周期性函数分解的傅里叶级数

周期性函数分解的傅里叶级数 周期电压、电流等都可以用一个周期函数表示，即式中T是周期函数的周期，且 如果给定的周期函数在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值，那么就可以展开成一个收敛的级数（三角级数） 设给定的周期函数，则可展开成     上式中的系数，可按下列公式计算：   这些公式的对导，主要的依据是利用三角函数的定积分的特点。 设m.n是任意整数，则下列定积分成立：             ，    ,        ,        ,        这种特点陈为三角函数的正交性质。 案例来说，如果要确定系数，把式（1）两边各乘以，并对两边取定积分，有 以上式右边来看，利用三角函数定积分的公式，不难看出最后只剩下包括的一项，故有： 所以              特此结束推广到，有 同理，如果用去乘以式（1）的两边后再取积分，则可求得 至于，可以对式（1）两边就一个周期求定积分，得 从而有，故是在一个周期内的平均值。 2．方波的傅里叶级数展开式： 给定一个周期性信号，其波形如图所示，对一个周期性方波（矩形波） 求此信号，的傅里叶级数展开式    的表达式是 ，  ，  按式（2），可求得所需要的个数,即 ，表示恒定分量为零，因为代表在一个周期内的波形 上下面积的代数平均值，因此当波形上下面积相等时，即为零。 当k为偶数时， 所以            当k是奇数时， 所以          由此求得， 如果取上列展开式的三项，分别画出各自的曲线再相加，就 可得到如图所示的合成曲线。 傅里叶级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦周期函数分 解为傅里叶级数后，从理论上讲，必须取无穷多项方能准确地 代表原函数。从实际运算来看，必须取有限的项数，因此就产 生了误差问。截取项数的多少，视要求而定。这里涉及到级数收敛的快慢问题。或者说，就是相续项数的比值大小的问题，如果级数收敛很快，只取级数前几项就够了，五次谐波一般可以略去。而像图1所示的矩形波（方波）其收敛速度比较慢。例如取或，则 当取无穷项时，将得到，这是准确值。但如果取到11次谐波，算出的结果约为0.95。