四边形，多边形的内角和

四边形，多边形的内角和 数学驿站 www.maths168.com 四边形，多边形的内角和 重点:多边形的内角和定理和外角和定理 难点:多边形内角和定理的证明;多边形内角和定理和外角和定理的灵活运用 一、知识点回顾 1. 多边形(包括四边形)的定义:在同一平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺 次相接组成的图形叫做多边形。 2. 多边形(包括四边形)的对角线:在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多 边形的对角线。 n(n,3)n边形共有条对角线。连结多边形的对角线是一种常见的辅助线 2 3. 多边形的内角和定理:n边形的内角和为(n,2)?180?。定理证明的基本思路是要 把问题转化为三角形的内角和问题。 4. 多边形外角和定理:n边形的外角和为360?。 5. n边形的内角中最多有3个是锐角 二、例题: 1、已知:四边形的四个外角度数为1:2:3:4，求各外角的度数。 解:设四个内角的度数分别为3x，3 x，5 x，4 x，根据题意得:3x+3 x+5 x+4 x=360? 解得:x=36，?2x=72，3x=108，4x=144 答:四边形各外角度数分别为36?，72?，108?，144? 2、如图:四边形ABCD中，?B=90?，AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，求?BAD的度数。 解:连结AC D?AB:BC:CD:DA=2:2:3:1 ?设AB=BC=2K，CD=3K，DA=K A ??B=90?，AB=BC=2K 2222?AC=AB+BC=8K(勾股定理) ?BAC=?BCA=45?(等边对等角) 22222BC?AC+AD=9K，CD=9K 222?AC+AD=CD ??CAD=90?(勾股定理的逆定理) ??CAD=90? ??BAD=?BAC+?CAD=135? 3、一个多边形的内角和是720?，求这个多边形的边数。 解:设多边形的边数是n，根据内角和定理可得:(n,2)?180?=720? 解得:n=6 4、一个多边形的每一个外角都是45?，求这个多边形的边数。 解:设多边形的边数是n，根据外角和定理可得:45n=360? 解得:n=8 5、一个多边形的外角和等于内角和的2倍，求这个多边形的边数 解:设多边形的边数是n，根据内角和、外角和定理可得:2?(n,2)?180=360? 数学驿站 www.maths168.com 解得:n=3 6、一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数。 解法1:?多边形的每个内角与外角的比都是7:2 ?多边形的每个内角和与外角和的比是7:2 ?多边形的外角和为360? 7，360?多边形的内角和为=7×180 2 设多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理:(n,2)?180=7×180 解得:n=9 解法2:?多边形的内角与外角分别为7x、2x，根据题意得:7x+2x=180? ?x=20? ?多边形的外角为2×20=40? ?多边形的边数为360?40=9 (这个方法用外角与内角的关系来求，使解题过程变得简单) 7、已知:一个多边形的对角线条数是第二个多边形对角线条数的6倍，其内角和是第二个 多边形内角和的2.5倍，求两个多边形的边数。 解:设第一个多边形的边数为n，第二个多边形边数为n，由题意得: 12 11,,n(n,3),n(n,3),61122 ,22 ,(n,2),180,(n,2),180,2.512, ,12n,27n,,11解得: ,,n,6n,1222,, 8、一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和为2750?，求这个多边形的边数。 解:设多边形边数为n(n?3)，一个内角为x，根据题意有: (n,2)?180,x=2750 ?x=(n,2)?180,2750 ?0