2.6 指数与指数函数

nullnull 要点梳理 1.根式 （1）根式的概念 如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这 个数叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，则x叫做 ___________,其中n＞1且n∈N*.式子 叫做_____, 这里n叫做_________，a叫做___________. §2.6 指数与指数函数 基础知识 自主学习a的n次方根根式根指数被开方数null（2）根式的性质 ①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号____ 表示. ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为 相反数,这时，正数的正的n次方根用符号____表示, 负的n次方根用符号________表示.正负两个n次方根 可以合写为________（a＞0）. ③ =______. anull④当n为奇数时， =____; 当n为偶数时， =_______________. ⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂： （n∈N*）； ②零指数幂：a0=____（a≠0）； ③负整数指数幂：a-p=_____（a≠0，p∈N*）；a1null④正分数指数幂： =_______（a＞0，m、n∈N*， 且n＞1）； ⑤负分数指数幂： = = (a＞0,m、n ∈N*,且n＞1). ⑥0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂 _____________. （2）有理数指数幂的性质 ①aras= ______(a＞0,r、s∈Q); ②(ar)s= ______(a＞0,r、s∈Q); ③(ab)r= _______(a＞0,b＞0,r∈Q). ar+sarsarbr0没有意义null3.指数函数的图象与性质 R(0,+∞)(0,1)y＞1y＞10＜y＜10＜y＜1增函数减函数null基础自测 1.已知a＜ 则化简 的结果是 （ ） A. B. C. D. 解析Cnull2.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调 递增的是 （ ） A.y=x3 B.y=-x2+1 C.y=|x|+1 D.y=2-|x| 解析 因为y=x3是奇函数，从而可排除A，因为函 数y=-x2+1及y=2-|x|在（0，+∞）上单调递减，所 以排除B、D. Cnull3.右图是指数函数（1）y=ax， （2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx 的图象,则a，b，c，d与1的大 小关系是 ( ) A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c null解析 方法一 当指数函数底数大于1时，图象上升， 且当底数越大时，在第一象限内，图象越靠近y轴； 当底数大于0且小于1时,图象下降,且在第一象限内, 底数越小，图象越靠近x轴. 故可知b＜a＜1＜d＜c,选B. 方法二 令x=1,由图象知c1＞d1＞a1＞b1, ∴b＜a＜1＜d＜c，故选B. 答案 B null4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于 （ ） A.5 B.7 C.9 D.11 解析 ∵f（x）=2x+2-x，f（a）=3， ∴2a+2-a=3， f（2a）=22a+2-2a=4a+4-a =（2a+2-a）2-2=9-2=7. Bnull5.若函数y=(a2-3a+3)·ax为指数函数，则有 （ ） A.a=1或2 B.a=1 C.a=2 D.a＞0且a≠1 解析 ∴a=2. Cnull 题型一 指数幂的化简与求值 【例1】 计算下列各式：题型分类 深度剖析null 先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运 算性质进行计算. 解 思维启迪null 根式运算或根式与指数式混合运算时,将 根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不 强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根 据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指 数，也不能既有分母又含有负指数. 探究提高null知能迁移1解nullnull题型二 指数函数的性质 【例2】 (12分)设函数f(x)= 为奇函数.求： （1）实数a的值； （2）用定义法判断f（x）在其定义域上的单调性. 由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值; 第(2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可.思维启迪null解 (1)方法一 依题意，函数f（x）的定义域为R， ∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）， ［2分］ ∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1. ［6分］ 方法二 ∵f(x)是R上的奇函数， ∴f(0)=0，即 ∴a=1 ［6分］ （2）由(1)知， 设x1＜x2且x1,x2∈R， ［8分］解题示范null ∴f(x2)＞f(x1),∴f(x)在R上是增函数. (1)若f(x)在x=0处有定义,且f(x)是奇函数, 则有f(0)=0,即可求得a=1. （2）由x1＜x2推得 实质上应用了函数 f（x）=2x在R上是单调递增这一性质. 探究提高［10分］［12分］null知能迁移2 设 是定义在R上的函数. （1）f（x）可能是奇函数吗？ （2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性. 解 (1)方法一 假设f(x)是奇函数,由于定义域为R, ∴f（-x）=-f（x）,即 整理得 即 即a2+1=0,显然无解. ∴f（x）不可能是奇函数. null方法二 若f(x)是R上的奇函数， 则f(0)=0,即 ∴f(x)不可能是奇函数. (2)因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x), 即 整理得 又∵对任意x∈R都成立， ∴有 得a=±1. 当a=1时，f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性， 任取x1,x2∈R且x1＜x2, null 当 f(x1)＜f(x2),f(x)为增函数, 此时需要x1＋x2＞0，即增区间为[0,+∞),反之(-∞,0] 为减区间. 当a＝－1时，同理可得f(x)在（-∞，0］上是增函数， 在［0，+∞）上是减函数. null题型三 指数函数的图象及应用 【例3】已知函数 (1)作出图象； (2)由图象指出其单调区间； (3)由图象指出当x取什么值时函数有最值. 思维启迪 化去绝对值符号将函数写成分段函数的形式作图象写出单调区间写出x的取值null解 （1）由已知可得 其图象由两部分组成： 一部分是： 另一部分是：y=3x (x＜0) y=3x+1 (x＜-1). 向左平移 1个单位向左平移 1个单位null图象如图： (2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数， 在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 在作函数图象时,首先要研究函数与某 一基本函数的关系,然后通过平移或伸缩来完成. 探究提高null知能迁移3 若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a＞0，且a≠1) 的图象有两个公共点,则a的取值范围是______. 解析 数形结合. 当a＞1时，如图①,只有一个公共点，不符合题意. 当0＜a＜1时，如图②,由图象可知0＜2a＜1,null 思想方法 感悟提高 1.单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的 无限伸展性，x轴是函数图象的渐近线.当0＜a＜1， x→+∞时，y→0；当a＞1，x→-∞时,y→0;当a＞1时， a的值越大，图象越靠近y轴，递增的速度越快； 当0＜a＜1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速 度越快. 2.画指数函数y=ax的图象,应抓住三个关键点:(1,a)、 (0,1)、(-1, ). 方法与技巧null3.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要 注意运用方程的观点处理问题，通过解方程（组） 来求值，或用换元法转化为方程来求解. 1.指数函数y=ax (a＞0,a≠1)的图象和性质与a的取值 有关，要特别注意区分a＞1与0＜a＜1来研究. 2.对可化为a2x+b·ax+c=0或a2x+b·ax+c≥0 (≤0)的 指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意 换元后“新元”的范围. 失误与防范null 一、选择题 1.下列等式 中一定成立的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析定时检测Anull2.函数f(x)=ax-b的图象如右图，其中 a、b为常数，则下列结论正确 的是 （ ） A.a＞1,b＜0 B.a＞1,b＞0 C.0＜a＜1,b＞0 D.0＜a＜1,b＜0 null解析 由图象得函数是减函数， ∴0＜a＜1. 又分析得，图象是由y=ax的图 象向左平移所得， ∴-b＞0,即b＜0.从而D正确. 答案 Dnull3.已知函数y=4x-3×2x+3,当其值域为[1，7]时，x的 取值范围是 （ ） A.[2，4] B.(-∞，0] C.(0，1]∪[2，4] D.(-∞，0]∪[1，2] 解析 y=(2x)2-3×2x+3 ∴2x∈[-1，1]∪[2，4]， ∴x∈(-∞，0]∪[1，2]. Dnull4.定义运算：a*b= 如1*2=1,则函数 f(x)=2x *2-x的值域为 （ ） A.R B.(0,+∞) C.(0，1] D.[1，+∞) 解析 f（x）=2x *2-x= ∴f（x）在(-∞，0]上是增函数， 在(0，+∞)上是减函数， ∴00且a≠1)的图象关于直线 x=1对称，则a=____. 解析 g（x）上的点P（a，1）关于直线x=1的对 称点P′(2-a,1)应在f(x)=a-x上， ∴1=aa-2.∴a-2=0,即a=2. 2null8.设函数f(x)=a-|x| (a＞0且a≠1),若f(2)=4,则f(-2)与 f(1)的大小关系是__________. 解析 由f(2)=a-2=4,解得a= ∴f(x)=2|x|,∴f(-2)=4＞2=f(1). f(-2)＞f(1)null9.(2009·江苏)已知 函数f(x)=ax,若实数 m、n满足f(m)＞f(n),则m、n的大小关系为______. 解析 ∴函数f(x)=ax在R上是减函数. 又∵f(m)＞f(n),∴m＜n. M＜nnull三、解答题 10.已知对任意x∈R,不等式 恒成立，求实数m的取值范围. 解 由题知:不等式 对x∈R恒 成立， ∴x2+x＜2x2-mx+m+4对x∈R恒成立. ∴x2-（m+1）x+m+4＞0对x∈R恒成立. ∴Δ=（m+1）2-4（m+4）＜0. ∴m2-2m-15＜0.∴-3＜m＜5. null11.若函数y=a2x+2ax-1(a＞0且a≠1)在x∈[-1，1]上的最 大值为14，求a的值. 解 令ax=t,∴t＞0，则y=t2+2t-1=(t+1)2-2,其对称轴 为t=-1.该二次函数在［-1，+∞）上是增函数. ①若a＞1，∵x∈［-1，1］，∴t=ax∈ 故当t=a,即x=1时，ymax=a2+2a-1=14, 解得a=3(a=-5舍去).null②若0＜a＜1，∵x∈［-1，1］， ∴t=ax∈ 故当t= 即x=-1时， 综上可得a=3或 null 12.已知函数 （1）求常数c的值； （2）解不等式 解 （1）依题意0