猴子分苹果问题

猴子分苹果问题 个人文档: 欢迎来到我的豆丁文档，请在阅读后给予评价～谢谢～ ================================================================================= =========== ,p,,q,已经知道了整系数方程的一个解那么我ax，by,c(a,b互质)yx00们就能知道它的全部整数解。 事实上，如果是已知方程的另一解，则由 x,y ax，by,c,, ,ap，bq,c,, 得 a(x,p),,b(y,q)。 k由于互质，从而必有整数使此时 x,p,bk,a,b y,q,,ak 于是，我们得到: x,p，bk,,k (=0,) ,1,,2,？,y,q,ak,, 以上表明，如果我们能够看出二元一次不定方程的某个特殊解，那么要写出其全部整数解，几乎不会有什么困难。 1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出过以下有趣的问题: “海滩上有一堆栗子，这是5只猴的财产，它们要平均分配。第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把栗子分成相等的5堆。分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己拿走5堆中的一堆走了。第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把栗子分成相等的5堆，还是多一个。它也扔掉一个，自己拿走一堆走了。以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办理。问:原来至少有多少个栗子,最后至少有多少个栗子,” y这道题可以这样解答:设原来有个栗子，最后剩下个栗子。依题意得: x 44444(((((x,1),1),1),1),1),1,y, 55555 y整理得 1024x-3125=8404。 要解上述不定方程似乎不太容易。但如果注意到系数3125-1024=2101，恰为 18404的， 4 y,x,也就知道-4，-4是方程的一个特解。根据前面我们讲到的公式，上述不定方程的所有整数解可以写成: x,,4,3125k,,k,1,,2,？ (=0,) ,y,,4,1024k,, ======================================================================感谢您对我的支持，欢迎下次再来学习～============ ===================================祝您身体健康，生活愉快 个人文档: 欢迎来到我的豆丁文档，请在阅读后给予评价～谢谢～ ================================================================================= =========== k,上式当-1时，得到最小的正数3121及最小的正数1020。这就是y,x, 李政道教授所提问题的答案。 李政道教授在讲到上述这一问题时还指出:著名的英国物理学家狄拉克，曾提出过一个巧妙的解法。狄拉克的，这里不准备介绍;但最终的结论不能不提，因为它简洁得使人惊异～狄拉克的答案是:如果题中的猴子数为5，则有 5,x,,4,,5 ,5y,,4。,4, 然而，怎样才能保证方程px，qy,n有整数解呢,我们说只要、互质，pq上述不定方程就必然有整数解。事实上，当、互质时，我们一定能够找到一pq l组整数、，使得: m pl，qm,1, 这样就有 n(pl，qm),n, x,nl,,即得 ,y,nm。, l求、的方法，其历史相当古老，相传是由古希腊数学家欧几里得最早想m pqpq到的。欧几里得方法的核心是辗转相除。两数与(<)辗转相除指的是: pqp用除，得余数;若1，则用除，又得余数;若1，则转过,,rrrrr11122 pq来用除，再得余数;如此反复，辗转相除。由于、互质，上述步骤rrr213 必达某余数等于1而止。 l利用辗转相除的式子，逐一倒推，即可求得、m。我们以上节李政道教授问题中的不定方程为例，来讲解这一道理。令 lm 1024+3125=1, pq显然，=1024，=3125。用辗转相除法: ======================================================================感谢您对我的支持，欢迎下次再来学习～============ ===================================祝您身体健康，生活愉快 个人文档: 欢迎来到我的豆丁文档，请在阅读后给予评价～谢谢～ ================================================================================= =========== 3125,1024，3，53;, ,1024,53，19，17;, ,53,17，3，2;, ,17,2，8，1。, 由上面各式逐一倒推可得 ，81=17-2=17-(53-173)8=1725-538 ，，，， =(1024-5319)25-538=102425-53483 ，，，，， =102425-(3125-10243)483 ，，， =10241474-3125483， ，， l于是得到=1474，=-483。又因=8404， mn x,nl,8404，1474,12387496,,从而 ,y,,nm,8404，483,4059132。, 上一节讲过，不定方程1024-3125=8404的所有整数解是 yx x,,4,3125k,, ,y,,4,1024k。, k=-3964，这也是一个特解。 上面所求的解，相当于 从表面上看，本节所求的特解要比上一节的特解-4，-4复杂得多，y,x, 但两者是有很大不同的。前者靠的是科学推理，后者凭的是一时的猜想。一时的猜测乃思维的贫困，严密的推理系科学的结晶。 ======================================================================感谢您对我的支持，欢迎下次再来学习～============ ===================================祝您身体健康，生活愉快