实数的大小

第二章 不等式 数学基础模块 上册 2.1.1 实数的大小 【教学目标】 1．理解并掌握实数大小的基本性质，初步学习用作差比较法来比较两个实数或代数式的大小． 2．从学生身边的事例出发，体会由实际问上升为数学概念和数学知识的过程． 3．培养学生勤于分析、善于思考的优秀品质．善于将复杂问题简单化也是我们着意培养的一种优秀的思维品质． 【教学重点】 理解实数的大小的基本性质，初步学习作差比较的思想． 【教学难点】 用作差比较法比较两个代数式的大小． 【教学方法】 这节课主要采用讲练结合法．通过联系公路上的限速标志，引入不等式的问题，并且从关注数字的大小入手，引导学生学习用作差比较法来比较两个实数、代数式的大小．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握作差比较法． 【教学过程】 教学环节 教学 师生互动 意图 导 入 右面是公路上对汽车的限速标志，示汽车在该路段行使的速度不得超过40 km/h．若用 v (km /h)表示汽车的速度，那么 v 与40之间的数量关系用怎样的式子表示？ 右面是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得低于50 km/h．若用 v (km /h)表示汽车的速度，那么 v 与50之间的数量关系用怎样的式子表示？ 学生根据生活经验回答情境问题． 答：v≤40． 答：v≥50． 从学生身边的生活经验出发进行新知的学习，有助于调动学生学习积极性． 新 课 研究实数与数轴上的点的对应关系． 观察：点 P 从左向右移动，对应实数大小的变化． 呈现结论： 数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大． a＞b ( a－b＞0 a＝b ( a－b＝0 a＜b ( a－b＜0 含有不等号(＜，＞，≤，≥，≠)的式子，叫做不等式． 练习1 在数学表达式： ①－5＜1； ②2 x＋4＞0； ③ x2＋1； ④x＝6； ⑤y≠4； ⑥ a－2≥a 中，不等式的个数是( )． (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 练习2 把下列语句用不等式表示： (1) y 是负数； (2) x2是非负数； (3)设 a 为三角形的一条边长，a 是正数； (4) b为非正数． 例1 比较下列各组中两个实数的大小： (1) －3和－4；　　　(2) eq \f(6,7) 和 eq \f(5,6) ； (3) －eq \f(7,11)和－eq \f(10,17) ；　　(4) 12.3和12 eq \f(1,3) ． 解 (1)因为 (－3)－(－4)＝－3＋4＝1＞0， 所以 －3＞－4； (2)因为 eq \f(6,7)－ eq \f(5,6) ＝ eq \f(36,42)－ eq \f(35,42) ＝ eq \f(1,42) ＞0， 所以 eq \f(6,7)＞ eq \f(5,6) ． 例2 对任意实数 x，比较(x＋1)(x＋2)与(x－3)(x＋6)的大小． 解 因为 (x＋1)(x＋2)－(x－3)(x＋6) ＝(x2＋3x＋2)－(x2＋3x－18) ＝20＞0． 所以 (x＋1)(x＋2)＞(x－3)(x＋6)． 练习3 (1)比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小； (2)比较(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2 的大小． 例3 比较(x2＋1)2 与 x4＋x2＋1 的大小． 解 因为 (x2＋1)2－(x4＋x2＋1) ＝(x4＋2x2＋1)－x4－x2－1 ＝x2≥0， 所以 (x2＋1)2≥ x4＋x2＋1，当且仅当 x＝0时，等式成立． 练习4 (1)比较 2 x2＋3 x＋4 和 x2＋3 x＋3 的大小； (2)比较 (x＋1)2 和 2 x＋1的大小． 师：实数与数轴上的点的关系是怎样的？ 点A对应的实数与点B对应的实数各是多少？哪个大？ 生：实数与数轴上的点是一一对应的． 点A表示实数3，点B表示实数－2，点A在点B右边，3＞－2． 当点P在不同的位置，学生分别比较点P对应的实数与点A，点B对应实数的大小． 个别学生口答，其他学生评价，遇到问题，小组讨论解决． 教师引导，学生口答．共同完成(1)和(2)． 学生完成(3)(4)． 学生仿照例题进行练习，教师巡视指导． 学生复习(a＋b)2的展开式． 学生仿照例题进行练习，教师巡视指导． 通过动画演示提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维． 在复习初中知识的基础上加以提升． 因为例题1较为简单，讲解两个，剩余两个让学生练习，使学生在参与中学习使用作差比较的方法．但仅限于使用，不必强调要求学生掌握这个方法． 初步学习用作差比较法判断两个代数式的大小． 小 结 作差法的步骤：作差 ( 变形 ( 定号(与0比较大小) ( 结论． 作 业 必做题：教材 P 33，练习 A 组第 3 题； 选做题：教材 P 34，练习 B 组第 2 (2)(5)(6)题． －5 P B A －4 －3 －2 －1 3 2 1 0 x 28 29