概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章习题参考答案

1 第六章 估计 习题 6.1 1． 设 X1, X2, X3是取自某总体容量为 3 的样本，试证下列统计量都是该总体均值µ 的无偏估计，在方差存 在时指出哪一个估计的有效性最差？ （1） 3211 6 1 3 1 2 1ˆ XXX ++=µ ； （2） 3212 3 1 3 1 3 1ˆ XXX ++=µ ； （3） 3213 3 2 6 1 6 1ˆ XXX ++=µ ． 证：因 µµµµµ =++=++= 6 1 3 1 2 1)( 6 1)( 3 1)( 2 1)ˆ( 3211 XEXEXEE ， µµµµµ =++=++= 3 1 3 1 3 1)( 3 1)( 3 1)( 3 1)ˆ( 3212 XEXEXEE ， µµµµµ =++=++= 3 2 6 1 6 1)( 3 2)( 6 1)( 6 1)ˆ( 3213 XEXEXEE ， 故 321 ˆ,ˆ,ˆ µµµ 都是总体均值µ 的无偏估计； 因 22223211 36 14 36 1 9 1 4 1)Var( 36 1)Var( 9 1)Var( 4 1)ˆVar( σσσσµ =++=++= XXX ， 2222 3212 3 1 9 1 9 1 9 1)Var( 9 1)Var( 9 1)Var( 9 1)ˆVar( σσσσµ =++=++= XXX ， 2222 3213 2 1 9 4 36 1 36 1)Var( 9 4)Var( 36 1)Var( 36 1)ˆVar( σσσσµ =++=++= XXX ， 故 )ˆVar()ˆVar()ˆVar( 312 µµµ << ，即 2µˆ 有效性最好， 1µˆ 其次， 3µˆ 最差． 2． 设 X1, X2, …, Xn 是来自 Exp(λ)的样本，已知 X 为 1/λ的无偏估计，试 X/1 是否为λ的无偏估计． 解：因 X1, X2, …, Xn 相互独立且都服从指数分布 Exp(λ)，即都服从伽玛分布 Ga(1, λ)， 由伽玛分布的可加性知 ∑ = = n i iXY 1 服从伽玛分布 Ga(n, λ)，密度函数为 0 1 e )( )( > −− ΙΓ= y yn n Y yn yp λλ ， 则 λλ λλλ λλ 1 )1( )( e )( e )( 1 10 2 0 1 −= −Γ⋅Γ=Γ=Γ⋅=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ∞+ −−∞+ −− ∫∫ nnnnndyynndyynynYnEXE n n yn n yn n ， 故 X/1 不是λ的无偏估计． 3． 设θˆ 是参数θ 的无偏估计，且有 0)ˆ(Var >θ ，试证 2)ˆ(θ 不是θ 2 的无偏估计． 证：因 θθ =)ˆ(E ，有 2222 )ˆVar()]ˆ([)ˆVar(])ˆ[( θθθθθθ >+=+= EE ，故 2)ˆ(θ 不是θ 2的无偏估计． 4． 设总体 X ~ N (µ , σ 2)，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本．试确定常数 c 使 ∑ = + − n i ii XXc 1 2 1 )( 为σ 2 的无 偏估计． 解：因 E[(Xi + 1 − Xi )2 ] = Var (Xi + 1 − Xi ) + [E(Xi + 1 − Xi )]2 = Var (Xi + 1) + Var (Xi ) + [E(Xi + 1) − E(Xi )]2 = 2σ 2， 2 则 22 1 1 2 1 1 1 2 1 )1(22)1(])[()( σσ −=⋅−⋅=−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − ∑∑ − = + − = + ncncXXEcXXcE n i ii n i ii ， 故当 )1(2 1 −= nc 时， 2 1 1 2 1 )( σ=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −∑− = + n i ii XXcE ，即 ∑− = + − 1 1 2 1 )( n i ii XXc 是σ 2 的无偏估计． 5． 设 X1, X2, …, Xn 是来自下列总体中抽取的简单样本， ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +≤≤−= .,0 ; 2 1 2 1,1);( 其他 θθθ xxp 证明样本均值 X 及 )( 2 1 )()1( nXX + 都是θ 的无偏估计，问何者更有效？ 证：因总体 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− 2 1, 2 1~ θθUX ，有 )1,0(~ 2 1 UXY +−= θ ， 则 2 1−+= θYX ， 2 1 )1()1( −+= θYX ， 2 1 )()( −+= θnn YX ，即 2 1)( 2 1)( 2 1 )()1()()1( −++=+ θnn YYXX ， 可得 θθθ =−+=−+= 2 1)( 2 1)()( YEYEXE ， n Y n YX 12 1)Var(1)Var()Var( === ， 因 Y 的密度函数与分布函数分别为 pY ( y) = I0 1 时， )2)(1(2 1)( 2 1Var 12 1)Var( )()1( ++=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +>= nn XX n X n ， 故 )( 2 1 )()1( nXX + 比样本均值 X 更有效． 6． 设 X1, X2, X3服从均匀分布 U (0, θ )，试证 )3(3 4 X 及 4X (1)都是θ 的无偏估计量，哪个更有效？ 解：因总体 X 的密度函数与分布函数分别为 θθ <<Ι= xxp 0 1)( ， ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ <≤ < = .,1 ;0, ;0,0 )( θ θθ x xx x xF 有 X (1)与 X (3)的密度函数分别为 θθ θ <<Ι−=−= xxxpxFxp 03 2 2 1 )(3)()](1[3)( ， θθ <<Ι== x xxpxFxp 03 2 2 3 3)()]([3)( ， 则 443 2 2 3)(3)( 0 432 2 30 3 2 )1( θθθθθ θ θθ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅−⋅=−⋅= ∫ xxxdxxxXE ， 4 3 4 33)( 0 4 30 3 2 )3( θ θθ θθ =⋅=⋅= ∫ xdyxxXE ， 1054 2 3 3)(3)( 2 0 543 2 30 3 2 22 )1( θθθθθ θ θθ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅−⋅=−⋅= ∫ xxxdxxxXE ， 5 3 5 33)( 2 0 5 30 3 2 22 )3( θ θθ θθ =⋅=⋅= ∫ xdyxxXE ， 即 80 3 410 )Var( 222 )1( θθθ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=X ， 80 3 4 3 5 3)Var( 222 )3( θθθ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=X ， 因 θθ =⋅= 4 4)4( )1(XE ， θθ =⋅=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 4 3 3 4 3 4 )3(XE ， 4 故 4X (1)及 )3(3 4 X 都是θ 的无偏估计； 因 5 3 80 316)4Var( 22 )1( θθ =⋅=X ， 1580 3 9 16 3 4Var 22 )3( θθ =⋅=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ X ，有 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛> )3()1( 3 4Var)4Var( XX ， 故 )3(3 4 X 比 4X (1)更有效． 7． 设从均值为µ ，方差为σ 2 > 0 的总体中，分别抽取容量为 n1和 n2 的两独立样本， 1X 和 2X 分别是这 两个样本的均值．试证，对于任意常数 a, b（a + b = 1）， 21 XbXaY += 都是µ 的无偏估计，并确定常 数 a, b 使 Var (Y ) 达到最小． 解：因 µµµµ =+=+=+= )()()()( 21 babaXbEXaEYE ， 故 Y 是µ 的无偏估计； 因 2 22 2 21 21 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 12)1()(Var)(Var)(Var σσσ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−+=⋅−+⋅=+= n a n a nn nn n a n aXbXaY ， 令 022)(Var 2 221 21 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⋅+= σ n a nn nnY da d ，得 21 1 nn n a += ，且 02)(Var 2 21 21 2 2 >⋅+= σ nn nnY ad d ， 故当 21 1 nn n a += ， 21 21 nn n ab +=−= 时，Var (Y ) 达到最小 2 21 1 σ nn + ． 8． 设总体 X 的均值为µ ，方差为σ 2，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本，T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性 无偏估计量．证明： X 与 T 的相关系数为 )Var()Var( TX ． 证：因 T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性无偏估计量，设 ∑ = = n i iin XaXXT 1 1 ),,( L ， 则 µµ === ∑∑ == n i i n i ii aXEaTE 11 )()( ，即 1 1 =∑ = n i ia ， 因 X1, …, Xn相互独立，当 i ≠ j 时，有 Cov (Xi, Xj) = 0， 则 n a n XX n aXaX n XaX n TX n i i n i ii i n i iii n i ii n i i 2 1 2 1111 ),Cov(,1Cov,1Cov),Cov( σσ ===⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛= ∑∑∑∑∑ ===== ， 因 ),Cov()Var(1)Var( 2 TX n X n X === σ ， 故 X 与 T 的相关系数为 )Var( )Var( )Var()Var( )Var( )Var()Var( ),Cov(),Corr( T X TX X TX TXTX === ． 9． 设有 k 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为σ i（i = 1, …, k）．用这些仪器独立 地对某一物理量θ 各观察一次，分别得到 X1, …, Xk ，设仪器都没有系统误差．问 a1, …, ak应取何值， 方能使 ∑ = = k i ii Xa 1 θˆ 成为θ 的无偏估计，且方差达到最小？ 5 解：因 θθθ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛===⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛= ∑∑∑∑ ==== k i i k i i k i ii k i ii aaxEaxaEE 1111 )()ˆ( ， 则当 1 1 =∑ = k i ia 时， ∑ = = k i ii xa 1 θˆ 是θ 的无偏估计， 因 ∑∑∑ === ==⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛= k i ii k i ii k i ii axaxa 1 22 1 2 1 )(VarVar)ˆ(Var σθ ， 讨论在 1 1 =∑ = k i ia 时，∑ = k i iia 1 22σ 的条件极值， 设拉格朗日函数 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+= ∑∑ == 1),,,( 11 22 1 k i i k i iik aaaaL λσλL ， 令 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =−=∂ ∂ =+=∂ ∂ =+=∂ ∂ ∑ = ,01 ,02 ,02 1 2 2 11 1 k i i kk k aL a a L a a L λ λσ λσ LLLLL 得 22 1 2 −− ++−= kσσλ L ， 221 2 −− − ++= k i ia σσ σ L ，i = 1, …, k， 故当 22 1 2 −− − ++= k i ia σσ σ L ，i = 1, …, k 时， ∑== k i ii xa 1 θˆ 是θ 的无偏估计，且方差达到最小． 10．设 X1, X2, …, Xn 是来自 N (θ, 1)的样本，证明 g(θ ) = |θ | 没有无偏估计（提示：利用 g(θ )在θ = 0 处不可 导）． 证：反证法：假设 T = T (X1, X2, …, Xn)是 g(θ ) = |θ | 的任一无偏估计， 因 ∑ = = n i iXn X 1 1 是θ 的一个充分统计量，即在取定 xX = 条件下，样本条件分布与参数θ 无关， 则 )|( XTES = 与参数θ 无关，且 S 是关于 X 的函数， ||)()()]|([)( θθ ==== gTEXTEESE ， 可得 )(XSS = 是 g(θ ) = |θ | 的无偏估计， 因 X1, X2, …, Xn 是来自 N (θ, 1)的样本，由正态分布可加性知 X 服从正态分布 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ n N 1,θ ， 则 ∫∫ ∞+∞− +−−∞+∞− −− ⋅⋅=⋅= dxxSndxnxSSE xnx nnxn θθθ 222 22 )( 2 e)(e π2 e π2 )()( ， 因 E(S) = |θ |，可知对任意的θ，反常积分 ∫ ∞+∞− +−⋅ dxxS xnx n θ2 2e)( 收敛， 6 则由参数θ 的任意性以及该反常积分在−∞与+∞两个方向的收敛性知 ∫ ∞+∞− ⋅⋅+−⋅ dxxS xnx n |||| 2 2 e)( θ 收敛， 因 xnxSxS xnx nxnxn ⋅⋅=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⋅∂ ∂ +−+− θθ θ 22 22 e)(e)( ，且| y | ≤ e | y |，有 ||)1||(22 22 ee xnxnxnxn xn ⋅+⋅+−+− ≤⋅ θθ ， 则由 ∫ ∞+∞− ⋅+⋅+−⋅ dxxS xnx n ||)1|(| 2 2 e)( θ 的收敛性知 ∫ ∞+∞− +− ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⋅∂ ∂ dxxS xnx n θ θ 2 2e)( 一致收敛， 可得 ∫ ∞+∞− +−− ⋅⋅= dxxSnSE xnx nn θθ 22 22 e)(e π2 )( 关于参数θ 可导，与 E(S) = |θ |在θ = 0 处不可导矛盾， 故 g(θ ) = |θ | 没有无偏估计． 11．设总体 X 服从正态分布 N (µ , σ 2)，X1, X2, …, Xn 为来自总体 X 的样本，为了得到标准差σ 的估计量， 考虑统计量： ∑ = −= n i i XXn Y 1 1 || 1 ， ∑ = = n i iXn X 1 1 ，n ≥ 2， ∑∑ = = −−= n i n j ji XXnn Y 1 1 2 ||)1( 1 ，n ≥ 2， 求常数 C1 与 C2，使得 C1Y1 与 C2Y2 都是σ 的无偏估计． 解：设 ),0(~ 2θNY ，有 θθθθ θθθ π 2e π2 2e π2 12e π2 1|||][| 0 2 0 22 2 2 2 2 2 2 =−=⋅=⋅= +∞ −∞+ −∞+ ∞− ⋅− ∫∫ yyy dyydyyYE ， 因 XX i − 是独立正态变量 X1, X2, …, Xn 的线性组合， 且 0)()()( =−=−=− µµXEXEXXE ii ， 222 11,Cov21),Cov(2)Var()Var()Var( σσσ n nX n X n XXXXXX iiiii −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−+=−+=− ， 则 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− 21,0~ σ n nNXX i ， σσ π )1(21 π 2|][| n n n nXXE i −=−⋅=− ， 可得 σσ π )1(2 π )1(21|][|1)()( 11 1 11111 n nC n nn n CXXE n CYECYCE n i i −=−⋅⋅⋅=−⋅== ∑ = ， 故当 )1(2 π 1 −= n nC 时，E[C1Y1] = σ，C1Y1 是σ 的无偏估计； 当 i ≠ j 时，Xi 与 Xj 相互独立，都服从正态分布 N (µ , σ 2)， 有 E(Xi − Xj) = E(Xi) − E(Xj) = µ − µ = 0，Var(Xi − Xj) = Var(Xi) + Var(Xj) = σ 2 + σ 2 = 2σ 2， 7 则 Xi − Xj ~ N (0, 2σ 2)， σσ π 22 π 2|][| =⋅=− ji XXE ， 当 i = j 时，Xi − Xj = 0，E[| Xi − Xj |] = 0， 可得 σσ π 2 π 2)( )1( 1|][| )1( 1)()( 2 2 2 1 1 22222 Cnnnn CXXE nn CYECYCE n i n j ji =−⋅−⋅=−−⋅== ∑∑= = ， 故当 2 π 2 =C 时，E[C2Y2] = σ，C2Y2 是σ 的无偏估计． 习题 6.2 1． 从一批电子元件中抽取 8 个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h）： 1050，1100，1130，1040，1250，1300，1200，1080， 试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计． 解：平均寿命µ 的矩估计 75.1143ˆ == xµ ；标准差σ 的矩估计 8523.89*ˆ == sµ ． 2． 设总体 X ~ U (0, θ )，现从该总体中抽取容量为 10 的样本，样本值为： 0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.8，1.5，2.0，1.6， 试对参数θ 给出矩估计． 解：因 X ~ U (0, θ )，有 2 )( θ=XE ，即θ = 2 E (X )，故θ 的矩估计 68.234.122ˆ =×== xθ ． 3． 设总体分布列如下，X1, …, Xn 是样本，试求未知参数的矩估计． （1） N kXP 1}{ == ，k = 0, 1, 2, …, N − 1，N（正整数）是未知参数； （2）P{X = k} = (k − 1)θ 2 (1 − θ )k − 2，k = 2, 3, …，0 < θ < 1． 解：（1）因 2 1)]1(10[1)( −=−+++= NN N XE L ，即 N = 2 E (X ) + 1，故 N 的矩估计 12ˆ += XN ； （2）因 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=−=−−⋅= ∑∑∑ +∞ = +∞ = +∞ = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 )1()1()1()1()( k k k k k k d d d dkkXE θθθθθθθθ θθθθθθθθ θ θθ 2221 )1(1 )1( 3 2 2 2 2 2 2 2 2 =⋅=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− −= d d d d ， 则 )( 2 XE =θ ， 故θ 的矩估计 X 2ˆ =θ ． 4． 设总体密度函数如下，X1, …, Xn 是样本，试求未知参数的矩估计． （1） )(2);( 2 xxp −= θθθ ，0 < x < θ ，θ > 0； （2）p (x;θ ) = (θ + 1) xθ，0 < x < 1，θ > 0； （3） 1);( −= θθθ xxp ，0 < x < 1，θ > 0； （4） θ µ θµθ −−= x xp e1),;( ，x > µ ，θ > 0． 8 解：（1）因 332 2)(2)( 0 32 20 2 θθθθθ θ θ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⋅=−⋅= ∫ xxdxxxXE ，即θ = 3 E (X )，故θ 的矩估计 X3ˆ =θ ； （2）因 2 1 2 )1()1()( 1 0 21 0 + +=+⋅+=+⋅= +∫ θθθθθ θθ xdxxxXE ，即 )(1 1)(2 XE XE − −=θ ， 故θ 的矩估计 X X − −= 1 12θˆ ； （3）因 11 )( 1 0 11 0 1 +=+⋅=⋅= + −∫ θθθθθ θθ xdxxxXE ，即 2 )(1 )( ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= XE XEθ ， 故θ 的矩估计 2 1 ˆ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= X Xθ ； （4）因 θµθµθ µ θ µ µ θ µ µ θ µ µ θ µ µ θ µ +=−=+−=−⋅=⋅= +∞−−∞+ −− +∞−−∞+ −−∞+ −− ∫∫∫ xxxxx dxxdxdxxXE eeee)1(e1)( ， )(2e2ee)1(e1)( 22222 XEdxxxdxdxxXE xxxx θµθ µ θ µ µ θ µ µ θ µ µ θ µ +=+−=−⋅=⋅= ∫∫∫ ∞+ −− +∞−−∞+ −−∞+ −− = µ 2 + 2µθ + 2θ 2， 则 Var (X ) = E(X 2 ) − [E(X )]2 = θ 2，即 )Var(X=θ ， )Var()( XXE −=µ ， 故θ 的矩估计 *ˆ S=θ ， *ˆ SX −=µ ． 5． 设总体为 N (µ , 1)，现对该总体观测 n 次，发现有 k 次观测值为正，使用频率替换方法求µ 的估计． 解：因 p = P{X > 0} = P{X − µ > −µ} = 1 − Φ (−µ) = Φ (µ)，即µ = Φ −1 ( p)， 故µ 的矩估计 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛Φ=Φ= −− n kp 11 )ˆ(µˆ ． 6． 甲、乙两个校对员彼此独立对同一本书的样稿进行校对，校完后，甲发现 a 个错字，乙发现 b 个错字， 其中共同发现的错字有 c 个，试用矩法给出如下两个未知参数的估计： （1）该书样稿的总错字个数； （2）未被发现的错字数． 解：（1）设 N 为该书样稿总错别字个数，且 A、B 分别

表

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示甲、乙发现错别字，有 A 与 B 相互独立， 则 P (AB ) = P (A ) P (B )，使用频率替换方法，即 N b N app N cp BAAB ⋅=== ˆˆˆ ，得 c abN = ， 故总错字个数 N 的矩估计 c abN =ˆ ； （2）设 k 为未被发现的错字数，因 )()()(1)(1)( ABPBPAPBAPBAP +−−=−= U ， 使用频率替换方法，即 N c N b N appp N kp ABBABA +−−=+−−== 1ˆˆˆ1ˆ ，即 k = N − a − b + c， 故未被发现的错字数 k 的矩估计 cba c abcbaNk +−−=+−−= ˆˆ ． 7． 设总体 X 服从二项分布 b(m, p)，其中 m, p 为未知参数，X1, …, Xn为 X 的一个样本，求 m 与 p 的矩估 9 计． 解：因 E(X ) = mp，Var (X ) = mp(1 − p)，有 )( )Var(1 XE Xp =− ， 则 )( )Var(1 XE Xp −= ， )Var()( )]([)( 2 XXE XE p XEm −== ， 故 m 的矩估计 2 2 * ˆ SX Xm −= ，p 的矩估计 X Sp 2*1ˆ −= ． 习题 6.3 1． 设总体概率函数如下，X1, …, Xn 是样本，试求未知参数的最大似然估计． （1） 1);( −= θθθ xxp ，0 < x < 1，θ > 0； （2）p (x;θ ) = θ cθ x − (θ + 1) ，x > c，c > 0 已知，θ > 1． 解：（1）因 1,,,01212 1 10 1 21 )()( << − = << − Ι=Ι=∏ ni xxxn nn i xi xxxxL LL θθ θθθ ， 当 0 < x1, x2, …, xn < 1 时， )ln()1(ln2)(ln 21 nxxx nL L−+= θθθ ， 令 0)ln( 2 1 2 )(ln 21 =+= nxxxnd Ld Lθθθ θ ，得 )ln( 21 nxxx n L−=θ ，即 2 21 )ln( ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= nxxx n Lθ ， 故θ 的最大似然估计 2 21 )ln( ˆ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= nXXX n Lθ ； （2）因 cxxxnnn n i cxi ni xxxcxcL > +− = > +− Ι=Ι=∏ ,,,)1(21 1 )1( 21 )()( LL θθθθ θθθ ， 当 x1, x2, …, xn > c 时，ln L (θ ) = n lnθ + nθ ln c − (θ + 1) ln (x1 x2 …x n)， 令 0)ln(ln)(ln 21 =−+= nxxxcnnd Ld Lθθ θ ，得 cnxxx n n ln)ln( 21 − = Lθ ， 故θ 的最大似然估计 cnXXX n n ln)ln( ˆ 21 − = Lθ ． 2． 设总体概率函数如下，X1, …, Xn 是样本，试求未知参数的最大似然估计． （1）p (x;θ ) = cθ c x − (c + 1) ，x > θ ，θ > 0，c > 0 已知； （2） θ µ θµθ −−= x xp e1),;( ，x > µ ，θ > 0； （3）p (x;θ ) = (kθ )−1，θ < x < (k + 1)θ ，θ > 0． 解：（1）因 θθ θθθ >+− = > +− Ι=Ι=∏ ni xxxcnncnn i x c i c xxxcxcL ,,, )1( 21 1 )1( 21 )()( LL ， 显然θ 越大， ncθ 越大，但只有 x1 , x2 , …, xn > θ 时，才有 L (θ ) > 0， 即θ = min {x1, x2, …, xn} 时，L (θ ) 达到最大， 故θ 的最大似然估计 },,,min{ˆ 21)1( nXXXX L==θ ； 10 （2）因 µ µθ µθ µ θθµθ > ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− = > −− Ι∑=Ι= =∏ n n i i i i xxx nx n n i x x L ,,, 1 1 21 1e1e1),( L ， 当 x1, x2, …, xn > µ 时， ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −−−= ∑ = µθθµθ nxnL n i i 1 1ln),(ln ， 令 01),(ln 1 2 =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+−= ∑ = µθθθ µθ nxn d Ld n i i ，解得 µµθ −=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= ∑ = xnx n n i i 1 1 ， 且显然µ 越大， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− ∑ = µθ nx n i i 1 1 e 越大，但只有 x1 , x2 , …, xn > µ 时，才有 L (θ, µ) > 0， 即µ = min {x1, x2, …, xn} 时，L (θ, µ) 才能达到最大， 故µ 的最大似然估计 },,,min{ˆ 21)1( nXXXX L==µ ，θ 的最大似然估计 )1(ˆˆ XXX −=−= µθ ； （3）因 θθθθ θθθ )1(,,, 1 )1( 1 21 )()()( +<< − = +<< − Ι=Ι=∏ kxxxnn i kx ni kkL L ， 显然θ 越小，(kθ )−n 越大，但只有θ < x1 , x2 , …, xn < (k + 1)θ 时，才有 L (θ ) > 0， 即 },,,max{ 1 1 21 nxxxk L+=θ 时，L (θ ) 达到最大， 故θ 的最大似然估计为 },,,max{ 1 1 1 ˆ 21 )( n n XXX kk X L+=+=θ ． 3． 设总体概率函数如下，X1, …, Xn 是样本，试求未知参数的最大似然估计． （1） θθθ ||e 2 1);( xxp −= ，θ > 0； （2）p (x;θ ) = 1，θ − 1/2 < x < θ + 1/2； （3） 12 21 1),;( θθθθ −=xp ，θ1 < x < θ2． 解：（1）因 ∑== = − = −∏ n i i i x nn n i xL 1 ||1 1 || e 2 1e 2 1)( θθ θθθ ，有 ∑=−−−= n i ixnnL 1 ||1ln2ln)(ln θθθ ， 令 ∑ = +⋅−= n i ixnd Ld 1 2 || 11)(ln θθθ θ ，得 ∑ = = n i ixn 1 ||1θ ， 故θ 的最大似然估计 ∑ = = n i iXn 1 ||1θˆ ； （2）因 2/1,,,2/1 1 2/12/1 21 )( +<<− = +<<− Ι=Ι=∏ θθθθθ ni xxxn i xL L ， 即θ − 1/2 < x (1) ≤ x (n) < θ + 1/2，可得当 x (n) − 1/2 < θ < x (1) + 1/2 时，都有 L (θ ) = 1， 故θ 的最大似然估计θˆ 是 (x (n) − 1/2, x (1) + 1/2) 中任何一个值； （3）因 221121 ,,, 121 12 21 )( 11),( θθθθ θθθθθθ <<= << Ι−=Ι−=∏ ni xxxn n i xL L ， 11 显然θ 1 越大且θ 2 越小时，L (θ1, θ 2) 越大，但只有θ1 < x1 , x2 , …, xn < θ 2 时，才有 L (θ1, θ 2) > 0， 即θ 1 = min {x1, x2, …, xn}且θ 2 = max {x1, x2, …, xn}时，L (θ1, θ 2)达到最大， 故θ 1 的最大似然估计 },,,min{ˆ 21)1(1 nXXXX L==θ ， θ 2 的最大似然估计 },,,max{ˆ 21)(2 nn XXXX L==θ ． 4． 一地质学家为研究密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取 100 个样品，每个样品有 10 块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数．假设这 100 次观察相互独立，求这地区石子中石灰石 的比例 p 的最大似然估计．该地质学家所得的数据如下： 样本中的石子数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 样品个数 0 1 6 7 23 26 21 12 3 1 0 解：总体 X 为样品的 10 块石子中属石灰石的石子数，即 X 服从二项分布 B (10, p)，其概率函数为 xx pp x xp −−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 10)1(10)( ，x = 1, 2, …, 10， 因 ∑−∑⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= == − == − ∏∏ 100 1 100 1 1000100 11 10 )1( 10 )1( 10 )( i i i i ii xx i i n i xx i pp x pp x pL ， 即 )1ln(1000ln10ln)(ln 100 1 100 1 100 1 pxpx x pL i i i i i i −⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+⋅+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= ∑∑∑ === ， 令 0 1 110001)(ln 100 1 100 1 =−⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −−⋅= ∑∑ == p x p x dp pLd i i i i ，得 ∑ = = 100 11000 1 i ixp ，即 ∑ = = 100 11000 1ˆ i iXp 由于 4990913726110 100 1 =+×+×+×+×+=∑ =i ix ， 故比例 p 的最大似然估计 499.0499 1000 1ˆ =×=p ． 5． 在遗传学研究中经常要从截尾二项分布中抽样，其总体概率函数为 mk p pp k m pkXP m kmk ,,2,1, )1(1 )1( };{ L=−− −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ == − ． 若已知 m = 2，X1, …, Xn是样本，试求 p 的最大似然估计． 解：当 m = 2 时，X 只能取值 1 或 2，且 p p p ppXP − −=−− −== 2 22 )1(1 )1(2}1{ 2 ， p p p pXP −=−−== 2)1(1}2{ 2 2 ， 即 p pp p p p ppxXP xxxx − −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −== −−−− 2 )22( 22 22};{ 1212 ，x = 1, 2， 因 n nxxn n i xx p pp p pppL n i i n i i ii )2( )22( 2 )22()( 11 2 1 12 − ∑∑−=− −= −− = −− ==∏ ， 即 )2ln(ln)22ln(2)(ln 11 pnpnxpxnpL n i i n i i −−⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+−⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= ∑∑ == ， 12 令 0 2 11 22 22)(ln 11 =− −⋅−⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+− −⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= ∑∑ == p n p nx p xn dp pLd n i i n i i ，得 xx np n i i 2222 1 −=−= ∑ = ， 故 p 的最大似然估计 X p 22ˆ −= ． 6． 已知在文学家萧伯纳的“An Intelligent Woman’s Guide to Socialism”一书中，一个句子的单词数 X 近 似地服从对数正态分布，即 Z = ln X ~ N (µ , σ 2 )．今从该书中随机地取 20 个句子，这些句子中的单词 数分别为 52, 24, 15, 67, 15, 22, 63, 26, 16, 32, 7, 33, 28, 14, 7, 29, 10, 6, 59, 30， 求该书中一个句子单词数均值 22e)( σµ+=XE 的最大似然估计． 解：因 Z = ln X ~ N (µ , σ 2 )， 则µ 的最大似然估计 09.3)30ln24ln52(ln 20 1ln11ˆ 11 =+++==== ∑∑ == L n i i n i i xn z n zµ ， σ 2 的最大似然估计 51.0])09.330(ln)09.324(ln)09.352[(ln 20 1)(1 222 1 222 =−++−+−=−== ∑ = ∗ ∧ L n i iz zzn sσ ， 故由最大似然估计的不变性知 22e)( σµ+=XE 的最大似然估计 31.28ee)( 251.009.322* === ++∧ zszXE ． 7． 总体 X ~ U (θ , 2θ )，其中θ > 0 是未知参数，又 X1, …, Xn 为取自该总体的样本， X 为样本均值． （1）证明 X 3 2ˆ =θ 是参数θ 的无偏估计和相合估计； （2）求θ 的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 解：（1）因 X ~ U (θ , 2θ )，有 θθθ 2 3 2 2)( =+=XE ， 2 2 12 1 12 )2()Var( θθθ =−=X ， 故 θθθ =⋅=== 2 3 3 2)( 3 2)( 3 2)ˆ( XEXEE ，即 X 3 2ˆ =θ 是参数θ 的无偏估计； 因 nn X n X 2712 1 9 4)Var( 9 4)Var( 9 4)ˆVar( 2 2 θθθ =⋅=== ，有 θθ =→∞ )ˆ(lim En ， 0)ˆVar(lim =∞→ θn ， 故 X 3 2ˆ =θ 是参数θ 的相合估计； （2）因 θθθθ θθθ 2,,,1 2 21 11)( << = << Ι=Ι=∏ ni xxxnn i xL L ， 显然θ 越小， nθ 1 越大，但只有θ < x1 , x2 , …, xn < 2θ 时，才有 L (θ ) > 0， 即 },,,max{ 2 1 21 nxxx L=θ 时，L (θ ) 达到最大， 故θ 的最大似然估计为 },,,max{ 2 1 2 1*ˆ 21)( nn XXXX L==θ ； 13 因 X 的密度函数为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <<= .,0 ;2,1)( 其他 θθθ xxp ，分布函数为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ <≤− < = .2,1 ;2, ;,0 )( θ θθθ θ θ x xx x xF 则 X (n) 的密度函数 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <<−== − − .,0 ;2,)()()]([)( 1 1 其他 θθθ θ xxnxpxFnxp n n n n 因 θθθθ θθθ θ θ θ θ 11 )()()()( 212 1 )( +=+ −⋅=−⋅−=− +−∫ n nnxndxxnxXE n nn n n ，有 θ1 12)( )( + += n nXE n ， 且 2 222 122 )( 22 )()()(])[( θθθθ θθθ θ θ θ θ +=+ −⋅=−⋅−=− +−∫ n nnxndxxnxXE n nn n n ， 则 22 2 2 )()( )2()1(12 )Var()Var( θθθθ ++=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+=−= nn n n n n nXX nn ， 因 θθθ ≠+ +== )1(2 12)( 2 1*)ˆ( )( n nXEE n ， 22)( )2()1(4)Var(4 1*)ˆVar( θθ ++== nn nX n ， 故 )(2 1*ˆ nX=θ 不是参数θ 的无偏估计，应该修偏为 )(12 1ˆ nXn n + +=θ 才是θ 的无偏估计， 因 θθθ =+ += →∞→∞ )1(2 12lim*)ˆ(lim n nE nn ， 0 )2()1(4 lim*)ˆVar(lim 22 =++= ∞→∞→ θθ nn n nn ， 故θ 的最大似然估计 )(2 1*ˆ nX=θ 是参数θ 的相合估计． 8． 设 X1, …, Xn是来自密度函数为 p(x;θ ) = e − (x − θ), x >θ 的样本． （1）求θ 的最大似然估计 1ˆθ ，它是否是相合估计？是否是无偏估计？ （2）求θ 的矩估计 2θˆ ，它是否是相合估计？是否是无偏估计？ 解：（1）似然函数 θ θ θ θθ > +− = > −− Ι∑=Ι= =∏ n n i i i i xxx nxn i x xL ,,, 1 )( 21 1ee)( L ， 显然θ 越大， θnx n i i+−∑ =1e 越大，但只有 x1 , x2 , …, xn > θ 时，才有 L (θ ) > 0， 即θ = min {x1, x2, …, xn} 时，L (θ ) 达到最大， 故θ 的最大似然估计 },,,min{ˆ 21)1(1 nXXXX L==θ ； 因 X 的密度函数与分布函数分别为 ⎩⎨ ⎧ ≤ >= −− .,0 ;,e )( )( θ θθ x xxp x ⎩⎨ ⎧ ≤ >−= −− .,0 ;,e1 )( )( θ θθ x xxF x 则 X (1) 的密度函数为 ⎩⎨ ⎧ ≤ >=−= −− − .,0 ;,e )()](1[)( )( 1 1 θ θθ x xnxpxFnxp xn n 可得 X (1) − θ 服从指数分布 Exp(n)， 14 因 n XE 1)( )1( =−θ ， 2)1( 1)Var( nX =−θ ， 则 θθθ ≠+== n XEE 1)()ˆ( )1(1 ， 2)1()1(1 1)Var()Var()ˆVar( n XX =−== θθ ， 故 )1(1ˆ X=θ 不是θ 的无偏估计； 因 θθθ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += →∞→∞ nE nn 1lim)ˆ(lim 1 ， 0 1lim)ˆVar(lim 21 == →∞→∞ nnn θ ， 故 )1(1ˆ X=θ 是θ 的相合估计； （2）因总体 X 的密度函数为 p(x;θ ) = e − (x − θ), x >θ ，有 X − θ 服从指数分布 Exp(1)， 则 E(X − θ ) = E(X) − θ = 1，即θ = E(X) − 1， 故θ 的矩估计 12ˆ −= Xθ ； 因 E(X) = θ + 1，Var(X) = Var(X − θ) = θ 2， 则 θθ =−=−= 1)(1)()ˆ( 2 XEXEE ， nXnX 2 2 )Var( 1)Var()ˆVar( θθ === ， 故 1ˆ2 −= Xθ 是θ 的无偏估计； 因 θθ =∞→ )ˆ(lim 2En ， 0lim)ˆVar(lim 2 2 == →∞→∞ nnn θθ ， 故 12ˆ −= Xθ 是θ 的相合估计． 9． 设总体 X ~ Exp (1/θ )，X1, …, Xn 是样本，θ 的矩估计和最大似然估计都是 X ，它也是θ 的相合估计和 无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于 X 的估计（提示：考虑 Xaa =θˆ ，找均方误差最小者）． 证：因 X ~ Exp (1/θ )，有 E(X) = θ ，Var(X) = θ 2，且 X 的密度函数为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ >= − .0,0 ;0,e1)( x xxp x θ θ 故θ = E(X)，即θ 的矩估计为 X=θˆ ； 因似然函数 0,,, 1 1 0 21 1e1e1)( > − = > − Ι∑=Ι= =∏ n n i i i i xxx x n n i x x L L θθ θθθ ， 当 x1, x2, …, xn > 0 时， ∑ = −−= n i ixnL 1 1ln)(ln θθθ ， 令 01)(ln 1 2 =+−= ∑ = n i ix n d Ld θθθ θ ，得 xx n n i i == ∑ =1 1θ ， 故θ 的最大似然估计也为 X=θˆ ； 因 θ== )()( XEXE ， n X n X 2 )Var(1)Var( θ== ， 15 故 X 是θ 的无偏估计； 因 θ= →∞ )(lim XE n ， 0lim)Var(lim 2 == ∞→∞→ n X nn θ ， 故 X 是θ 的相合估计； 设 Xaa =θˆ ，有 θθ aXaEE a == )()ˆ( ， n aXaa 22 2 )Var()ˆVar( θθ == ， 则 nn XEXX 2 2 2 2 )(])([)Var()MSE( θθθθθ =−+=−+= ， 22 2 2 22 2 12)(])ˆ([)ˆVar()ˆMSE( θθθθθθθθ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−+=−+=−+= aa n aa n aE aaa 2 2 22 1 1 1 1 1 1 1 21 θθ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++++− += nn na n n nn naa n n ， 故当 1+= n na 时， X n n a 1 ˆ +=θ 的均方误差 1) ˆMSE( 2 += na θθ 小于 X 的均方误差 n X 2 )MSE( θ= ． 10．为了估计湖中有多少条鱼，从中捞出 1000 条，标上记号后放回湖中，然后再捞出 150 条鱼，发现其 中有 10 条鱼有记号．问湖中有多少条鱼，才能使 150 条鱼中出现 10 条带记号的鱼的概率最大？ 解：设湖中有 N 条鱼，有湖中每条鱼带记号的概率为 N p 1000= ， 看作总体 X 服从两点分布 b(1, p)，从中抽取容量为 150 的样本 X1, X2, …, X150，有 10 150 1 =∑ =i ix ， 似然函数 ∑−∑=−= == − = −∏ n i i n i i ii xnxn i xx pppppL 11 )1()1()( 1 1 ，有 )1ln(ln)(ln 11 pxnpxpL n i i n i i −⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+⋅= ∑∑ == ， 令 0 1 11)(ln 11 =− −⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+⋅= ∑∑ == p xn p x dp pLd n i i n i i ，得 xxnp n i i == ∑ =1 1 ，即 p 的最大似然估计为 Xp =ˆ ， 因 p N 1000= ，由最大似然估计的不变性知 X N 1000ˆ = ， 故湖中有 15000 10 150 1 1000ˆ = × =N 条鱼时，才能使 150 条鱼中出现 10 条带记号的鱼的概率最大． 11．证明：对正态分布 N (µ , σ 2 )，若只有一个观测值，则µ , σ 2 的最大似然估计不存在． 证：若只有一个观测值，似然函数 2 2 2 )( 2 e π2 1),( σ µ σσµ −−= x L ， 对于任一固定的σ，当µ = x 时，L(µ)取得最大值 σπ2 1 ， 但显然σ 越小， σπ2 1 越大，且σ 可任意接近于 0，即 σπ2 1 不存在最大值， 故µ , σ 2 的最大似然估计不存在． 习题 6.4 1． 设总体概率函数是 p (x;θ )，X1, …, Xn是其样本，T = T (X1, …, Xn )是θ 的充分统计量，则对 g (θ )的任一 16 估计 gˆ ，令 )|ˆ(~ TgEg = ，证明： )ˆMSE()~MSE( gg ≤ ．这说明，在均方误差准则下，人们只需要考虑 基于充分估计量的估计． 解：因 )|ˆ(~ TgEg = ，由 Rao-Blackwell 定理知 )ˆ()~( gEgE = ， )ˆVar()~Var( gg ≤ ， 故 )ˆMSE()]()ˆ([)ˆVar()]()~([)~Var()~MSE( 22 gggEgggEgg =−+≤−+= θθ ． 2． 设 T1 , T2 分别是θ 1 , θ 2 的 UMVUE，证明：对任意的（非零）常数 a, b，aT1 + bT2 是 aθ 1 + bθ 2的 UMVUE． 证：因 T1 , T2 分别是θ 1 , θ 2 的 UMVUE， 有 E(T1) = θ 1 ，E(T2) = θ 2 ，且对任意的满足 E(ϕ) = 0 的ϕ 都有 Cov (T1 , ϕ) = Cov (T2 , ϕ) = 0， 则E (aT1 + bT2) = a E(T1) + b E(T2) = aθ 1 + bθ 2 ，且Cov (aT1 + bT2 , ϕ) = a Cov (T1 , ϕ) + b Cov (T2 , ϕ) = 0， 故 aT1 + bT2是 aθ 1 + bθ 2的 UMVUE． 3． 设 T 是 g (θ ) 的 UMVUE， gˆ 是 g (θ ) 的无偏估计，证明，若 +∞<)ˆ(Var g ，则 0)ˆ,Cov( ≥gT ． 证：因 gˆ 和 T 都是 g (θ ) 的无偏估计，有 )()()ˆ( θgTEgE == ，即 0)ˆ( =−TgE ， 又因 T 是 g (θ ) 的 UMVUE，有 0)ˆ,(Cov =−TgT ，即 0),Cov()ˆ,Cov( =− TTgT ， 故 0),Cov()ˆ,Cov( ≥= TTgT ． 4． 设总体 X ~ N (µ , σ 2 )，X1 , …, X n 为样本，证明， ∑ = = n i iXn X 1 1 ， ∑ = −−= n i i XXn S 1 22 )( 1 1 分别为µ , σ 2 的 UMVUE． 证：因 X ~ N (µ , σ 2 )，有 X 是µ 的无偏估计，S 2 是σ 2 的无偏估计，且样本 X1 , …, X n 的联合密度函数为 ∑== = −− = −−∏ n i ii x n n i x nxxp 1 2 22 2 )( 2 1 1 2 )( 2 1 e)π2( 1e π2 1),;,,( µσσ µ σσσµL ， 对任意的满足 E(ϕ) = 0 的ϕ (x1 , …, x n)，有 0e )π2( 1)( 1 )( 2 1 1 2 2 =∑⋅= ∫ ∫∞+∞− ∞+∞− −− = n x n dxdxE n i i LL µσϕσϕ ， 对 E(ϕ) = 0 两端关于µ 求偏导数，得 ∫ ∫ ∑∞+∞− ∞+∞− −− = ∑⋅−⋅==∂ ∂ = n xn i in dxdxxE n i i LL 1 )( 2 1 1 2 1 2 2 e)(1 )π2( 10)( µσµσϕσµ ϕ ∫ ∫∞+∞− ∞+∞− −− ∑⋅−⋅= = n x n dxdxnxn n i i LL 1 )( 2 1 2 1 2 2 e)(1 )π2( 1 µσµσϕσ )()]()([])[( 222 ϕσϕµϕσϕµσ XE nEXEnXEn =−=−= ， 则 0)( =ϕXE ， 0)()()(),Cov( =⋅−= ϕϕϕ EXEXEX ， 故 ∑ = = n i iXn X 1 1 是µ 的 UMVUE； 对 0)( =ϕXE 两端再关于µ 求偏导数，得 17 ∫ ∫ ∑∞+∞− ∞+∞− −− = ∑⋅−⋅==∂ ∂ = n xn i in dxdxxxXE n i i LL 1 )( 2 1 1 2 1 2 2 e)(1 )π2( 10)( µσµσϕσµ ϕ ∫ ∫∞+∞− ∞+∞− −− ∑⋅−⋅= = n x n dxdxnxnx n i i LL 1 )( 2 1 2 1 2 2 e)(1 )π2( 1 µσµσϕσ )()]()([])[( 22 2 22 ϕσϕµϕσϕµσ XE nXEXEnXXEn =−=−= ， 则 0)( 2 =ϕXE ， 对 0)()π2( =ϕσ En 两端关于σ 2 求偏导数，得 ∫ ∫ ∑∞+∞− ∞+∞− −− = ∑⋅−⋅==∂ ∂ = n xn i i n dxdxxE n i i LL 1 )( 2 1 1 2 42 1 2 2 e)( 2 10)]()π2[( µσµσϕσ ϕσ ∫ ∫ ∑∞+∞− ∞+∞− −− = ∑⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +−⋅= = n xn i i dxdxnxnx n i i LL 1 )( 2 1 2 1 2 4 1 2 2 e2 2 1 µσµµσϕ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +−= ∑ = ϕµµσ σ 2 1 2 4 22 )π2( nXnXE n i i n ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛= ∑∑ == n i i nn i i n XEEnXEnXE 1 2 4 2 1 2 4 2 )π2()()(2 2 )π2( ϕσ σϕµϕµϕσ σ ， 则 0 1 2 =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∑ = n i iXE ϕ ， 因 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −−=−−= ∑∑ == 2 1 2 1 22 1 1)( 1 1 XnX n XX n S n i i n i i ，有 0)(1 1)( 2 1 22 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= ∑= ϕϕϕ XnEXEnSE n i i ， 则 Cov (S 2, ϕ ) = E(S 2ϕ ) − E(S 2) ⋅ E(ϕ) = 0， 故 ∑ = −−= n i i XXn S 1 22 )( 1 1 是σ 2的 UMVUE． 5． 设总体的概率函数为 p (x;θ )，满足定义 6.4.2 的条件，若二阶导数 );(2 2 θθ xp∂ ∂ 对一切的θ ∈ Θ 存在， 证明费希尔信息量 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−= );(ln)( 2 2 θθθ XpEI ． 证：因 θθ ∂ ∂⋅=∂ ∂ p p p 1ln ， 2 22 2 22 22 2 1ln111ln θθθθθθθ ∂ ∂⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−=∂ ∂⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂⋅−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂⋅∂ ∂=∂ ∂ p p pp p p p p p p ， 故 ∫∫ ∞+∞−∞+∞− ∂∂+−=⋅∂∂⋅+−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ dxpIpdxp p Ip p EpEpE 2 2 2 2 2 22 2 2 )(1)(1lnln θθθθθθθ 18 )()()( 2 2 θθθ IdxxpI −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+−= ∫ ∞+∞− ． 6． 设总体密度函数为 p (x;θ ) = θ xθ − 1, 0 < x < 1, θ > 0，X1 , …, X n 是样本． （1）求 g (θ ) = 1/θ 的最大似然估计； （2）求 g (θ )的有效估计． 解：（1）似然函数 1,,,0121 1 10 1 21 )()( << − = << − Ι=Ι=∏ ni xxxnnn i xi xxxxL LL θθ θθθ ， 当 0 < x1, x2, …, xn < 1 时，ln L(θ ) = n lnθ + (θ − 1) ln (x1x2…xn)， 令 0)ln()(ln 21 =+= nxxxnd Ld Lθθ θ ，得 ∑ = −=−= n i i n x n xxx n 1 21 ln)ln( L θ ，即 ∑ = −= n i iX n 1 ln θˆ ， 故 g (θ ) = 1/θ 的最大似然估计为 ∑ = −== n i iXn g 1 ln1ˆ/1ˆ θ ； （2）因 θθθ θθθθθ 1101ln)(lnln)(ln 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 −=−=⋅−=⋅=⋅= ∫∫∫ − xdxxxxxxdxdxxxXE ， 2 1 0 1 0 21 0 21 0 122 2)(ln2ln2)(ln)()(ln)(ln)(ln θθθ θθθθ =−=⋅−==⋅= ∫∫∫ − XEdxx xxxxxdxdxxxXE ， 则 2 2 2 22 112)](ln[)(ln)Var(ln θθθ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−−=−= XEXEX ， 可得 )(111)(ln1)ˆ( 1 θθθ gnnXEngE n i i ==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⋅⋅−=−= ∑ = ，即 ∑ = −= n i iXn g 1 ln1ˆ 是 g (θ )的无偏估计， 且 222 1 2 111)Var(ln1)ˆ(Var θθ nnnXng n i i =⋅⋅== ∑ = ， 因 p (x; θ ) = θ xθ − 1 I 0 < x < 1，当 0 < x < 1 时，ln p (x; θ ) = lnθ + (θ − 1) lnx ， 则 xxp ln1);(ln +=∂ ∂ θθθ ， 22 2 1);(ln θθθ −=∂ ∂ xp ，即 22 2 1);(ln)( θθθθ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂−= XpEI ， 可得 g (θ ) = 1/θ 无偏估计方差的 C-R 下界为 )ˆ(Var11 1 )( )]([ 2 2 2 22 g nnnI g == ⋅ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− =′ θ θ θ θ θ ， 故 ∑ = −= n i iXn g 1 ln1ˆ 是 g (θ ) = 1/θ 的有效估计． 7． 设总体密度函数为 2e2);( 3 xxxp θθθ −= , x > 0, θ > 0，求θ 的费希尔信息量 I (θ )． 解：因 03 2e2);( > − Ι= xxxxp θθθ ，当 x > 0 时， 2ln3ln2ln);(ln xxxp θθθ −−+= ， 19 则 2 11);(ln x xp −=∂ ∂ θθθ ， 22 2 1);(ln θθθ −=∂ ∂ xp ， 故 22 2 1);(ln)( θθθθ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂−= XpEI ． 8． 设总体密度函数为 p (x; θ ) = θ cθ x − (θ + 1), x > c, c > 0 已知, θ > 0，求θ 的费希尔信息量 I (θ )． 解：因 p (x; θ ) = θ cθ x − (θ + 1) I x > c，当 x > c 时，ln p (x; θ ) = lnθ + θ ln c − (θ + 1) lnx ， 则 xcxp lnln1);(ln −+=∂ ∂ θθθ ， 22 2 1);(ln θθθ −=∂ ∂ xp ， 故 22 2 1);(ln)( θθθθ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂−= XpEI ． 9． 设总体分布列为 P{X = x} = (x − 1) θ 2 (1 − θ )x − 2, x = 2, 3, …, 0 < θ < 1，求θ 的费希尔信息量 I (θ )． 解：因 p (x; θ ) = (x − 1) θ 2 (1 − θ )x − 2，有 ln p (x; θ ) = ln (x − 1) + 2 lnθ + (x − 2) ln (1 − θ )， 则 θθθθ − −−=∂ ∂ 1 22);(ln xxp ， 222 2 )1( 22);(ln θθθθ − −−−=∂ ∂ xxp ， 可得 ]2)([ )1( 12 )1( 22);(ln)( 22222 2 −−+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −−−−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂−= XEXEXpEI θθθθθθθ ， 因 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=−=−−⋅= ∑∑∑ +∞ = +∞ = +∞ = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 )1()1()1()1()( k k k k k k d d d dkkXE θθθθθθθθ θθθθθθθθ θ θθ 2221 )1(1 )1( 3 2 2 2 2 2 2 2 2 =⋅=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− −= d d d d ， 故 )1( 222 )1( 12)( 222 θθθθθθ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−+=I ． 10．设 X1 , …, X n是来自 Ga (α, λ )的样本，α > 0 已知，试证明， α/X 是 g (λ ) = 1/λ 的有效估计，从而也 是 UMVUE． 证：因总体 X ~ Ga (α, λ )，有 λ α=)(XE ， 2)Var( λ α=X ， 则 )(11)(1)(1 λλλ α αααα gXEXE XE ==⋅===⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ，即 α X 是 λλ 1)( =g 的无偏估计， 且 22222 111)Var(11)Var(1Var αλλ α αααα nnXnX X =⋅⋅=⋅==⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ， 因 01 e)();( > −− ΙΓ= x xxxp λα α α λλ ，当 x > 0 时，ln p (x; λ ) = α lnλ − ln Γ (α) + (α − 1) ln x − λ x， 则 xxp −=∂ ∂ λ αλλ );(ln ， 22 2 );(ln λ αλλ −=∂ ∂ xp ，即 22 2 );(ln)( λ αλλλ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂−= XpEI ， 20 可得 g (λ ) = 1/λ 无偏估计方差的 C-R 下界为 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛== ⋅ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− =′ ααλ λ α λ λ λ X nnnI g Var1 1 )( )]([ 2 2 2 22 ， 故 α X 是 λλ 1)( =g 的有效估计，从而也是 UMVUE． 11．设 X1 , …, X m i.i.d. ~ N (a, σ 2)，Y1 , …, Y n i.i.d. ~ N (a, 2σ 2)，求 a 和σ 2 的 UMVUE． 解：根据充分性原则，UMVUE 必为充分统计量，先求参数(a, σ 2)的充分统计量 因样本 X1 , …, X m, Y1 , …, Yn 的联合密度函数为 ∏∏ = −− = −− ⋅⋅= n j aym i ax nm ji ayyxxp 1 4 )( 1 2 )( 2 11 2 2 2 2 e 2π2 1e π2 1),;,,,,,( σσ σσσLL ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −+−− ++ ∑∑ ⋅= == n j j m i i ayax nmnm 1 2 1 2 2 )(2 1)( 2 1 2 e )π()2( 1 σ σ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−+− ++ ∑∑∑∑ ⋅= ==== 2 111 2 1 2 2 22 12 2 1 2 1 2 e )π()2( 1 anmyxayx nmnm n j j m i i n j j m i iσ σ ， 令 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= ∑∑∑∑ ==== n j j m i i n j j m i i YXYXTT 1 2 1 2 11 21 2 1, 2 1),( ，有 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= ∑∑∑∑ ==== n j j m i i n j j m i i yxyxtt 1 2 1 2 11 21 2 1, 2 1),( ， 则 ])5.0(2[ 2 1 2 2 11 2 122e )π()2( 1),;,,,,,( anmatt nmnmnm ayyxxp ++−− ++ ⋅= σ σσLL ， 取 ])5.0(2[ 2 1 2 2 21 2 122e )π()2( 1),;,( anmatt nmnm attg ++−− ++= σσσ ，h(x1, …, xm, y1, …, yn) = 1 与参数 a, σ 2 无关， 可得 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= ∑∑∑∑ ==== n j j m i i n j j m i i YXYXTT 1 2 1 2 11 21 2 1, 2 1),( 是参数(a, σ 2)的充分统计量； 因 anmYEXETE n j j m i i )5.0()(2 1)()( 11 1 +=+= ∑∑ == ，有 a nm YnXmE nm TE =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ + +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 5.0 5.0 5.0 1 ， 则 nm YnXma 5.0 5.0ˆ + += 是参数 a 的无偏估计， 对任意的满足 E(ϕ) = 0 的统计量ϕ (x1 , …, xm, y1, …, yn)， 有 0ee )π()2( 1)( 11 )5.0( 2 1)2( 2 1 2 2 2122 =⋅⋅⋅= ∫ ∫ ∞+ ∞− ∞+ ∞− +−−− ++ nm anmatt nmnm dydydxdxE LLL σσϕσϕ ， 则 0e 11 )2( 2 1 122 =⋅∫ ∫∞+∞− ∞+∞− −− nmatt dydydxdx LLL σϕ ， 两端关于 a 求偏导数，得 02 2 1e 1112 )2( 2 1 122 =⋅⋅⋅∫ ∫∞+∞− ∞+∞− −− nmatt dydydxdxt LLL σϕ σ ， 即 0e 11 )2( 2 1 1 122 =⋅∫ ∫∞+∞− ∞+∞− −− nmatt dydydxdxt LLL σϕ ， 21 则 E(T1ϕ) = 0，有 0)(5.0 1)ˆ( 1 =+= ϕϕ TEnmaE ，即 0)()ˆ()ˆ(),ˆCov( =−= ϕϕϕ EaEaEa ， 故 nm YnXma 5.0 5.0ˆ + += 是参数 a 的 UMVUE； 因 22 1 22 1 22 1 2 1 2 2 )5.0()()2(2 1)()( 2 1)()( anmnmaaYEXETE n j m i n j j m i i +++=+++=+= ∑∑∑∑ ==== σσσ ， 且 2 11 2 11 2 1 ])5.0[()Var(4 1)Var()]([)Var()( anmYXTETTE n j j m i i +++=+= ∑∑ == = (m + 0.5n)σ 2 + (m + 0.5n)2a 2， 则 2 2 1 2 )1(5.0 σ−+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− nmnm TTE ，即 2 2 1 2 5.01 1 σ=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−+ nm TT nm E ， 取 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−+−+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−+= ∑∑∑∑ ==== 2 111 2 1 2 2 1 2 2 2 1 5.0 1 2 1 1 1 5.01 1ˆ n j j m i i n j j m i i YXnm YX nmnm TT nm σ ， 可知 2σˆ 是参数σ 2 的无偏估计， 因 0e 11 )2( 2 1 122 =⋅∫ ∫∞+∞− ∞+∞− −− nmatt dydydxdx LLL σϕ ， 两端关于σ 2求偏导数，得 0)2( 2 1e 11124 )2( 2 1 122 =−⋅⋅⋅∫ ∫∞+∞− ∞+∞− −− nmatt dydydxdxatt LLL σϕ σ ， 即 0e)2( 11 )2( 2 1 12 122 =⋅−∫ ∫∞+∞− ∞+∞− −− nmatt dydydxdxatt LLL σϕ 则 E[(T2 − 2aT1)ϕ] = 0，有 E(T2ϕ) − 2a E(T1ϕ) = 0，可得 E(T2ϕ) = 0， 又因 0e 11 )2( 2 1 1 122 =⋅∫ ∫∞+∞− ∞+∞− −− nmatt dydydxdxt LLL σϕ ， 两端关于 a 求偏导数，得 02 2 1e 1112 )2( 2 1 1 122 =⋅⋅⋅∫ ∫∞+∞− ∞+∞− −− nmatt dydydxdxatt LLL σϕ σ ， 即 0e 11 )2( 2 1 2 1 122 =⋅∫ ∫∞+∞− ∞+∞− −− nmatt dydydxdxt LLL σϕ ， 则 0)( 21 =ϕTE ，有 05.0 )()( 1 1)ˆ( 2 1 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−−+= nm TETE nm E ϕϕϕσ ， 即 0)()ˆ()ˆ(),ˆCov( 222 =−= ϕσϕσϕσ EEE ， 故 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++−+−+= ∑∑∑∑ ==== 2 111 2 1 22 2 1 5.0 1 2 1 1 1ˆ n j j m i i n j j m i i YXnm YX nm σ 是参数σ 2的 UMVUE． 12．设 X1 , …, X n i.i.d. ~ N (µ, 1)，求µ 2 的 UMVUE．证明此 UMVUE 达不到 C-R 不等式的下界，即它不是 有效估计． 解：根据充分性原则，UMVUE 必为充分统计量，先求参数µ 2 的充分统计量， 因样本 X1 , …, Xn 的联合密度函数为 22 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−+−− = −− ∑∑=∑== ===∏ 2 11 2 1 222 2 2 1 )2( 2 1 1 2 )( 1 e)π2( 1e )π2( 1e π2 1);,,( µµµµµ µ nxx n xx n n i x n n i i n i i n i iii xxp L ∑⋅= = −− n i ixnxn n 1 22 2 1 2 1 ee )π2( 1 µµ ， 令 XT = ，有 xt = ，即 ∑⋅= = −− n i ixntn nn xxp 1 22 2 1 2 1 1 ee)π2( 1);,,( µµµL ， 取 2 2 1 e )π2( 1);( µµµ ntn n tg −= ， ∑= = − n i ix nxxxh 1 2 2 1 21 e),,,( L 与参数µ 无关， 可得 XT = 是参数µ 的充分统计量； 因 2222 1)]([)Var(1)]([)Var()( µ+=+=+= n XEX n XEXXE ，即 22 1 µ=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − n XE ， 可知 n X 1ˆ 22 −=µ 是参数µ 2 的无偏估计， 对任意的满足 E(ϕ) = 0 的统计量ϕ (x1 , …, xn)， 有 0e )π2( 1)( 1 2 1 2 1 2 1 2 =∑⋅= ∫ ∫∞+∞− ∞+∞− −+− = n nxnx n dxdxE n i i LL µµ ϕϕ ， 则 0e 1 2 1 1 2 =∑⋅∫ ∫∞+∞− ∞+∞− +− = n xnx dxdx n i i LL µ ϕ ， 两端关于µ 求偏导数，得 0e 12 1 1 2 =⋅∑⋅∫ ∫∞+∞− ∞+∞− +− = n xnx dxdxxn n i i LL µ ϕ ， 两端关于µ 再求偏导数，得 0)(e 122 1 1 2 =⋅∑⋅∫ ∫∞+∞− ∞+∞− +− = n xnx dxdxxn n i i LL µ ϕ ， 即 0e 1 2 1 2 1 2 =∑⋅∫ ∫∞+∞− ∞+∞− +− = n xnx dxdxx n i i LL µ ϕ ， 则 0)( 2 =ϕXE ，有 0)(1)()ˆ( 22 =−= ϕϕϕµ E n XEE ，即 0)()ˆ()ˆ(),ˆCov( 222 =−= ϕµϕµϕµ EEE ， 故 n X 1ˆ 22 −=µ 是参数µ 2 的 UMVUE； 因 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ n NX 1,~ µ ，有 µ=)(XE ， n XEX 1])[()Var( 2 =−= µ ， 0])[( 3 =− µXE ， 24 3])[( nXE =− µ ， 则 43223444 )(4])[(6])[(4])[(])[()( µµµµµµµµµµ +−+−+−+−=+−= XEXEXEXEXEXE 4 2 2 63 µµ ++= nn ， 23 可得 nnnnn XEXEX 2 2 2 24 2 2 22422 42163)]([)()Var()ˆVar( µµµµµ +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−++=−== ， 因总体密度函数 2 )( 2 e π2 1);( µ µ −−= x xp ，有 2 )(π2ln);(ln 2µµ −−−= xxp ， 则 µµµ −=∂ ∂ xxp );(ln ，即 1)();(ln)( 2 2 =−=⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= µµµµ XEXpEI ， 可得 g (µ) = µ 2 无偏估计方差的 C-R 下界为 )ˆ(Var4)2( )( )]([ 2222 µµµµ µ <==′ nnnI g ， 故 n X 1ˆ 22 −=µ 不是参数µ 2 的有效估计． 13．对泊松分布 P(θ )． （1）求 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ θ 1I ； （2）找一个函数 g(⋅)，使 g(θ )的费希尔信息与θ 无关． 解：因总体概率函数为 θθα −= e ! );( x xp x ，有 ln p(x; θ ) = x lnθ − ln x! − θ， 则 θ θ θθθ −=−⋅=∂ ∂ xxxp 11);(ln ，即 θθθθθθθ 1)Var(1)(1);(ln)( 2 2 2 2 ==−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂= XXEXpEI ， 令α = g(θ )可导，有 pg d dpp ln)(lnln αθθ α αθ ∂ ∂⋅′=⋅∂ ∂=∂ ∂ ， 则 )]([)]([)()]([ln)]([ln)( 22 2 2 2 θθαθαθθθ gIgIgpEgpEI ′=′=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂′=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂= ，即 2)]([ )()]([ θ θθ g IgI ′= ， （1）因 θθ 1)( =g ，有 21)( θθ −=′g ， 故 3222 )1( 1 )]([ )(1 θθ θ θ θ θ =−=′=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ g II ； （2）要使得 c gg IgI =′=′= 22 )]([ 1 )]([ )()]([ θθθ θθ 为常数与θ 无关， 则 θθ cg 1)]([ 2 =′ ， θθ cg 1)( =′ ，即 θθ c g 2)( = ， 取 θθ =)(g ，有 θθ 2 1)( =′g ， 故 4 ])2(1[ 1 )]([ )()]([ 22 ==′= θ θ θ θθ g IgI 与θ 无关． 14．设 X1, …, Xn为独立同分布变量，0 < θ < 1， 2 }1{, 2 1}0{, 2 1}1{ 111 θθ ====−=−= XPXPXP ． 24 （1）求θ 的 MLE 1ˆθ ，并问 1ˆθ 是否无偏的； （2）求θ 的矩估计 2ˆθ ； （3）计算θ 的无偏估计的方差的 C-R 下界． 解：（1）方法一：设 X1, …, Xn 中取值−1, 0, 1 分别有 n−1, n0, n1次，有 n−1 + n0 + n1 = n， 则似然函数 n nnnnn L 2 )1( 22 1 2 1)( 11101 θθθθθ − − −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= ，有 ln L(θ ) = n−1 ln (1 − θ ) + n1 ln θ − n ln 2， 令 01 1 1)(ln 11 =⋅+− −⋅= − θθθ θ nn d Ld ，得 11 1 nn n += − θ ， 故θ 的 MLE 11 1 1ˆ nn n += − θ ； 方法二：总体 X 概率函数为 22 2 )1()1)(1( 2 )1( 22 )1( 2 1 22 1 2 1);( xxxx xxxxxx xp +−+−+−− −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= θθθθθ ，x = −1, 0, 1， 则似然函数 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − = +− ∑∑∑∑−=−= ====∏ n i i n i i n i i n i iiiii xxxx n n i xxxx L 11 2 11 222 2 1 2 1 1 22 )1( 2 1)1( 2 1)( θθθθθ ， 有 2lnln 2 1)1ln( 2 1)(ln 11 2 11 2 nxxxxL n i i n i i n i i n i i −⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ++−⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= ∑∑∑∑ ==== θθθ ， 令 01 2 1 1 1 2 1)(ln 11 2 11 2 =⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ++− −⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= ∑∑∑∑ ==== θθθ θ n i i n i i n i i n i i xxxxd Ld ，得 ∑ ∑ ∑ ∑∑ = = = == += + = n i i n i i n i i n i i n i i x x x xx 1 2 1 1 2 11 2 22 1 2 θ ， 故θ 的 MLE ∑ ∑ = =+= n i i n i i X X 1 2 1 1 22 1θˆ ； （注：因 Xi全部可能取值−1, 0, 1，有 11 1 2 nnX n i i += − = ∑ ， 11 1 − = −=∑ nnXn i i ，即以上两个结果一致） 因 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += −−− 1111 1 11 1 1)ˆ( nnnn nEE nn nEE θ ， 且 θθθ θ = +− ==−= ===−== 22 1 2 }11{ }1{}11|1{ XXP XPXXXP 或或 ， 则在 n−1 + n1 = m 的条件下，n1 服从二项分布 b(m, θ )，E(n1 | n−1 + n1 = m) = mθ， 可得 θ==+=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ =++ −−− )(1 11111 11 1 mnnnE m mnn nn nE ，即 θ=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ −− 1111 1 nn nn nE ， 25 故 θθθ == ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= −− )()ˆ( 11 11 1 1 Ennnn nEEE ， 1ˆθ 是θ 的无偏估计； （2）因 2 1 2 1 2 10 2 1)1()( −=×+×+−×−= θθθXE ，有 2 1)( += XEθ ， 故θ 的矩估计 2 1 2ˆ −= Xθ ； （3）因总体 X 概率函数为 22 22 )1( 2 1);( xxxx xp +− −= θθθ ，x = −1, 0, 1， 有 2lnln 2 )1ln( 2 );(ln 22 −++−−= θθθ xxxxxp ， 则 θθθθ 1 21 1 2 );(ln 22 ⋅++− −⋅−=∂ ∂ xxxxxp ， 即 22 22222 2 2 2 2 2 2 )1(2 ])1[(])1[(1 2)1( 1 2 );(ln θθ θθθθ θθθθ − −−++−−=⋅+−− −⋅−=∂ ∂ xxxxxxxp ， 可得费希尔信息量 22 22222 2 2 )1(2 )(])1[()(])1[();(ln)( θθ θθθθθθθ − −−++−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂−= XEXEXpEI ， 因 2 1 2 1 2 10 2 1)1()( −=×+×+−×−= θθθXE ， 2 1 2 1 2 10 2 1)1()( 2222 =×+×+−×−= θθXE ， 则 )1(2 1 )1(2)1(2 2 1)21( 2 1)122( )( 22 2 22 2 θθθθ θθ θθ θθθθ θ −=− −=− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅−+⋅+− =I ， 故θ 的 C-R 下界为 nnI )1(2 )( 1 θθ θ −= ． 15．设总体 X ~ Exp (1/θ )，X1, …, Xn 是样本，θ 的矩估计和最大似然估计都是 X ，它也是θ 的相合估计和 无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于 X 的估计（提示：考虑 Xaa =θˆ ，找均方误差最小者）． 注：此题与习题 6.3 第 9 题相同，这里省略． 习题 6.5 1． 设一页书上的错别字个数服从泊松分布 P (λ )，有两个可能取值：1.5 和 1.8，且先验分布为 P{λ = 1.5} = 0.45, P{λ = 1.8} = 0.55， 现检查了一页，发现有 3 个错别字，试求λ 的后验分布． 解：总体 X 表示一页书上的错别字个数，X ~ P (λ )，样本为 X1 = 3，有 L,2,1,0,e!}{ 1 === − k k kXP k λλ ， 则 P{X1 = 3} = P{λ = 1.5}P{X1 = 3 | λ = 1.5} + P{λ = 1.8}P{X1 = 3 | λ = 1.8} 1449.00884.00565.0e 6 8.155.0e 6 5.145.0 8.1 3 5.1 3 =+=⋅×+⋅×= −− ， 故参数λ 的后验分布为 3899.0 1449.0 0565.0 }3{ }5.1|3{}5.1{}3|5.1{ 1 1 1 === ====== XP XPPXP λλλ ， 26 6101.0 1449.0 0884.0 }3{ }8.1|3{}8.1{}3|8.1{ 1 1 1 === ====== XP XPPXP λλλ ． 2． 设总体为均匀分布U (θ, θ +1)，θ 的先验分布是均匀分布U (10, 16)．现有三个观测值：11.7, 12.1, 12.0．求 θ 的后验分布． 解：参数θ 的先验分布为 16106 1)( <<Ι= θθπ ， 总体 X 的条件分布为 p (x |θ ) = Iθ < x < θ + 1， 有样本 X1 , X 2 , X 3 的联合条件分布为 1,,321 321)|,,( +<<Ι= θθθ xxxxxxp ， 则样本 X1 , X 2 , X 3 和参数θ 的联合分布为 1610,11610,1,,321 )1()3(321 6 1 6 1),,,( <<<<−<<+<< Ι=Ι= θθθθθθ xxxxxxxxh ， 可得样本 X1 , X 2 , X 3 的边际分布为 1.06 1 6 1),,( 7.11 1.111610,1321 )1()3( ==Ι= ∫∫+∞∞− <<<<− θθθθ ddxxxm xx ， 故参数θ 的后验分布为 7.111.11 321 321 321 3 5 ),,( ),,,(),,|( <<Ι== θθθπ xxxm xxxhxxx ． 3． 设 X1 , …, X n是来自几何分布的样本，总体分布列为 P{X = k | θ } = θ (1 − θ )k, k = 0, 1, 2, …， θ 的先验分布是均匀分布 U (0, 1)． （1）求θ 的后验分布； （2）若 4 次观测值为 4, 3, 1, 6，求θ 的贝叶斯估计． 解：（1）参数θ 的先验分布为π (θ ) = I0 < θ < 1， 因样本 X1 , …, X n 的联合条件分布为 ni xxn n i x nxxp ++ = −=−=∏ LL 1)1()1()|,,( 1 1 θθθθθ ，x1 , …, x n = 0, 1, 2, …， 则样本 X1 , …, X n 和参数θ 的联合分布为 101 1)1(),,,( << ++ Ι−= θθθθ nxxnnxxh LL ，x1 , …, x n = 0, 1, 2, …， 样本 X1 , …, X n 的边际分布为 )2( )1()1()1(),,( 1 11 01 1 ++++Γ +++Γ+Γ=−= ∫ ++ n nxxn n xxn xxndxxm n L LL L θθθ ，x1 , …, x n = 0, 1, 2, …， 故参数θ 的后验分布为 10 1 1 1 1 1 1)1( )1()1( )2( ),,( ),,,(),,|( << ++ Ι−+++Γ+Γ ++++Γ== θθθθθπ nxxn n n n n n xxn xxn xxm xxhxx LL L L LL ； （2）因 ∫∫ +++ −+++Γ+Γ ++++Γ=⋅= 1 0 1 1 11 0 11 1)1( )1()1( )2(),,|(),,|( θθθθθπθθ d xxn xxndxxxxE nxxn n n nn L L LLL 2 1 )3( )1()2( )1()1( )2( 11 1 1 1 ++++ +=++++Γ +++Γ+Γ⋅+++Γ+Γ ++++Γ= nn n n n xxn n xxn xxn xxn xxn LL L L L ， 27 则贝叶斯估计 2 1),,|(ˆ 1 1 ++++ +== n nB XXn nXXE LLθθ ， 因样本观测值为 4, 3, 1, 6，即 x1 + … + x n = 15，n = 4， 故 4 1 2144 14ˆ =++ +=Bθ ． 4． 验证：泊松分布的均值λ 的共轭先验分布是伽玛分布． 证：设参数λ 的先验分布是伽玛分布 Ga (α , β )，密度函数为 01 e)()( > −− ΙΓ= λ βλαα λα βλπ ， 因样本 X1 , …, X n 的联合条件分布为 λλ λλλ n n xxn i i x n xxx xxp ni − ++ = − ==∏ e!!e!)|,,( 111 1 LL L ，x1 , …, x n = 0, 1, 2, …， 则样本 X1 , …, X n 和参数λ 的联合分布为 0 )( 1 1 1 e!!)( ),,,( 1 > +− −+++ ΙΓ= λ λβαα α λβλ n n xx n xx xxh n LL L ，x1 , …, x n = 0, 1, 2, …， 样本 X1 , …, X n 的边际分布为 ∫∫ ∞+ +−−+++∞+ +−−+++ Γ=Γ= 0 )(110 )(1 1 1 e!!)( e !!)( ),,( 1 1 λλα βλα λβ λβααλβαα d xx d xx xxm nxx n n n xx n n n L L LLL α α β α α β ++++ +++Γ⋅Γ= nxx n n n xx xx L L L 1)( )( !!)( 1 1 ，x1 , …, x n = 0, 1, 2, …， 即参数λ 的后验分布为 0 )(1 11 1 1 e)( )( ),,( ),,,(),,|( 1 1 > +−−+++ +++ Ι+++Γ +== λλβα α λα βλλπ nxx n xx n n n n n xx n xxm xxhxx L L LL LL ， 后验分布仍为伽玛分布 Ga (x1 + … + x n + α , n + β )， 故伽玛分布是泊松分布的均值λ 的共轭先验分布． 5． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布． 证：设参数σ 2 的先验分布是倒伽玛分布 IGa (α , λ )，密度函数为 2e1 )( )( 1 2 2 σ λαα σα λσπ − + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Γ= ， 又设总体分布为 N (µ 0 , σ 2)，其中µ 0 已知，密度函数为 2 2 0 2 )( 2 e π2 1)|( σ µ σσ −−= x xp ， 有样本 X1 , …, X n 的联合条件分布为 ∑== = −− = −−∏ n i ii x nn n i x nxxp 1 2 022 2 0 )( 2 1 1 2 )( 2 1 e)π2( 1e π2 1)|,,( µσσ µ σσσL ， 则样本 X1 , …, X n 和参数σ 2 的联合分布为 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −+−++ ∑ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅Γ= = n i ix n nn xxh 1 2 02 )(2 111 2 2 2 1 e 1 )()π2( ),,,( µλσ αα σα λσL ， 28 样本 X1 , …, X n 的边际分布为 ∫ ∞+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −+−++ ∑ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅Γ= = 0 2 )( 2 111 2 21 )(e 1 )()π2( ),,( 1 2 02 σσα λ µλσαα dxxm n i ix n nn L ∫ ∞+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −+−++ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−∑⋅Γ= =0 2 )( 2 1 1 2 1e )()π2( 1 2 0 dt t t n i ixtn n µλαα α λ α αµλαα µλ α α λ α λ + = ∞+ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −+−−+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +Γ ⋅Γ= ∑⋅Γ= ∑ ∫ = 2 1 2 0 0 )( 2 1 1 2 )( 2 1 2 )()π2( e )()π2( 1 2 0 n n i i n xtn n x n dtt n i i ， 即参数σ 2 的后验分布为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∑ −+−++ + = =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +Γ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+ = ∑ n i ix n n n i i n n x xx 1 2 02 )(2 111 2 2 2 1 2 0 1 2 e1 2 )( 2 1 ),,|( µλσ α α σα µλ σπ L ， 后验分布仍为倒伽玛分布 ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −++ ∑ = n i ix nIGa 1 2 0 )(2 1, 2 µλα ， 故倒伽玛分布是参数σ 2的共轭先验分布． 6． 设 X1 , …, X n是来自如下总体的一个样本， θθθ <<= x xxp 0,2)|( 2 ． （1）若θ 的先验分布为均匀分布 U (0, 1)，求θ 的后验分布； （2）若θ 的先验分布为π (θ ) = 3θ 2，0 < θ < 1，求θ 的后验分布． 解：样本 X1 , …, X n 的联合条件分布为 θθ θθθ <<= << Ι=Ι=∏ ni xxn n nn i x i n xxxxxp ,,02 1 1 021 1 22)|,,( L LL ， （1）因参数θ 的先验分布为π (θ ) = I0 < θ < 1， 则样本 X1 , …, X n 和参数θ 的联合分布为 1,0,,2 1 1,,02 1 1 )(11 22),,,( <<><<< Ι=Ι= θθ θθθ nnn xxxn n n xxn n n n xxxxxxh LL LLL ， 样本 X1 , …, X n 的边际分布为 0,, )12( )( 11 0,,2 1 1 1)( 1 ]1[ 12 22),,( > −− > Ι⋅−−=Ι= ∫ nn n xxnnn n x xxn n n n xn xxdxxxxm LL LLL θθ ， 故参数θ 的后验分布为 1)12( )( 2 1 1 1 )(]1[ 12 ),,( ),,,(),,|( <<−− Ι− −== θθ θθπ nxn n n n n n x n xxm xxhxx L LL ； （2）因参数θ 的先验分布为π (θ ) = 3θ 2 I0 < θ < 1， 则样本 X1 , …, X n 和参数θ 的联合分布为 1,0,,22 1 1,,022 1 1 )(11 2323),,,( <<>−<<<− Ι⋅=Ι⋅= θθ θθθ nnn xxxn n n xxn n n n xxxxxxh LL LLL ， 29 样本 X1 , …, X n 的边际分布为 0,, )32( )( 11 0,,22 1 1 1)( 1 ]1[ 32 2323),,( > −− >− Ι⋅−− ⋅=Ι⋅= ∫ nn n xxnnn n x xxn n n n xn xxdxxxxm LL LLL θθ ， 故参数θ 的后验分布为 1)32( )( 22 1 1 1 )(]1[ 32 ),,( ),,,(),,|( <<−−− Ι− −== θθ θθπ nxn n n n n n x n xxm xxhxx L LL ． 7． 设 X1 , …, X n是来自如下总体的一个样本， p (x | θ ) = θ x θ − 1，0 < x < 1． 若取θ 的先验分布为伽玛分布，即θ ~ Ga (α , λ )，求θ 的后验期望估计． 解：参数θ 的先验分布为 Ga (α , λ )，密度函数为 01 e)()( > −− ΙΓ= θ λθαα θα λθπ ， 因样本 X1 , …, X n 的联合条件分布为 1,,0 )ln()1( 1,,0 1 1 1 10 1 1 1 1 1 e)()|,,( << − << − = << − Ι=Ι=Ι=∏ nnni xxxxnxxnnn i xin xxxxxp L L LLL θθθ θθθθ ， 则样本 X1 , …, X n 和参数θ 的联合分布为 0,1,,0 )]ln([1 1 1 1 1e )()( ),,,( ><< −−−+ Ι⋅Γ= θ θλαα θα λθ n n xx xxn n n xx xxh L L LL ， 样本 X1 , …, X n 的边际分布为 ∫ ∞+ <<−−−+ Ι⋅Γ= 0 1,,0)]ln([111 11e)()(),,( θθα λ θλαα d xx xxm n n xx xxn n n L L LL 1,,0 11 1)]ln([ )( )()( <<+ Ι− +Γ⋅⋅Γ= nxxnnn xx n xx LLL α α λ α α λ ， 即参数θ 的后验分布为 0 )]ln([11 1 1 1 1e )( )]ln([ ),,( ),,,(),,|( > −−−+ + Ι+Γ −== θθλα α θα λθθπ nxxn n n n n n n xx xxm xxhxx LLL LL ， 后验分布仍为伽玛分布 Ga (n + α , λ − ln (x1…x n))， 因 ∫∫ −−+++Γ−=⋅= 1 0 )]ln([11 0 11 1e )( )]ln([),,|(),,|( θθα λθθπθθ θλα α d n xxdxxxxE nxxn n n nn LLLL )ln()]ln([ )1( )( )]ln([ 1 1 1 1 n n n n n xx n xx n n xx LL L − +=− ++Γ⋅+Γ −= ++ + λ α λ α α λ α α ， 故参数θ 的后验期望估计 )ln( ˆ 1 n B XX n L− += λ αθ ． 8． 设 X1 , …, X n 是来自均匀分布 U (0, θ ) 的样本，θ 的先验分布是帕雷托（Pareto）分布，密度函数为 1 0)( += β β θ βθθπ ，θ > θ 0 ，其中β , θ 0 是两个已知的常数． （1）验证：帕雷托分布是θ 的共轭先验分布； 30 （2）求θ 的贝叶斯估计． 解：（1）参数θ 的先验分布是帕雷托分布，密度函数为 01 0)( θθβ β θ βθθπ >+ Ι= ， 因样本 X1 , …, X n 的联合条件分布为 θθ θθθ <<= << Ι=Ι=∏ ni xxn n i xnxxp ,,0 1 01 1 11)|,,( LL ， 则样本 X1 , …, X n 和参数θ 的联合分布为 },,,max{,0,,1 0 ,,,01 0 1 01101 ),,,( θθβ β θθθβ β θ βθ θ βθθ nnn xxxxnxxnn xxh LLLL >>++><<++ Ι=Ι= ， 样本 X1 , …, X n 的边际分布为 0,, 01 0},,,max{ 0,,1 0 1 101 1 }],,,)[max{( 1),,( >+ ∞+ >++ Ι+⋅=Ι= ∫ nn n xxnnxx xxnn xxndxxm LL L LL ββθ β β θββθθθ βθ ， 即参数θ 的后验分布为 },,,max{1 01 1 01 }],,,)[max{(),,|( θθβ β θ θβθπ nxxn n n n xxnxx L LL >++ + Ι+= ， 后验分布仍为帕雷托分布，其参数为 n + β 和 max{x1 , …, xn , θ 0}， 故帕雷托分布是参数θ 的共轭先验分布； （2）因 ∫+∞ ⋅= },,,max{ 11 01 ),,|(),,|( θ θθπθθ nxx nn dxxxxE L LL ∫ ∞+ + ++= },,,max{ 0101 }],,,)[max{(θ β β θθ θβ nxx n n n dxxn L L },,,max{ 11 }],,,[max{}],,,)[max{( 01 1)( 01 01 θβ β β θθβ ββ n n nn n xxn n n xxxxn LLL −+ +=−+⋅+= ++− + ， 故θ 的贝叶斯估计 },,,max{ 1 ˆ 01 θβ βθ nB XXn n L−+ += ． 9． 设指数分布 Exp (θ ) 中未知参数θ 的先验分布为伽玛分布 Ga (α , λ )，现从先验信息得知：先验均值为 0.0002，先验标准差为 0.01，试确定先验分布． 解：因伽玛分布 Ga (α , λ ) 密度函数为 01 e)()( > −− ΙΓ= θ λθαα θα λθπ ， 则由 0002.0)( == λ αθE ， 0001.0)01.0()Var( 22 === λ αθ ，解得λ = 2，α = 0.0004， 故参数θ 的先验分布为伽玛分布 Ga (0.0004, 2)． 10．设 X1, …, Xn为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为 )0,0(),;( 10 1 11 >>Ι= ≤≤−− θθθ θ ccxcxp xcc ， （1）证明：若 c 已知，则θ 的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若θ 已知，则 c 的共轭先验分布为伽玛分布． 证：样本 X1 , …, X n 的联合条件分布为 θθ θθθ <<−− = << −− Ι=Ι=∏ ni xxnccnnn i x cc in xxccxxxp ,,0 1 1 1 0 1 1 1 )()|,,( LLL ， 31 （1）设参数θ 的先验分布是帕雷托分布，密度函数为 01 0)( θθβ β θ βθθπ >+ Ι= ， 则样本 X1 , …, X n 和参数θ 的联合分布为 },,,max{,0,,1 1 10 ,,,01 1 10 1 01101 )()(),,,( θθβ β θθβ β θ βθ θ βθθ nnn xxxxnc c n n xxnc c n n n xxcxxcxxh LLL LLL >>++ − <<++ − Ι=Ι= ， 样本 X1 , …, X n 的边际分布为 ∫ ∞+ >++ − Ι= },,,max{ 0,,1 1 10 1 01 1 )(),,( θ β β θθ βθ n nxx xxnc c n n n d xxcxxm L L LL 0,, )( 011 10 1 }],,,[max{)( > +− − Ι+= nxx nc nc n n nc xxxxc L LL β θβθ ββ ， 即参数θ 的后验分布为 },,,max{1 01 1 01 }],,,)[max{(),,|( θθβ β θ θβθπ nxxnc nc n n xxncxx L LL >++ + Ι+= ， 后验分布仍为帕雷托分布，其参数为 nc + β 和 max{x1 , …, xn , θ0}， 故帕雷托分布是参数θ 的共轭先验分布； （2）设参数 c 的先验分布为伽玛分布 Ga (α , λ )，密度函数为 01 e)()( > −− ΙΓ= c ccc λα α α λπ ， 则样本 X1 , …, X n 和参数θ 的联合分布为 0,,,0 1 1 1 1 1 e)( )( ),,,( ><< −−−−+ ΙΓ= cxx nccc n n n n xxccxxh θ λαα θα λ LLL 0,,,0 )]ln(ln[1 1 1 1e )()( ><< −+−−+ Ι⋅Γ= cxx cxxnn n n nc xx θ θλαα α λ L L L ， 样本 X1 , …, X n 的边际分布为 ∫ ∞+ <<−+−−+ Ι⋅Γ= 0 ,,0)]ln(ln[111 11e)()(),,( θα λ θ θλαα dc xx xxm n n xx cxxnn n n L L LL θα α θλ α α λ <<+ Ι−+ +Γ⋅⋅Γ= nxxnnn xxn n xx ,,011 1)]ln(ln[ )( )()( LLL ， 即参数θ 的后验分布为 0 )]ln(ln[11 1 1e )( )]ln(ln[),,|( > −+−−+ + Ι+Γ −+= ccxxnn n n n nc n xxnxxc LLL θλα α α θλπ ， 后验分布仍为伽玛分布，其参数为 n + α 和λ + n lnθ − ln (x1…xn)， 故伽玛分布是参数 c 的共轭先验分布． 11．某人每天早上在汽车站等公共汽车的时间（单位：min）服从均匀分布 U (0, θ )，其中θ 未知，假设θ 的 先验分布为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ < ≥= .4,0 ;4,192)( 4 θ θθθπ 假如此人在三个早上等车的时间分别为 5, 3, 8 分钟，求θ 后验分布． 32 解：参数θ 的先验分布为 44192)( >Ι= θθθπ ， 因样本 X1 , …, X n 的联合条件分布为 θθ θθθ <<= << Ι=Ι=∏ ni xxn n i xnxxp ,,0 1 01 1 11)|,,( LL ， 则样本 X1 , …, X n 和参数θ 的联合分布为 }4,,,max{,0,,44,,,041 111 192192),,,( nnn xxxxnxxnn xxh LLLL >>+><<+ Ι=Ι= θθθ θθθ ， 样本 X1 , …, X n 的边际分布为 0,,3 1 }4,,,max{ 0,,41 11 1 }]4,,,)[max{3( 192192),,( >+ +∞ >+ Ι+=Ι= ∫ nn n xxnnxx xxnn xxndxxm LL L LL θθ ， 即参数θ 的后验分布为 }4,,,max{4 3 1 1 1 }]4,,,)[max{3(),,|( nxxn n n n xxnxx L LL >+ + Ι+= θθθπ ， 后验分布仍为帕雷托分布，其参数为 n + 3 和 max{x1 , …, xn , 4}， 因样本观测值为 5, 3, 8，即 max{x1, …, x n, 4} = 8，n = 3， 故参数θ 的后验分布为帕雷托分布，其参数为 6 和 8，密度函数为 87 6 321 86),,|( >Ι×= θθθπ xxx ． 12．从正态分布 N (θ, 22)中随机抽取容量为 100 的样本，又设θ 的先验分布为正态分布，证明：不管先验 分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于 1/5． 解：设θ 的先验分布为正态分布 N (µ, σ 2)，根据书上 P336 例 6.5.3 的结论可知，θ 的后验分布为 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ +=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++ + −− − −−−− −− 22 2 2222 22 25 1, 25 25 2 1, 2 2 σσ µσ σσ µσ XN nn XnN ， 故后验分布的标准差为 5 1 25 1 2 <+ −σ ． 13．设随机变量 X 服从负二项分布，其概率分布为 L,1,,)1( 1 1 )|( +=−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −= − kkxpp k x pxf kxk ， 证明其成功概率 p 共轭先验分布族为贝塔分布族． 证：设参数 p 的先验分布是贝塔分布 Be(a, b)，密度函数为 1011 )1()()( )()( << −− Ι−ΓΓ +Γ= pba ppba bapπ ， 因样本 X1 , …, X n 的联合条件分布为 nkx nk n i i n i kxki n n i i i pp k x pp k x pxxp − == − ∑−⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −=−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −= =∏∏ 1)1(11)1(11)|,,( 111 L ， 则样本 X1 , …, X n 和参数 p 的联合分布为 10 1 1 1 1 1)1( )()( )( 1 1 ),,,( << −+− −+ = Ι∑−ΓΓ +Γ⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −= =∏ pbnkxankn i i n n i i pp ba ba k x pxxh L ， 样本 X1 , …, X n 的边际分布为 33 ∫ ∏ −+−−+ = ∑−ΓΓ +Γ⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −= =1 0 1 1 1 1 1)1( )()( )( 1 1 ),,( dppp ba ba k x xxm bnkx ank n i i n n i i L ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++Γ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +−Γ⋅+Γ ⋅ΓΓ +Γ⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −= ∑ ∑∏ = = = bax bnkxank ba ba k x n i i n i in i i 1 1 1 )( )()( )( 1 1 ， 即参数 p 的后验分布为 10 1 1 1 1 1 1)1( )( ),,|( << −+− −+ = = Ι∑− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−Γ⋅+Γ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ++Γ = = ∑ ∑ p bnkx ank n i i n i i n n i i pp bnkxank bax xxp Lπ ， 后验分布仍为贝塔分布，其参数为 nk + a 和 bnkx n i i +−∑ =1 ， 故贝塔分布是参数 p 的共轭先验分布． 14．从一批产品中抽检 100 个，发现 3 个不合格，假定该产品不合格率θ 的先验分布为贝塔分布 Be(2, 200)， 求θ 的后验分布． 解：参数θ 的先验分布是贝塔分布 Be(2, 200)，密度函数为 10199)1()200()2( )202()( <<Ι−ΓΓ Γ= θθθθπ ， 因样本 X1 , …, X n 的联合条件分布为 ∑−∑=−= == − = −∏ n i i n i i ii xnxn i xx nxxp 11 )1()1()|,,( 1 1 1 θθθθθL ， 则样本 X1 , …, X n 和参数θ 的联合分布为 10 1991 1 11 )1( )200()2( )202(),,,( << −++ Ι∑−∑ΓΓ Γ= == θθθθ n i i n i i xnx nxxh L ， 样本 X1 , …, X n 的边际分布为 ∫ ∑−∑ΓΓ Γ= == −++1 0 1991 1 11 )1( )200()2( )202(),,( θθθ dxxm n i i n i i xnx nL )202( 2002 )200()2( )202( 11 +Γ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+Γ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +Γ ⋅ΓΓ Γ= ∑∑ == n xnx n i i n i i ， 即参数θ 的后验分布为 10 1991 11 1 11 )1( 2002 )202(),,|( << −++ == Ι∑−∑ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −+Γ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ +Γ +Γ= == ∑∑ θ θθθπ n i i n i i xnx n i i n i i n xnx nxx L ， 后验分布仍为贝塔分布，其参数为 ∑ = + n i ix 1 2 和 ∑ = −+ n i ixn 1 200 ， 34 因 n = 100， 3 1 =∑ = n i ix ， 故参数θ 的后验分布为贝塔分布 Be(5, 297)，密度函数为 10 2964 1 )1()297()5( )302(),,|( <<Ι−ΓΓ Γ= θθθθπ nxx L ． 习题 6.6 1． 某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在σ = 0.85，现抽取了一个容量为 n = 25 的样本，测定其强度，算得平均值为 25.2=x ，试求这批化纤平均强度的置信水平为 0.95 的置信区间． 解：已知σ 2，估计µ ，选取枢轴量 )1,0(~ N n XU σ µ−= ，置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ± − nuX σ α 2/1 ， 置信度 1 − α = 0.95，u1 − α /2 = u 0.975 = 1.96， 25.2=x ，σ = 0.85，n = 25， 故µ 的 0.95 置信区间为 ]5832.2,9168.1[ 25 85.096.125.22/1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ×±=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ± − nux σ α ． 2． 总体 X ~ N (µ , σ 2)，σ 2 已知，问样本容量 n 取多大时才能保证µ 的置信水平为 95%的置信区间的长度 不大于 k． 解：已知σ 2，估计µ ，选取枢轴量 )1,0(~ N n XU σ µ−= ，置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ± − nuX σ α 2/1 ，长度为 n u σα 2/12 − ， 置信度 1 − α = 0.95，u1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，有置信区间的长度 k nn u ≤××=− σσα 96.122 2/1 ， 故 k n σ×≥ 92.3 ，即 2 23664.15 k n σ≥ ． 3． 0.50, 1.25, 0.80, 2.00 是取自总体 X 的样本，已知 Y = ln X 服从正态分布 N (µ , 1)． （1）求µ 的置信水平为 95%的置信区间； （2）求 X 的数学期望的置信水平为 95%的置信区间． 解：（1）已知σ 2，估计µ ，选取枢轴量 )1,0(~ N n YU σ µ−= ，置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ± − nuY σ α 2/1 ， 置信度 1 − α = 0.95，u1 − α /2 = u 0.975 = 1.96，σ = 1，n = 4， 0)00.2ln80.0ln25.1ln50.0(ln 4 1 =+++=y ， 故µ 的 95%置信区间为 ]98.0,98.0[ 4 196.102/1 −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ×±=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ± − nuy σ α ； （2）因 Y = ln X 服从正态分布 N (µ , 1)，有 X = e Y，且 Y 的密度函数为 2 )( 2 e π2 1)( µ−−= y yp ， 则 ∫∫ ∞+∞− −+−−∞+ ∞− −− =⋅= dydyXE yyyy y 2 22 2 )( 222 e π2 1e π2 1e)( µµµ 35 2 1 2 )1( 2 1 2 12)1()1(2 ee π2 1ee π2 1 222 +∞+ ∞− −−−+∞+ ∞− −−+++−− === ∫∫ µ µµµµµ dydy yyy ， 故 E(X ) 的 95%置信区间为 [e −0.98 + 0.5, e 0.98 + 0.5] = [0.6188, 4.3929]． 4． 用一个仪表测量某一物理量 9 次，得样本均值 32.56=x ，样本标准差 s = 0.22． （1）测量标准差σ 大小反映了测量仪表的精度，试求σ 的置信水平为 0.95 置信区间； （2）求该物理量真值的置信水平为 0.99 的置信区间． 解：（1）估计 σ 2，选取枢轴量 )1(~)1( 22 2 2 −−= nSn χσχ ，置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − ⋅− − ⋅− − )1( )1(, )1( )1( 2 2/ 2 2 2/1 2 n Sn n Sn αα χχ ， 置信度 1 − α = 0.95，n = 9， 1797.2)8()1( 2025.02 2/ ==− χχα n ， 5345.17)8()1( 2975.02 2/1 ==−− χχ α n ， s = 0.22， 故 σ 2 的 0.95 置信区间为 ]1776.0,0221.0[ 1797.2 22.08, 5345.17 22.08 )1( )1(, )1( )1( 22 2 2/ 2 2 2/1 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ××=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − ⋅− − ⋅− − n sn n sn αα χχ ， 即 σ 的 0.95 置信区间为 ]4215.0,1486.0[]1776.0,0221.0[ = ． （2）未知 σ 2 ，估计µ ，选取枢轴量 )1(~ −−= nt nS XT µ ，置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −± − n SntX )1(2/1 α ， 置信度 1 − α = 0.99，n = 9，t1 − α /2 (n − 1) = t 0.995 (8) = 3.3554， 32.56=x ，s = 0.22， 故µ 的 0.99 置信区间为 ]5661.56,0739.56[ 9 22.03554.332.56)1(2/1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ×±=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −± − n sntx α ． 5． 已知某种

材料

关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料

的抗压强度 X ~ N (µ , σ 2)，现随机地抽取 10 个试件进行抗压试验，测得数据如下： 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 （1）求平均抗压强度µ 的置信水平为 95%的置信区间； （2）若已知σ = 30，求平均抗压强度µ 的置信水平为 95%的置信区间； （3）求σ 的置信水平为 95%的置信区间． 解：（1）未知 σ 2 ，估计µ ，选取枢轴量 )1(~ −−= nt nS XT µ ，置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −± − n SntX )1(2/1 α ， 置信度 1 − α = 0.95，n = 10，t1 − α /2 (n − 1) = t 0.975 (9) = 2.2622， 5.457=x ，s = 35.2176， 故µ 的 95%置信区间 ]6936.482,3064.432[ 10 2176.352622.25.457)1(2/1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ×±=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −± − n sntx α ； （2）已知σ 2，估计µ ，选取枢轴量 )1,0(~ N n XU σ µ−= ，置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ± − nuX σ α 2/1 ， 置信度 1 − α = 0.95，u1 − α /2 = u 0.975 = 1.96， 5.457=x ，σ = 30，n = 10， 故µ 的 95%置信区间为 ]0942.476,9058.438[ 10 3096.15.4572/1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ×±=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ± − nux σ α ； （3）估计 σ 2，选取枢轴量 )1(~)1( 22 2 2 −−= nSn χσχ ，置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − ⋅− − ⋅− − )1( )1(, )1( )1( 2 2/ 2 2 2/1 2 n Sn n Sn αα χχ ， 36 置信度 1 − α = 0.95，n = 10， 7004.2)9()1( 2025.02 2/ ==− χχα n ， 0228.19)9()1( 2975.02 2/1 ==−− χχ α n ， s = 35.2176， 故 σ 2 的 0.95 置信区间为 ]6469.4133,7958.586[ 7004.2 2176.359, 0228.19 2176.359 )1( )1(, )1( )1( 22 2 2/ 2 2 2/1 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ××=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − ⋅− − ⋅− − n sn n sn αα χχ ， 即 σ 的 0.95 置信区间为 ]2934.64,2239.24[]6469.4133,7958.586[ = ． 6． 在一批货物中随机抽取 80 件，发现有 11 件不合格品，试求这批货物的不合格品率的置信水平为 0.90 的置信区间． 解：大样本，估计概率 p，选取枢轴量 )1,0(~ )1( N n pp pXU &− −= ， 置信区间为 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +−±++ − − − − 2 2 2/1 2/1 2 2/1 2 2/1 4 )1( 21 1 n u n XXu n uX nu ααα α ， 置信度 1 − α = 0.90，u1 − α /2 = u 0.95 = 1.645，n = 80， 1375.080 11 ==x ， 故 p 的 0.90 置信区间 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +−±++ − − − − 2 2 2/1 2/1 2 2/1 2 2/1 4 )1( 21 1 n u n xxu n ux nu ααα α ]2128.0,0859.0[ 804 645.1 80 8625.01375.0645.1 160 645.11375.0 80645.11 1 2 22 2 =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ×+ ××±++= ． 注：p 的 0.90 近似置信区间 ]2008.0,0742.0[ 80 8625.01375.0645.11375.0)1(2/1 =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ××±=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −± − n xxux α ； p 的 0.90 修正置信区间（修正频率 1548.0 480 211* =+ +=x ） ]2197.0,0898.0[ 84 8452.01548.0645.11548.0 4 *)1(** 2/1 =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ××±=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ + −± − n xxux α ． 7． 设 X1 , …, X n是来自泊松分布 P (λ ) 的样本，证明：λ 的近似 1 − α 置信区间为 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+ −−−− 2 41212 , 2 41212 2 2 2 2/1 2 2/1 2 2 2 2/1 2 2/1 Xun Xu n XXu n Xu n X αααα ． 证：总体 X ~ P (λ )，有 )(~1 λnPXXXn n++= L ， λ=)(XE ， nX λ=)Var( ，当 n 很大时， ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ n NX λλ,~& ， 37 选取枢轴量 )1,0(~ N n XU &λ λ−= ，置信度为 1 − α ，即 αλ λ αα −=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤−≤− −− 12/12/1 un XuP ， 则 n uX n u λλλ αα 2/12/1 −− ≤−≤− ，即 nuX λλ α ⋅≤− −2 2/12)( ， 012 22 2/12 ≤+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− − XunX λλ α ， 解得 2 41212 2 41212 2 2 2 2/1 2 2/1 2 2 2 2/1 2 2/1 Xun Xu n XXu n Xu n X −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++ ≤≤ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+ −−−− αααα λ ， 置信区间为 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+ −−−− 2 41212 , 2 41212 2 2 2 2/1 2 2/1 2 2 2 2/1 2 2/1 Xun Xu n XXu n Xu n X αααα ． 8． 某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况．现记录了该商店过去的 一些销售量，数据如下： 月销售量 9 10 11 12 13 14 15 16 月份数 1 6 13 12 9 4 2 1 试求平均月销售量的置信水平为 0.95 的置信区间． 解：估计泊松分布的参数λ，由第 7 题的结论可知λ 的近似 1 − α 置信区间为 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +±+= ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +±+ −− −− 2 2 2 2/1 2 2/1 2 2 2 2/1 2 2/1 2 1 2 1 2 41212 Xu n Xu n X Xu n Xu n X αα αα ， 置信度 1 − α = 0.95，u1 − α /2 = u 0.975 = 1.96， 9792.11=x ，n = 48， 故λ 的 0.95 置信区间 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +±+ −− 2 2 2 2/1 2 2/1 2 1 2 1 xu n xu n x αα ]9992.12,0392.11[9792.11 482 96.19792.11 482 96.19792.11 2 222 =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ×+±×+= ． 9． 设从总体 ),(~ 211 σµNX 和总体 ),(~ 222 σµNY 中分别抽取容量为 n1 = 10, n 2 = 15 的独立样本，可计算 得 4.52,76,5.56,82 22 ==== yx sysx ． （1）若已知 49,64 2221 == σσ ，求µ 1 − µ 2 的置信水平为 95%的置信区间； （2）若已知 2221 σσ = ，求µ 1 − µ 2 的置信水平为 95%的置信区间； （3）若对 2221 ,σσ 一无所知，求µ 1 − µ 2 的置信水平为 95%的近似置信区间； （4）求 2221 σσ 的置信水平为 95%的置信区间． 38 解：（1）已知 2221 ,σσ ，估计µ 1 − µ 2 ，选取枢轴量 )1,0(~)()( 2 2 2 1 2 1 21 N nn YXU σσ µµ + −−−= ， 置信区间为 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +⋅±− − 2 2 2 1 2 1 2/1 nn uYX σσα ， 置信度 1 − α = 0.95，u1 − α /2 = u 0.975 = 1.96， 49,64,76,82 2221 ==== σσyx ，n1 = 10，n 2 = 15， 故µ 1 − µ 2 的 95%置信区间为 ]0939.12,0939.0[ 15 49 10 6496.17682 2 2 2 1 2 1 2/1 −=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +×±−=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +⋅±− − nnuyx σσ α ； （2）未知 2221 ,σσ ，但 2221 σσ = ，估计µ 1 − µ 2 ，选取枢轴量 )2(~11 )()( 21 21 21 −+ + −−−= nnt nn S YXT w µµ ， 置信区间为 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +⋅−+±− − 21 212/1 11)2( nn SnntYX wα ， 置信度 1 − α = 0.95，n1 = 10，n 2 = 15，t1 − α /2 (n1 + n 2 − 2) = t 0.975 (23) = 2.0687， 4.52,76,5.56,82 22 ==== yx sysx ，有 3488.723 4.52145.569 =×+×=ws ， 故µ 1 − µ 2 的 95%置信区间为 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +××±−=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +⋅−+±− − 15 1 10 13488.70687.2768211)2( 21 212/1 nn snntyx wα = [−0.2063, 12.2063]； （3）未知 2221 ,σσ ，估计µ 1 − µ 2 ， 选取枢轴量 )(~)()( 0 2 2 1 2 21 lt n S n S YXT yx & + −−−= µµ ，l0 是最接近 )1()1( 2 2 2 4 1 2 1 4 2 2 2 1 2 −+− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + = nn S nn S n S n S l yx yx 的整数， 近似置信区间为 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +⋅±−∈− − 2 2 1 2 02/121 )( n S n SltYX yxαµµ ， 因 n1 = 10，n 2 = 15， 4.52,5.56 22 == yx ss ，有 9201.18 1415 4.52 910 5.56 15 4.52 10 5.56 2 2 2 2 2 = ×+× ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + =l ，即取 l0 = 19， 置信度为 1 − α = 0.95，t1 − α /2 (l0) = t 0.975 (19) = 2.0930， 4.52,76,5.56,82 22 ==== yx sysx ， 故µ 1 − µ 2 的 95%置信区间为 39 ]3288.12,3288.0[ 15 4.52 10 5.560930.27682)( 2 2 1 2 02/1 −=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +×±−=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +⋅±− − n s n sltyx yxα ； （4）估计方差比 2 2 2 1 σ σ ，选取枢轴量 )1,1(~ 212 2 2 2 1 2 −−= nnF S SF y x σ σ ， 置信区间为 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −−⋅−−⋅ − )1,1( 1, )1,1( 1 212/ 2 2 212/1 2 2 nnFS S nnFS S y x y x αα ， 置信度 1 − α = 0.95，n1 = 10，n 2 = 15，F1 − α /2 (n1 − 1, n 2 − 1) = F 0.975 (9, 14) = 3.21， 80.3 1 )9,14( 1)14,9()1,1( 975.0 025.0212/ ===−− FFnnFα ， 4.52,5.56 22 == yx ss ， 故 2 2 2 1 σ σ 的 95%置信区间为 ]0973.4,3359.0[80.3 4.52 50.56, 21.3 1 4.52 50.56 )14,9( 1, )14,9( 1 025.0 2 2 975.0 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ××=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⋅⋅ Fs s Fs s y x y x ． 10．假设人体身高服从正态分布，今抽测甲、乙两地区 18 岁~25 岁女青年身高得数据如下：甲地区抽取 10 名，样本均值 1.64 m，样本标准差 0.2 m；乙地区抽取 10 名，样本均值 1.62 m，样本标准差 0.4 m． （1）两正态总体方差比的置信水平为 95%的置信区间； （2）两正态总体均值差的置信水平为 95%的置信区间． 解：（1）估计方差比 2 2 2 1 σ σ ，选取枢轴量 )1,1(~ 212 2 2 2 1 2 −−= nnF S SF y x σ σ ， 置信区间为 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −−⋅−−⋅ − )1,1( 1, )1,1( 1 212/ 2 2 212/1 2 2 nnFS S nnFS S y x y x αα ， 置信度 1 − α = 0.95，n1 = 10，n 2 = 10，F1 − α /2 (n1 − 1, n 2 − 1) = F 0.975 (9, 9) = 4.03， sx = 0.2，sy = 0.4， 故 2 2 2 1 σ σ 的 95%置信区间为 ]0075.1,0620.0[03.4 4.0 2.0, 03.4 1 4.0 2.0 )9,9( 1, )9,9( 1 2 2 2 2 025.0 2 2 975.0 2 2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ××=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⋅⋅ Fs s Fs s y x y x ； （2）未知 2221 ,σσ ，估计µ 1 − µ 2 ， 选取枢轴量 )(~)()( 0 2 2 1 2 21 lt n S n S YXT yx & + −−−= µµ ，l0 是最接近 )1()1( 2 2 2 4 1 2 1 4 2 2 2 1 2 −+− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + = nn S nn S n S n S l yx yx 的整数， 40 近似置信区间为 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +⋅±−∈− − 2 2 1 2 02/121 )( n S n SltYX yxαµµ ， 因 n1 = 10，n 2 = 10，sx = 0.2，sy = 0.4，有 2353.13 910 4.0 910 2.0 10 4.0 10 2.0 2 4 2 4 222 = ×+× ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + =l ，即取 l0 = 13， 置信度为 1 − α = 0.95，t1 − α /2 (l0) = t 0.975 (13) = 2.1604， 4.0,62.1,2.0,64.1 ==== yx sysx ， 故µ 1 − µ 2 的 95%置信区间为 ]3255.0,2855.0[ 10 4.0 10 2.01604.262.164.1)( 22 2 2 1 2 02/1 −=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +×±−=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +⋅±− − n s n sltyx yxα ． 11．设总体 X 的密度函数为 0e >− Ι xxλλ ，其中λ > 0 为未知参数，X1 , …, X n为抽自此总体的简单随机样本， 求λ 的置信水平为 1 − α 的置信区间． 解：总体 X 服从指数分布 Exp(λ)，有 )2( 2 1,1 2 1~2 2χλ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= GaExpXY ， )2(~ 21 nYYYn n χ++= L ， 选取枢轴量 )2(~2 22 nXn χλχ = ，置信度为 1 − α ，即 αχλχ αα −=≤≤ − 1)}2(2)2({ 2 2/12 2/ nXnnP ， 则 )2(2)2( 2 2/12 2/ nXnn αα χλχ −≤≤ ，即 Xn n Xn n 2 )2( 2 )2( 2 2/1 2 2/ αα χλχ −≤≤ ， 故λ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − Xn n Xn n 2 )2(, 2 )2( 2 2/1 2 2/ αα χχ ． 12．设某电子产品的寿命服从指数分布，其密度函数为 0e >− Ι xxλλ ，现从此批产品中抽取容量为 9 的样本， 测得寿命为（单位：千小时） 15，45，50，53，60，65，70，83，90， 求平均寿命 1/λ 的置信水平为 0.9 的置信区间和置信上、下限． 解：估计指数分布的参数λ，由第 11 题的结论可知λ 的 1 − α 置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − Xn n Xn n 2 )2(, 2 )2( 2 2/1 2 2/ αα χχ ， 则平均寿命 1/λ 的 1 − α 置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − )2( 2, )2( 2 2 2/ 2 2/1 n Xn n Xn αα χχ ， 单侧置信上、下限分别为 )2( 2 2 n Xn αχ 、 )2( 2 2 1 n Xn αχ − ， 置信度 1 − α = 0.9，n = 9， 3905.9)18()2( 205.02 2/ == χχα n ， 8693.28)18()2( 295.02 2/1 ==− χχ α n ， 59=x ， 8649.10)18()2( 21.0 2 == χχα n ， 9894.25)18()2( 29.021 ==− χχ α n ， 故平均寿命 1/λ 的 0.9 置信区间为 41 ]0930.113,7865.36[ 3905.9 5992, 8693.28 5992 )2( 2, )2( 2 2 2/ 2 2/1 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ××××=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − n Xn n Xn αα χχ ； 单侧置信上、下限分别为 7460.97 8649.10 5992 )2( 2 2 =××=n Xn αχ ， 8628.408649.10 5992 )2( 2 2 1 =××= − n Xn αχ ． 13．设总体 X 的密度函数为 +∞<<∞−+∞<<∞−−+= θθθ ,,])(1π[ 1);( 2 xx xp ， X1 , …, X n 为抽自此总体的简单随机样本，求位置参数θ 的置信水平近似为 1 − α 的置信区间． 解：总体 X 服从柯西分布，根据书上 P276 例 5.3.10 的结论可知，样本中位数 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ n Nm 4 π,~ 2 5.0 θ ， 选取枢轴量 )1,0(~ )2(π 5.0 N n mU &θ−= ，置信度为 1 − α ，即 αθ αα −=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤−≤− −− 1)2(π 2/1 5.0 2/1 un muP ， 则 2/15.02/1 )2(π αα θ −− ≤−≤− un mu ，即 n um n um 2 π 2 π 2/15.02/15.0 αα θ −− +≤≤− ， 故θ 的置信水平为 1 − α 的近似置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +− −− numnum 2 π, 2 π 2/15.02/15.0 αα ． 注：因柯西分布数学期望不存在，由样本均值构造枢轴量得到的置信区间不是一个好的估计， 总体 X 服从柯西分布 Ch(1, θ )，根据书上习题 4.2 第 11 题的结论可知，柯西分布具有可加性， 则 ),(~1 θnnChXXXn n++= L ，有 )0,(~ nChnXnY θ−= ，其密度函数与分布函数分别为 )π( )( 22 yn nypY += ， n y n t tn nyF y y Y arctanπ 1 2 1arctan π 1 )π( )( 22 +==+= ∞−∞−∫ ， 可得其 p 分位数 yp 满足 pn y yF ppY =+= arctanπ 1 2 1)( ，即 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 2 ππtan pnyp ， 选取枢轴量 )0,(~ nChnXnY θ−= ，置信度为 1 − α ，即 { } αθ αα −=≤−≤ − 12/12/ ynXnyP ， 则 2 )1π(tan 2 )1π(tan 2/12/ αθα αα −=≤−≤−−= − nynXnny ，即 2 )1π(tan 2 )1π(tan αθα −+≤≤−− XX ， 故θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+−− 2 )1π(tan, 2 )1π(tan αα XX ． 但是该置信区间长度 2 )1π(tan2 α− 与样本容量 n 无关，不会随 n 的增加而缩短，不是一个好的估计． 14．设 X1 , …, X n为抽自正态总体 N (µ , 16)的简单随机样本，为使得µ 的置信水平为 1 − α 的置信区间的长 度不大于给定的 L，试问样本容量 n 至少要多少？ 解：已知σ 2，估计µ ，选取枢轴量 )1,0(~ N n XU σ µ−= ，置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ± − nuX σ α 2/1 ，长度为 n u σα 2/12 − ， 42 因σ 2 = 16，有 L n u ≤− 42 2/1 α ， 故 L un 2/18 α−≥ ，即 2 2 2/164 L un α−≥ ． 15．设 X1 , …, X n为抽自正态总体 N (µ , σ 2)的简单随机样本．试证 2/1 1 2)()]([ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+− ∑ = n i i XXkX σµ 为枢轴量，其中 k 为已知常数． 证：因 2/1 2 22/122/122/1 1 2 )1( )1( ])1[(1])1[( )( )( )( ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − −−−=−−− −=− +−= ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − +− ∑ = σ µσµσµσµ Sn k nS Xnn Sn k nS X Sn kX XX kX n i i ， 且 )1(~ −− nt nS X µ ， )1(~)1( 22 2 −− nSn χσ ，分布都与未知参数µ , σ 2 无关， 故 2/1 1 2)()]([ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+− ∑ = n i i XXkX σµ 的分布与未知参数µ , σ 2 无关，即为枢轴量． 16．设 X1 , …, X n 是来自 U (θ − 1/2, θ + 1/2)的样本，求θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间（提示：证明 θ−+ 2 )1()( XX n 为枢轴量，并求出对应的密度函数）． 证：因总体 X 的密度函数与分布函数分别为 p(x) = Iθ − 0.5 < x < θ + 0.5， ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +≥ +<≤−+− −< = .5.0,1 ;5.05.0,5.0 ;5.0,0 )( θ θθθ θ x xx x xF 则(X(1), X(n))的联合密度函数为 )()1( )()()]()()[1(),( )()1( 2 )1()()()1(1 nxxn n nnn xpxpxFxFnnxxp ≤ − Ι⋅−−= 5.05.0 2 )1()( )()1( ))(1( +<≤<− − Ι−−= θθ nxxnn xxnn ， 由卷积公式得 U = X(1) + X(n)的密度函数， 当 2θ − 1 < u < 2θ 时， 12 2 1 1 )1( 2 2 1 )1( 2 )1()1( )12(2 )2( 2 ]))[(1()( − − − − − +−=−−=−−−= ∫ n u n u n U u nxundxxxunnup θθθ ， 当 2θ ≤ u < 2θ + 1 时， 12 2 1 1 )1( 2 2 1 )1( 2 )1()1( )12(2 )2( 2 ]))[(1()( − −− − −− − −+=−−=−−−= ∫ n u u n u u n U u nxundxxxunnup θθθ ， 当 u ≤ 2θ − 1 或 u ≥ 2θ + 1 时，pU (u) = 0， 令 θθ −+=−= 22 )1()( XXUY n ，Y 的密度函数与分布函数分别为 x(1) x(n) 0 θ − 0.5 θ − 0.5 θ + 0.5 θ + 0.5 43 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <≤− <<−+ =+= − − .,0 ;5.00,)21( ;05.0,)21( )22(2)( 1 1 其他 yyn yyn ypyp n n UY θ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ <≤−− <≤−+ −< = .5.0,1 ;5.00,)21( 2 11 ;05.0,)21( 2 1 ;5.0,0 )( y yy yy y yF n n Y 分布与未知参数θ 无关，Y 为枢轴量， 当 p < 0.5 时，其 p 分位数 yp 满足 pyyF nppY =+= )21(2 1)( ，即 2 1)2( 1 −= np py ， 当 p ≥ 0.5 时，其 p 分位数 yp 满足 pyyF nppY =−−= )21(2 11)( ，即 2 )]1(2[1 1 n p py −−= ， 选取枢轴量 θ−+= 2 )1()( XXY n ，置信度为 1 − α ，即 αθ αα −=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ≤−+≤ − 12 2/1 )1()( 2/ y XX yP n ， 则 2 1 22 1 1 2/1 )1()( 1 2/ n n n y XX y αθα αα −=≤−+≤−= − ，即 2 1 22 1 2 1 )1()( 1 )1()( n n n n XXXX αθα −++≤≤−−+ ， 故θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −++−−+ 2 1 2 , 2 1 2 1 )1()( 1 )1()( n n n n XXXX αα ． 17．设 X1 , …, X n为抽自均匀分布 U (θ1, θ2)的简单随机样本，记 X(1) ≤ X(2) ≤ … ≤ X(n)为其次序统计量．求： （1）θ2 − θ1的置信水平为 1 − α 的置信区间； （2）求 2 12 θθ + 的置信水平为 1 − α 的置信区间． 解：因总体 X 的密度函数与分布函数分别为 21 12 1)( θθθθ <<Ι−= xxp ， ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≥ <≤− − < = .,1 ;, ;,0 )( 2 21 12 1 1 θ θθθθ θ θ x xx x xF 则(X(1), X(n))的联合密度函数为 )()1( )()()]()()[1(),( )()1( 2 )1()()()1(1 nxxn n nnn xpxpxFxFnnxxp ≤ − Ι⋅−−= 2)()1(1)( ))(1( 12 2 )1()( θθθθ <≤< − Ι− −−= nxxn n n xxnn ， （1）由增补变量法得 U = X(n) − X(1)的密度函数， 当 0 < u < θ2 − θ1 时， n nu n n U uunndx xxunn up )( )()1( )( ]))[(1( )( 12 12 2 )1( 12 2 )1()1(2 1 θθ θθ θθ θ θ − −−−=− −+−= −− −∫ ， 当 u ≤ 0 或 u ≥ θ2 − θ1 时，pU (u) = 0， 令 12 )1()( 12 θθθθ − −=−= XXUY n ，Y 的密度函数与分布函数分别为 x(1) x(n) 0 θ2 θ2θ1 θ1 44 ⎩⎨ ⎧ <<−−=−−= − .,0 ;10),1()1( ))(()()( 2 1212 其他 yyynnypyp n UY θθθθ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ <≤−− < = − .1,1 ;10,)1( ;0,0 )( 1 y yynny y yF nnY 可得 Y 服从贝塔分布 Be(n − 1, 2)，其分布与未知参数θ1, θ2 无关，Y 为枢轴量， 其 p 分位数 yp = Bep(n − 1, 2)满足方程 pynnyyF npnppY =−−= − )1()( 1 ， 选取枢轴量 12 )1()( θθ − −= XXY n ，置信度为 1 − α ，即 αθθ αα −=⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ −≤− −≤− − 1)2,1()2,1( 2/1 12 )1()( 2/ nBe XX nBeP n ， 则 )2,1()2,1( 2/1 12 )1()( 2/ −≤− −≤− − nBeXXnBe n αα θθ ，即 )2,1()2,1( 2/ )1()( 12 2/1 )1()( − −≤−≤− − − nBe XX nBe XX nn αα θθ ， 故θ2 − θ1 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − − − − )2,1( , )2,1( 2/ )1()( 2/1 )1()( nBe XX nBe XX nn αα ； （2）由变量替换公式得(U, V ) = (X(n) − X(1), X(n) + X(1))的联合密度函数，有 2,2 )()1( UVXUVX n +=−= ， 雅可比行列式为 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 −= − =J ， 根据θ1 < x(1) < x(n) < θ2，可得 2θ1 < v − u < v + u < 2θ2， 即 0 < u < θ2 − θ1，2θ1 + u < v < 2θ2 − u，有 uvuun n nUV unnJuvuvpvup −<<+−<< − Ι⋅− −=⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−= 2112 22,0 12 2 1 )(2 )1(|| 2 , 2 ),( θθθθθθ ， 令 V* = V − (θ2 + θ1)，有(U, V*)的联合密度函数为 uvuun n UVUV unnvupvup −−<<−−−<< − Ι⋅− −=++= )()(,0 12 2 12* 121212)(2 )1())(*,(*),( θθθθθθθθθθ ， 由增补变量法得 )(2 )()( 2 * )1()( 12)1()( XX XX U VZ n n − +−+== θθ 的密度函数， 当 z < 0 时， n z n n z n n Z z nunduuunnzp )21( 1 )( )1(2 )(2 )1()( 21 012 21 0 12 2 12 12 − −=− −=⋅⋅− −= − − − − −∫ θθθθ θθθθ ， 当 z ≥ 0 时， n z n n z n n Z z nunduuunnzp )21( 1 )( )1(2 )(2 )1()( 21 012 21 0 12 2 12 12 + −=− −=⋅⋅− −= + − + − −∫ θθθθ θθθθ ， u v 0 2θ2 2θ1 θ2 − θ1 u v* 0 θ2 − θ1 θ2 − θ1 θ1 − θ2 45 则 Z 的分布函数为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥+− <− = − − .0,)21( 2 11 ;0,)21( 2 1 )( 1 1 zz zz zF n n Z 分布与未知参数θ1, θ2 无关，Z 为枢轴量， 当 p < 0.5 时，其 p 分位数 zp 满足 pzzF nppZ =−= −1)21(2 1)( ，即 2 )2(1 1 1 n p pz −−= ， 当 p ≥ 0.5 时，其 p 分位数 zp 满足 pzzF nppZ =+−= −1)21(2 11)( ，即 2 1)]1(2[ 1 1 −−= −np pz ， 选取枢轴量 )(2 )()( )1()( 12)1()( XX XX Z n n − +−+= θθ ，置信度为 1 − α ，即 αθθ αα −=⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤− +−+≤ − 1)(2 )()( 2/1 )1()( 12)1()( 2/ zXX XX zP n n ， 则 2 1 )(2 )()( 2 1 1 1 2/1 )1()( 12)1()( 1 1 2/ −=≤− +−+≤−−= −− − n n n n z XX XX z αθθα αα ， 即 )( 2 1 22 )( 2 1 2 )1()( 1 1 )1()(12 )1()( 1 1 )1()( XX XX XX XX n n n n n n −−++≤+≤−−−+ −− αθθα ， 故 2 12 θθ + 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−++−−−+ −− )( 2 1 2 ),( 2 1 2 )1()( 1 1 )1()( )1()( 1 1 )1()( XX XX XX XX n n n n n n αα ． 18．设 X1 , …, Xm i.i.d. ~ U (0, θ1)，Y1 , …, Yn i.i.d. ~ U (0, θ2)，θ1 > 0，θ2 > 0 皆未知，且两样本独立，求 2 1 θ θ 的一个置信水平为 1 − α 的置信区间（提示：令 T1 = X(m)，T2 = Y(n)，证明 2 1 1 2 θ θ⋅ T T 的分布与θ1, θ2无关， 并求出对应的密度函数） 证：令 T1 = X(m)，T2 = Y(n)，有 T1 与 T2相互独立，其联合密度函数为 22112211 0,0 21 1 2 1 1 0 2 1 2 0 1 1 1 2121 )()(),( θθθθ θθθθ <<<< −− << − << − Ι=Ι⋅Ι== ttnm nm tn n tm m nm tmntntmttptpttp ， 由增补变量法得 1 2 T TU = 的密度函数， 当 1 20 θ θ<< u 时， t10 θ2 θ1 t2 46 n n nm nm n nm nm U unm mn nm tmnudttutmntup ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛⋅+=+⋅=⋅⋅= − +−−−∫ 2 11 0 1 21 1 0 11 21 1 1 1 1 1 1 )()( θ θ θθθθ θθ ， 当 1 2 θ θ≥u 时， m m unm nm n u nm nm U unm mn nm tmnudttutmntup ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛⋅+=+⋅=⋅⋅= −− +−−−∫ 1 21 0 1 21 1 0 11 21 1 1 1 1 2 2 )()( θ θ θθθθ θθ ， 当 u ≤ 0 时，pU (u) = 0， 令 2 1 )( )( 2 1 1 2 2 1 θ θ θ θ θ θ ⋅=⋅=⋅= m n X Y T TUY ，Y 的密度函数与分布函数分别为 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥+ <<+ ≤ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= −− − .1, ;10, ;0,0 )( 1 1 1 2 1 2 yy nm mn yy nm mn y ypyp m n UY θ θ θ θ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥+− <≤+ < = − .1,1 ;10, ;0,0 )( yy nm n yy nm m y yF m n Y 分布与未知参数θ1, θ2 无关，Y 为枢轴量， 当 nm mp +< 时，其 p 分位数 yp 满足 pynm myF nppY =+=)( ，即 n p m pnmy 1 )( ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += ， 当 nm mp +≥ 时，其 p 分位数 yp 满足 pynm nyF mppY =+−= −1)( ，即 m p pnm nz 1 )1)(( ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −+= ， 选取枢轴量 2 1 )( )( θ θ⋅= m n X Y Y ，置信度为 1 − α ，即 αθ θ αα −=⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩ ⎪⎨⎧ ≤⋅≤ − 12/1 2 1 )( )( 2/ yX Y yP m n ， 则 m m nn nm ny X Y m nmy 1 2/1 2 1 )( )( 1 2/ )( 2 2 )( ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +=≤⋅≤⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += − αθ θα αα ， 即 m n mn n m nm n Y X m nm Y X 1 )( )( 2 1 1 )( )( )( 2 2 )( ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +≤≤⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + αθ θα ， 故 2 1 θ θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + m n mn n m nm n Y X m nm Y X 1 )( )( 1 )( )( )( 2, 2 )( α α ． 19．设总体 X 的密度函数为 ∞<<∞−Ι= >−− θθ θθ ,e);( )( xxxp X1 , …, X n 为抽自此总体的简单随机样本． （1）证明：X(1) − θ 的分布与θ 无关，并求出此分布； （2）求θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间． 解：（1）总体 X 的分布函数为 47 θ θθ >−− Ι⋅−= xxxF ]e1[);( )( ， 则 X(1)的密度函数为 θ θ > −−− Ι=−= xxnn nxpxFnxp )(11 e)()](1[)( ， 可得 Y = X(1) − θ 的密度函数为 01 e)()( > − Ι=+= ynyY nypyp θ ， 故 Y = X(1) − θ 的分布与θ 无关，服从指数分布 Exp(n)； （2）因 Y = X(1) − θ 的分布函数为 0)e1()( > − Ι−= ynyY yF ， 其 p 分位数 yp 满足 pyF pnypY =−= −e1)( ，即 )1ln(1 pnyp −−= ， 选取枢轴量 Y = X(1) − θ，置信度为 1 − α ，即 P{ yα /2 ≤ X(1) − θ ≤ y1 − α /2} = 1 − α， 则 2 ln1 2 1ln1 2/1)1(2/ αθα αα nyXny −=≤−≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= − ，即 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+≤≤+ 2 1ln1 2 ln1 )1()1( αθα n X n X ， 故θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间为 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −++ 2 1ln1, 2 ln1 )1()1( αα n X n X ．