第二宇宙速度
第二宇宙速度的推导 第二宇宙速度的推导
上海中学 张晓红
在地面上发射一个航天器~使之能脱离地球的引力场所需要的最小发射速度~称为第二宇宙速度。一个航天器在它的燃料烧完后脱离地球的过程中~该系统符合机械能守恒的条件。由此即可推得第二宇宙速度v。 2
要计算第二宇宙速度~必须求出在地球引力场中~移动物体时克服引力所做的功。很显然~物体上升的越高~需要做的功也就越多。但同一物体在不同高度处所受地球引力并不相等~随着物体高度的增加~地球引力将逐渐减弱。当物体与地球的距离趋于无穷大时~地球对它的引力也就趋于零~这时物体就脱离了地球的引力场。因此~物体由地球
面上升到无限远处克服地球引力所做的功为一定值。这一数值可用下面的方法进行推算。
P P P P PP1234 n –1n E ? X r0 ?X ?X r1 r? 2 X r3 r n –1 rn
如图所示~设物体m从地球E的引力场中从P处移动到P处。因各处的引力不等~0n
我们可把PP的一段距离分成许多极小的等分Δx。P、P、P、…… P和地球中心的距0n012n离分别为r、r、r、…… r,先求出每一等分中的平均引力~然后求出通过每一等分时物012n
体克服地球引力所做的功~这些功的总和~就是物体从P移动到P克服地球引力所做的功。0n
如果物体依靠消耗自身的动能来完成它所需做的功~那么它从P移动到P克服地球引力所0n做的功~就等于它动能的减少。
根据万有引力定律~如果用G表示万有引力恒量~M表示地球的质量。物体在P0
mMmMF,GF,G处所受的引力为,物体在P处所受的引力为 。 10122rr01
因为P和P相距极近~物体在P、P间所受万有引力的平均值可以近似地等于两0101
mMF,G处引力的比例中项~即: , 1rr01
mM同理~物体在P、P间所受的平均引力为F,G, 122rr12
…………………………………………………………
mMFG,物体在P、P间所受的平均引力为。 n-1nnrrn,1n
物体从P移动到P的过程中克服万有引力所做的功为: 01
W=,P、P间物体受到的平均引力,×,P、P间的距离, 1 0101
,,mM11,,即 , ,,,,,,WGrrGmM110,,rrrr0101,,
物体从P移动到P时克服万有引力所做的功为: 12
,,11,,, ,,WGmM2,,rr12,,
………………………………………………………
同理~物体从P移动到P时克服万有引力做的功为: n -1n
,,11,, WGmM,,n,,rrn,1n,,
把以上各式相加~得到物体从P移动到P整个过程中克服万有引力所做的功为: 0n
,,11,,W = W+ W+ …… W= 。 GmM,1 2 n ,,rr0n,,
应该指出~物体从P处移动到P处克服万有引力所做的功~在数值上就等于物体在0n
P和P两处物体与地球组成的系统的重力势能之差~它的值只与P和P的位置有关~而0n0n与物体移动的路径无关。
12如果物体在P处的速度为v~它的动能就为~物体之所以能克服万有引力做mv02
功~正是因为它具有这些动能。由机械能守恒定律可知~如果只考虑克服地球引力做功~物
体所具有的动能应满足下列条件:
,,1112,,vm,GmM,~ ,,2rr0n,,
,,11,,即物体应具有的速度为: v,2GM,。 ,,rr0n,,
在以上的推导过程中~我们没有考虑物体在运动过程中克服空气阻力做功~也没有
考虑太阳及其它天体引力的影响。在实际情况下~要使物体从P移动到P~所需的动能应0n更大些。
由以上推导得出的速度表达式可知~使物体从地球表面r = R处出发而脱离地球~即
到达r= ?处~物体所具有的速度即为第二宇宙速度~所以第二宇宙速度为: n
112GM,,v,2GM,,,2gR,11.2km/s。 ,,2R,R,,