是不明智的. 笔者认为:以前的小学,教科书规定”0不是自然 数”,不学习负数,在正整数范围研究.现在的小学学 习负数了,再考学生”最小的偶数”,没有价值,是错的. 实际上,没有最小的偶数. 编者语:规定0是偶数,在逻辑上是没有问题的. 这个规定与数学中的算术运算法则具有相容性,即:0 加其他的偶数还是偶数,0加其他的奇数还是奇数,0+0 还是偶数.若规定0是奇数,与算术运算结果必会产生 冲突,例如,0+0按”奇加奇为偶”而得偶,与规定0是奇 数相悖.从这个意义上讲,规定0是偶数绝对是聪明之 举.若因为分解0是没有意义的,而将其排除在加减法 之外,对0是不公平的.因此,规定0可以参与加减乘 除运算是方便而不会与数学的基本要求相违背之举. 当然,因为分解零是没有意义的,因此将0作为除法中 的除数也是没有意义的,规定0不得做除数起码未引发 任何矛盾结果,不仅如此,这个小小的限制,既防止了不 确定事物的发生,又使运算对象完整和满,是皆大欢喜 的好事,争论下去没有任何意义.至于”0是否是最小 的偶数”,抛开论域不谈,仅就过去的教材来看.也不是 值得讨论的问题,这不过是某个课本上的规定,这个规 定并不违反数学的逻辑要求,也”没有什么计算”训练上 的价值.在数学教学中,我们应该注意创造一些聪明的 做法或提法,前提是.这些做法和提法与已被证明是正 确的数学真理不矛盾,是相容的,即可!”-3然,这需要教 师有一定的专业水平! 一 53—