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辽 东 学 院 教 案 纸 课程：高等代数 第7.1.1页 第七章 线性映射 线性变换 引言 保持向量空间运算的映射十分重要，本章将对之作基础性的讨论，并把重点放在有限维情形．因此，同学们也将学习代数表示的思想，学习无论在理论上，还是在应用上都颇有价值的特征值的基础知识． §1 线性映射的概念 教学目的 通过2学时讲授，使学生理解线性映射（线性变换）的定义、向量空间的同构及线性映射的值域与核等概念，基本掌握线性映射的存在、唯一性命题及向量空间同构的刻画定理． 教学内容 本节阐述线性映射的概念，由之得到向量空间之间的重要关系：同构的概念． 1.1 定义与例子 设F是一个数域，V和W都是F上向量空间． 定义1 设(是V到W的一个映射．( ， ∈V，k∈F．若下列条件成立： 1)( ( + )=( ( )+( ( )； 2)( (k )=k( ( )， 则称(是V到W的一个线性映射． V到自身的线性映射叫做V的线性变换． 例1 设( =(x1，x2)∈R2，定义( ( )= EMBED Equation.3 R3则(是R2到R3的一个映射．我们来证明，(是一个线性映射． 1)设( =(x1，x2)， =(y1，y2) ∈R 2，k∈R，则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ． 因此，(是R 2到R 3的一个线性映射． 例2 设A∈Fmxn, ,规定 ,则 . 根据矩阵运算的性质，(k∈F， ， ∈Fn，都有 EMBED Equation.3 ． 所以(是Fn到Fm的一个线性映射． 例3 设V和W是数域F上向量空间．(((V，令(对应W的零向量(．易见这是V到W的一个线性映射，叫做零映射． 例4 取定F的一个数k，( ∈V，规定 ．易证(是V的一个线性变换，叫做V的一个位似(或纯量变换)． 特别地，取k=1，则( ∈V，都有( ( )= ，这时(就是V的恒等变换1v，即V的单位变换．若取k=0，则(就是V的零变换． 例5 取定F的一个n维行向量( )．对于((= ( )∈Fn，规定 ．易证，(是Fn到F的一个线性映射．这样线性映射叫做F上的一个n元线性函数或Fn上的一个线性型． 例6 几何空间V3到经过原点O的平面W上的正投影(是V3上的一个线性变换(如图7－1所示)．因为设α0是平面W的单位法向量，由解析几何推得 ． 其中( , )是 与 的内积．于是，直接验证知道σ保持向量加法 和纯量乘法． 例7 求导数是C(1)(a，b)到 R (a，b) 的一个线性映射，用D或 δ表示，即 ． 例8 向量空间C [a，b]到自身上的一个映射 是C[a，b]上的一个线性变换． 下面对定义1作两点说明．首先，定义1里的条件1)，2)与下面的条件等价： 3) ，其中 k，r∈F，( ， ∈V． 事实上，若映射 满足条件1)与2)，则 k，r∈F与( ， ∈V，有 ． 反之，设3)成立．取k=r=1，就得到条件1)；取r=0，就得到条件2)． 在条件2)里，取k=0，就得到 ，即线性映射将零向量映成零向量． 由3)，对n作数学归纳法，易得 ， ． 其次考虑线性映射的存在性，我们来证明三个命题． 命题7.1.1 设V和W都是数域F上的向量空间，且V是有限维的，(和τ都是V到W的线性映射．在V中取一个基 ．若(和τ对这个基的作用相同，即 ， 则( =τ． 证 任取V的一个向量 ，因为 EMBED Equation.3 ， 所以( =τ． ( 命题7.1.1表明，V到W的一个线性映射完全被它对V的一个基的作用所决定．现在要问：给了数域F上的任意两个向量空间V和W，是否存在V到W的线性映射？此回答是肯定的，特别是当V是有限维时，则有 命题7.1.2 设V和W都是数域F上的向量空间，且 是V的一个基，在W中任意取定n个向量 (它们中可以相同)，则存在V到W的唯一的线性映射σ，使得 ． 证 存在性 任取 ∈V．规定 ． (1) 由于 是V的一个基，所以(1)定义了V到W的一个映射．又 ，(a(F，有 EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ． 因此(是V到W的一个线性映射，并且由(1)易见( ( )= ． (的唯一性由命题7.1.1立得． ( 命题7.1.3 设V是数域F上的任一向量空间．若存在V的子空间U，W，使得V=U(W，则存在V上唯一的一个线性变换 ,使得 （2） 这个线性变换 称为平行于W在U上的投影(射影)． 证 任取 ，设 ，令 ， 则 是V到V的一个映射(因为α写成 的表法唯一)，并且对 ，则 因此, 是V上的一个线性变换.又若 ,则 ;若 ，则 ．存在性得证． 唯一性 设V上的线性变换τ满足(2)．任取α∈V，设 ，则 ． 因此， ． ( 类似地，定义 ，则 也是线性变换，称它为平行于U在W上的投影． 1.2 值域与核 考虑线性映射导出的子空间，其中基本又重要的有值域与核，下面先介绍它们的概念． 设(是向量空间V到W的一个线性映射．若 ，则 是W的一个子集，叫做 在(之下的像，记作σ(V()．另一方面，设 ，则 是V的一个子集，叫做 在(之下的原像．对此，我们有 命题7.1.4 设V和W都是数域F上的向量空间，而 是一个线性映射，则V的任意子空间在(之下的象是W的一个子空间；而W的任意子空间在(之下的原像是V的一个子空间． 证 设V(是V的一个子空间．若 ， ∈ ，则有(，(∈V(，使 ， ．因为(是线性映射，所以对于(k，l∈F，有 ． 但 是V的子空间，有 ，因而 ，这就证明了( (V()是W的一个子空间． 现在设W(是W的一个子空间．令V(是W(在(之下的原象．显然 ．若(，(∈V(，则 W(．因而对于(k，l∈F，都有 ， 故 ．因此， 是V的一个子空间． ( 特别地，向量空间V在(之下的象是W的一个子空间，叫做σ的值域，记作Im(，即 ． (3) 另一方面，W的零子空间0在(之下的原象是V的一个子空间，叫做(的核，记作Ker(，即 Ker( ． (4) 定理7.1.1 设V和W都是数域F上的向量空间，而 是一个线性映射，则 1)(是满射( ； 2)(是单射( ． 证 结论1)是显然的，我们只证结论2)． 若(是单射, 则 只能含有唯一的零向量. 反过来设Ker( =0.若 ，且 ,则 .于是 Ker( =0，故(－(=( ，即 ．因此，(是单射． ( 1.3 向量空间的同构 考虑既单且满的线性映射，我们引入 定义2 设(是向量空间V到W的一个线性映射．若(是双射，则称(是V到W的一个同构映射，记作(： 或 ． 若V与W间存在一个同构映射，则说向量空间V与W同构，记作 ． 命题7.1.5 设V，W是数域F上的两个向量空间，(是V到W的一个同构映射， 是V的任一个向量组，则 线性无关的充分且必要条件是 线性无关． 证 必要性 若 线性无关，设 则 =(．由于(是单的，有 =(，但 线性无关，所以 =0，故 线性无关． 充分性 设 =(，则 ． 由条件有 线性无关，因而 =0，故 线性无关． ( 定理7.1.2 数域F上两个有限维向量空间同构的充分且必要条件是它们的维数相同． 证 设V与W是数域F上的有限维向量空间．若dimV=dimW=n， 可设 与 分别为V与W的基．对于 ， 定义 ，则由命题7.1.2的证明知道(是V到W的一个 线性映射，且有 1)设 ，则 (i=1，2，…，n) EMBED Equation.3 ； 2)( ，取 ，则((()=β． 因此，(是一个双射，故V W． 反之，设( : ，dimV=n， 为V的一个基，则由命题7.1.5知 是W的一个线性无关向量组．又因为(是满的，所以对任意的 ，存在 ，使得 ．又 可设 ，于是 ． 因此，W=L( , )．故， , 是W一个基，从而dimW=n． ( 推论7.1.1 设V是数域F上n维向量空间，则 ． ( 课外作业： P342－343：3；4；5；8． 图7(1 � EMBED PBrush ��� _1074423145.unknown _1164002411.unknown _1164003253.unknown _1164009942.unknown _1169140137.unknown _1173797734.unknown _1173797804.unknown _1173798380.unknown _1173798434.unknown _1173797755.unknown _1169140320.unknown _1173797715.unknown _1169140276.unknown _1164011724.unknown _1164012105.unknown _1164012134.unknown _1164012194.unknown _1164012324.unknown _1164012116.unknown _1164011744.unknown _1164012089.unknown _1164011736.unknown _1164010098.unknown _1164011705.unknown _1164010060.unknown _1164009936.unknown _1164009938.unknown _1164009939.unknown _1164009937.unknown 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