x年高考x轮复习数学 向量的数量积

x年高考x轮复习数学 向量的数量积 5.2 向量的数量积 ?知识梳理 1.数量积的概念: B(1)向量的夹角:如下图，已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则?AOB=OAOBθ(0??θ?180?)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉. ，A O (2)数量积的定义:已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a?b，即a?b=|a||b|cosθ. (3)数量积的几何意义:数量积a?b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积. 2.数量积的性质:设e是单位向量，〈a，e〉=θ. (1)e?a=a?e=|a|cosθ. (2)当a与b同向时，a?b=|a||b|;当a与b反向时，a?b=,|a||b|，特别地， 22a?a=|a|，或|a|=. a (3)a?ba?b=0. , a,b(4)cosθ=. |a||b| (5)|a?b|?|a||b|. 3.运算律:(1)a?b=b?a;(2)(λa)?b=λ(a?b)=a?(λb);(3)(a+b)?c=a?c+b?c. 4.向量数量积的坐标运算: 设a=(x，y)，b=(x，y)，则 1122 (1)a?b=xx+yy; 1212 22x，y(2)|a|=; 11 xx，yy1212(3)cos〈a，b〉=; 2222x，y,x，y1122 (4)a?ba?b=0xx+yy=0. ,,1212 思考讨论 (a?b)c与a(b?c)是否相等? ?点击双基 1.(2004年全国?，3)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60?，那么|a+3b|等于 71013A. B. C. D.4 2221，6，1，1，cos60:，913(a，3b)a，6a,b，9b解析:|a+3b|====. 答案:C 2.若向量a与b的夹角为60?，|b|=4，(a+2b)?(a,3b)=,72，则向量a的模是 A.2 B.4 C.6 D.x 2222解析:(a+2b)?(a,3b)=|a|,|a||b|cos60?,6|b|=|a|,2|a|,96=,72，?|a|,2|a|,24=0.?(|a|,6)?(|a|+4)=0.?|a|=6. 答案:C 3.已知a=(λ，2)，b=(,3，5)，且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是 1010A.λ, B.λ? 33 1010C.λ, D.λ? 33解析:?a与b的夹角为钝角，?cos〈a，b〉,0. 10?a?b,0.?,3λ+10,0.?λ,. 3 答案:A 4.(2004年上海，6)(理)已知点A(1，,2)，若向量与a=(2，3)同向，|ABAB 13|=2，则点B的坐标为____________. 解析:设A点坐标为(x，y)，B点坐标为(x，y). AABB ?与a同向，?可设=λa=(2λ，3λ)(λ,0). ABAB 2213?||==2，?λ=2. (2,)，(3,)AB 则=(x,x，y,y)=(4，6)， ABBABA x,x,4，x,5，x,1，,,,BABA??? ,,,y,y,6.yy,4.,,2，BAAB,,, ?B点坐标为(5，4). 答案:(5，4) (文)已知点A(,1，,5)和向量a=(2，3)，若=3a，则点B的坐标为AB ____________. 解析:设B点坐标为(x，y)， BB 则=(x+1，y+5)=3a=(6，9)， ABBB ，1,6x，x,5，,,BB?? ,,yy，5,9.,4.BB,, ?B(5，4). 答案:(5，4) ?典例剖析 【例1】 判断下列各命题正确与否: (1)若a?0，a?b=a?c，则b=c; (2)若a?b=a?c，则b?c当且仅当a=0时成立; (3)(a?b)c=a(b?c)对任意向量a、b、c都成立; 22(4)对任一向量a，有a=|a|. 2剖析:(1)(2)可由数量积的定义判断.(3)通过计算判断.(4)把a转化成2a?a=|a|可判断. 解:(1)a?b=a?c，?|a||b|cosα=|a||c|cosβ(其中α、β分别为a与b，a与c的夹 角).?|a|?0，?|b|cosα=|c|cosβ. ?cosα与cosβ不一定相等，?|b|与|c|不一定相等.?b与c也不一定相等.?(1)不 正确. (2)若a?b=a?c，则|a||b|cosα=|a||c|cosβ(α、β为a与b，a与c的夹角). ?|a|(|b|cosα,|c|cosβ)=0. ?|a|=0或|b|cosα=|c|cosβ. 当b?c时，|b|cosα与|c|cosβ可能相等. ?(2)不正确. (3)(a?b)c=(|a||b|cosα)c， a(b?c)=a|b||c|cosθ(其中α、θ分别为a与b，b与c的夹角). (a?b)c是与c共线的向量， a(b?c)是与a共线的向量. ?(3)不正确.(4)正确. 评述:判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义，向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律. 【例2】 平面内有向量=(1，7)，=(5，1)，=(2，1)，点X为直线OPOAOBOP上的一个动点. (1)当?取最小值时，求的坐标; OXXAXB (2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos?AXB的值. 与共线，可以得到关于坐标的一个关剖析:因为点X在直线OP上，向量OXOPOX系式，再根据?的最小值，求得的坐标，而cos?AXB是与夹角的余弦，OXXAXBXAXB利用数量积的知识易解决. 解:(1)设=(x，y)， OX ?点X在直线OP上，?向量与共线. OXOP 又=(2，1)，?x,2y=0，即x=2y. OP ?=(2y，y).又=,，=(1，7)， OXOAOXOAXA ?=(1,2y，7,y). XA 同样=,=(5,2y，1,y). OBOXXB 22于是?=(1,2y)(5,2y)+(7,y)(1,y)=5y,20y+x=5(y,2),8. XAXB ?当y=2时，?有最小值,8，此时=(4，2). OXXAXB (2)当=(4，2)，即y=2时，有=(,3，5)，=(1，,1). OXXAXB 34?||=，||=. 2XAXB XA,XB417?cos?AXB==,. 17|XA||XB| 评述:(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数.而(2)中即为数量积定义的应用. 【例3】 已知向量、、满足++ =0，||=||=||=1. OPOPOPOPOPOPOPOPOP123123123 求证:?PPP是正三角形. 123 剖析:由||=||=||=1知O是?PPP的外接圆的圆心，要证?PPP是正OPOPOP123123123 三角形，只需证?POP=?POP=?POP即可，即需求与，与，OPOPOPOPOP12233112233与的夹角.由++=0变形可出现数量积，进而求夹角. OPOPOPOP1123 证明:?++=0，?+=,.?|+|=|,|. OPOPOPOPOPOPOPOPOP123123123 222?||+||+2?=||. OPOPOPOPOP12123 又?||=||=||=1， OPOPOP123 1??=,. OPOP122 1?,,||cos?POP=,， OPOP12122 即?POP=x0?. 12 同理?POP=?POP=x0?. 1323 ??PPP为等边三角形. 123 评述:解本题的关键是由++=0转化出现向量的数量积，进而求夹角. OPOPOP123 深化拓展 本题也可用如下方法证明:以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P(x，y)，P1112(x，y)，P(x，y)， 22333 则=(x，y)，=(x，y)，=(x，y). OPOPOP112233123 由++=0， OPOPOP123 ，，,0xxx，，,,xxx，,,123123得? ,,，，,0.yyyy，y,,y.123123,, 2222由||=||=||=1，得x+y=x+y=x+y=1. OPOPOPxx2233123 ?2+2(xx+yy)=1. 1212 22?||= (x,x)，(y,y)PP121212 2222x，x，y，y,2xx,2yy= 12121212 3==. (21,xx,yy)1212 33同理||=，||=. PPPP1323 ??PPP为正三角形. 123 ?闯关训练 夯实基础 1.若a=(2，3)，b=(,4，7)，则a在b方向上的投影为 13653A. B. C. 55 65 D. 2，(,4)，3，7a,b1365解析:a在b方向上的投影为===. 22|b|565(,4)，7答案:C 12.已知|a|=10，|b|=x，且(3a)?(b)=,36，则a与b的夹角是 5 A.60? B.x0? C.135? D.150? 1解析:由(3a)?(b)=,36得a?b=,60. 5 a,b,601?cos〈a，b〉==,. |a||b|10，122 又0??〈a，b〉?180?，?〈a，b〉=x0?. 答案:B 3.若向量c垂直于向量a和b，d=λa+μb(λ、μ?R，且λμ?0)，则 A.c?d B.c?d C.c不平行于d，也不垂直于d D.以上三种情况均有可能 a，c?b，?c?a=0，c?b=0. 解析:?c? ?c?d=c?(λa+μb)=c?(λa)+c?(μb)=λc?a+μc?b=0. 答案:B 4.给出下列命题: 22?若a+b=0，则a=b=0; ?已知a、b、c是三个非零向量，若a+b=0， 则|a?c|=|b?c|; BCCA?在?ABC中，a=5，b=8，c=7，则?=20; ,?a与b是共线向量a?b=|a||b|. 其中真命题的序号是_______.(请把你认为是真命题的序号都填上) 22解析:?a+b=0，?|a|=,|b|. 又|a|?0，|b|?0， ?|a|=|b|=0.?a=b=0.??正确. ?a+b=0，?a=,b，|a?c|=|a||c||cos〈a，c〉|，|b?c|=|b||c||cos〈b，c〉|=|a||c||cos〈,a，c〉 |= |a||c||cos(π,〈a，c〉)|=|a||c||cos〈a，c〉|.??正确. 22225，64,49，,abc1?cosC===. 2ab2，5，82 1?=||||cos(π,C)=5?8?(,)=,20.??不正确. BCCABCCA222?a与b是共线向量a=λb(b?0)a?b=λb，而|a||b|=|λb||b|=|λ||b|. ,, ??不正确. 答案:?? 5.已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45?，求当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，2 λ的取值范围. 解:a+λb与λa+b的夹角为锐角， 即(a+λb)?(λa+b),0， 222也就是λa+(λ+1)a?b+λb,0， 22即2λ+(λ+1)??3?+9λ,0， 22 ,11,85,11，85解得λ,或λ,. 66 6.如下图，以原点和A(5，2)为两个顶点作等腰直角?OAB，使?B=90?. y B A xO 求点B和向量的坐标. AB OBOB分析:这里关键是求出B点的坐标，设B(x，y)，由?和||=||，则可列ABAB 出x、y的方程组. 解:设B点坐标为(x，y)， OB则=(x，y)，=(x,5，y,2). AB OB??，?x(x,5)+y(y,2)=0， AB22即x+y,5x,2y=0. ? OB又||=|AB|， 2222?x+y=(x,5)+(y,2)， 即10x+4y=29. ? 解??得 73,,x,，x,，12,,,,22或 ,,37,,yy,,,12,,22,, 7337?B点坐标为(，,)或(，). 2222 3773ABAB故=(,，,)或=(,，) 2222 培养能力 7.(2004年x，14)(理)已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，BCCAAB则?+?+?的值等于_______. BCBCCACAABAB 222解析:?||+||=||， BCCAAB ??ABC为直角三角形，其中?B=90?. ??+?+?=0+||||cos(π,?C)+||||cos(πBCBCCACABCCACAABABAB,?A)=,25. 答案:,25 3(文)已知平面上三点A、B、C满足||=2，||=1，||=，则?+BCCABCABAB?+?的值等于_________. BCCACAAB 222解析:?||+||=||， BCCAAB ??ABC为直角三角形且?C=90?. ??+?+?=||||cos(π,?B)+0+||||cos(π,BCBCCACABCCAABABABAB?A)=,4. 答案:,4 18.已知F(,1，0)，F(1，0)，A(，0)，动点P满足3?+?=0. PAPAPFPF12122 (1)求动点P的轨迹方程. (2)是否存在点P，使PA成为?FPF的平分线?若存在，求出P点坐标;若不存在，12 请说明理由. 1解:(1)设P(x，y)，则=(,1,x，,y)，=(1,x，,y)， =(,x，PAPFPF122,y). 11222??=(,1,x)(,x)+(,y)=(x+1)(x,)+y， PAPF122 1122?=(1,x)?(,x)+(,y)=(x,1)(x,)+y. PAPF222 1122?3,(x+1)(x,)+y,+(x,1)(x,)+y=0. 22 122?x+y=即为P点的轨迹方程. 4 (2)设存在，则cos?FPA=cos?APF. 12 PF,PAPF,PA12,?. |PF|,|PA||PF|,|PA|12 将条件3?=,?代入上式不成立.?不存在. PAPAPFPF12 探究创新 3139.已知平面向量a=(，,1)，b=(，)， 22 (1)证明:a?b; 2(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t,3)b，y=,ka+tb，且x?y，试求 函数关系式k=f(t); (3)据(2)的结论，确定函数k=f(t)的单调区间. 313(1)证明:a?b=?+(,1)?=0. 22222(2)解:?x?y，?x?y=0，且a?b=0，a=4，b=1，整理得,4k+t(t,3)=0， 12?k= t(t,3). 4 13332,,(3)解:记f(t)=(t,3t)，?(t)=t,.令(t),0得t,,1或t,1.ff444 因此，当t?(,?，,1)时，f(t)是增函数;当t?(1，+?)时，f(t)也是增函数. ,再令(t),0，得,1,t,1，故t?(,1，1)时，f(t)是减函数. f ?思悟小结 1.平面向量的数量积及其几何意义是本节的x，用数量积处理向量垂直问题，向量的长度、角度问题是难点. 2.向量的数量积是向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果却是一个数量，所以向量的数量积的坐标表示是纯数量的坐标表示. 3.向量a与b的夹角:(1)当a与b平移成有公共起点时两向量所成的角才是夹角; xx，yya,b1212(2)0??〈a，b〉?180?;(3)cos〈a，b〉==. 2222|a||b|x，y,x，y1122?教师下载中心 教学点睛 1.本课时复习的x是:平面向量的数量积及其几何意义，掌握向量垂直的条件，了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题. 2.向量的数量积是向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果却是一个数量. a,b3.要让学生掌握向量的夹角的含义.要会用cosθ=或cosθ=|a||b| xx，yy1212求两向量的夹角. 2222x，y,x，y1122 拓展题例 122【例题】 在?ABC中，(1)若CA=a，CB=b，求证:S=;(|a||b|),(a,b)?ABC2 1(2)若CACB=(a，a)，=(b，b)，求证:?ABC的面积S=|ab,ab|. ?121212212 11CACB证明:(1)设a、b的夹角为θ，?ABC的面积S=||||sinθ=|a||b|sinθ. ?22 a,b222?sinθ=1,cosθ=1,()， |a||b| 1222?S=(|a||b|)sinθ ?4 a,b122=(|a||b|),1,(), |a||b|4 122=,(|a||b|),(a?b),. 4 122?S=. (|a||b|),(a,b)?2 2222OBCA(2)记=a，=b，则a=(a，a)，b=(b，b).?|a|=a+a，|b|=b+b， 1212x2x222|a?b|=(ab+ab). 1122 122由(1)可知S= (|a||b|),(a,b)?2 122222(a，a)(b，b),(ab，ab)= 121211222 12=， (ab,ab)12212 1?S=|ab,ab|. ?12212 评述:(1)是用数量积给出的三角形的面积公式;(2)是用向量坐标给出的三角形的面积公式. 5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移 ?知识梳理 1.设A(x，y)，B(x，y)， 1122 则=(x,x，y,y). AB2121 22?||=. AB(x,x)，(y,y)2121 2.线段的定比分点是研究共线的三点P，P，P坐标间的关系.应注意:(1)点P是不12 同于P，P的直线PP上的点;(2)实数λ是P分有向线段所成的比，即P?P，P?PP1212112 ,xx，,12x，,,,,1，P的顺序，不能搞错;(3)定比分点的坐标公式(λ?,1). 2,,yy，12,y,,，1,, 3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，,x,x，h，, ,,y,y，k., 特别提示 1.定比分点的定义:点P为所成的比为λ，用数学符号表达即为=λ.当PPPPPP1212λ,0时，P为内分点;λ,0时，P为外分点. 2.定比分点的向量表达式: ,1OPP点分成的比为λ，则=+(O为平面内任一点). PPOPOP12121，,1，, 3.定比分点的应用:利用定比分点可证共线问题. ?点击双基 1.(2004年东北三校联考题)若将函数y=f(x)的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由(1，0)变为(2，2)，则平移后的图象的解析式为 A.y=f(x+1),2 B.y=f(x,1),2 C.y=f(x,1)+2 D.y=f(x+1)+2 解析:由平移公式得a=(1，2)，则平移后的图象的解析式为y=f(x,1)+2. 答案:C 222.(2004年x八校x次联考)将抛物线y=4x沿向量a平移得到抛物线y,4y=4x，则向量a为 A.(,1，2) B.(1，,2) C.(,4，2) D.(4，,2) 解析:设a=(h，k)，由平移公式得 ,,x,x,hx,x,h，,,, ,,,,y,y,ky,y,k，,,2代入y=4x得 222,,,,,xxyyy(,k)=4(,h)，,2k=4,4h,k， 22即y,2ky=4x,4h,k， ?k=2，h=,1. ?a=(,1，2). 答案:A 思考讨论 本题不用平移公式代入配方可以吗? 2提示:由y,4y=4x，配方得 2(y,2)=4(x+1)， ?h=,1，k=2.(知道为什么吗?) 3.设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A点分所得的比为 BC3A. B.8 8 3 38C., D., 83 ,5，103解析:设A点分所得的比为λ，则由2=，得λ=,. BC,，,8答案:C 4.若点P分所成的比是λ(λ?0)，则点A分所成的比是____________. ABBP 解析:?=λ，?=λ(,+).?(1+λ)=λ. APPBAPAPABAPAB ,,1，1，?=.?=,. ABAPBAAP,, ,1，答案:, , 5.(理)若?ABC的三边的中点坐标为(2，1)、(,3，4)、(,1，,1)，则?ABC的 重心坐标为____________. 解析:设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)， 112233 x，x,12,2，,2,y，y,12,1，,2,x，x13,,,3，，，,,2xxx,,2123则 ? ,,y，y，，,4yyy13123,,,4，,2,x，x23,,,1，,2,yy，23,,,1.2, 24?重心坐标为(,，). 33 24答案:(,，) 33 (文)已知点M(6，2)和M(1，7)，直线y=mx,7与线段MM的交点M分有向1212 线段的比为3?2，则m的值为____________. MM12 336，2，7，4，211522解析:设M(x，y)，则x===3，y===5，即M(3，5)，代33551，1，22 入y=mx,7得5=3m,7，?m=4. 答案:4 ?典例剖析 1【例1】 已知点A(,1，6)和B(3，0)，在直线AB上求一点P，使||=||. APAB3 111剖析:||=||，则=或=.设出P(x，y)，向量转化为坐标运APABAPABAPBA333 算即可. 11解:设P的坐标为(x，y)，若=，则由(x+1，y,6)=(4，,6)，得 APAB33 4,1,x，1,，x,，,,解得 33,,,,y,4.y,6,,2.,, 1此时P点坐标为(，4). 3 11若=,，则由(x+1，y,6)=,(4，,6)得 APAB33 47,,x，1,,，x,,，,,解得 33,, ,,y,6,2.y,8.,, 177?P(,，8).综上所述，P(，4)或(,，8). 333 深化拓展 11本题亦可转化为定比分点处理.由=，得=，则P为的定比分APABAPABPB23 111点，λ=，代入公式即可;若=,，则=,，则P为的定比分APABAPABPB243 1点，λ=,. 4 A P BPAB 由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法. 【例2】 已知?ABC的三个顶点坐标分别是A(4，1)，B(3，4)，C(,1，2)，BD 是?ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长. AC剖析:?A、C两点坐标为已知，?要求点D的坐标，只要能求出D分所成的比 即可. ADAB2510AC,,解:?|BC|=2，|AB|=，?D分所成的比λ=. DCBC2由定比分点坐标公式，得 ,24，，,1(),2,,,9,52x，D,21，, 2,,1，2,y,,2.D,21，,2, ?D点坐标为(9,5，). 22 22?|BD|==. (9,52,3)，(2,4)104,682评述:本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可 解出D点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化. 深化拓展 本题也可用如下解法:设D(x，y)，?BD是?ABC的平分线， ?〈，〉=〈，〉. BCBABDBD BA,BDBC,BD?,， |BA||BD||BC|,|BD| BC,BDBA,BD即=. |BA||BC| 又=(1，,3)，=(x,3，y,4)，=(,4，,2)， BCBABD x,3,3y，12,4x，12,2y，8?=. 2010 ?(4+2)x+(2,32)y+92,20=0. ? AC又A、D、C三点共线，?，共线. AD AC又=(x,4，y,1)，=(x+1，y,2)， AD ?(x,4)(y,2)=(x+1)(y,1). ? ,x,9,52，,由??可解得 ,,y,2., 22104,682?D点坐标为(9,5，)，|BD|=. 思考讨论 若BD是AC边上的高，或BD把?ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请 读者思考. 【例3】 已知在?ABCD中，点A(1，1)，B(2，3)，CD的中点为E(4，1)，将 ?ABCD按向量a平移，使C点移到原点O. (1)求向量a; (2)求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标. DCAB解:(1)由?ABCD可得=， 设C(x，y)，D(x，y)， 3344 ,,1，?xx,34则 ,y,y,2.?34, 又CD的中点为E(4，1)， ，xx,34,4，?,,2则 ,，yy34,,1.?,2, 97,,x,，x,，,,34由?,?得 22,, ,,y,2，y,0，34,, 97即C(，2)，D(，0). 22 9?a=(,，,2). 2 75(2)由平移公式得A′(,，,1)，B′(,，1)，C′(0，0)，D′(,1，,22 2). ?闯关训练 夯实基础 π1.(2004年福州质量检查题)将函数y=sinx按向量a=(,，3)平移后的函数解析4式为 ππA.y=sin(x,)+3 B.y=sin(x,),443 ππC.y=sin(x+)+3 D.y=sin(x+),443 π,,,x,x,h，x,x，，,,解析:由得 4,,,y,y,k，,,,y,y,3., π,,x?,3=sin(+). y4 π,,x?y=sin(+)+3， 4 π即y=sin(x+)+3. 4 答案:C π2.(2003年x调研题)将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin(2x+)3+1的图象，则a等于 ππA.(,，1) B.(,，1) 36 ππC.(，,1) D.(，1) 36 πππ解析:由y=2sin(2x+)+1得y=2sin2(x+)+1，?a=(,，1). 366 答案:B 23.(2004年东城区模拟题)已知点P是抛物线y=2x+1上的动点，定点A(0，,1)， PA若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________. 解析:设P(x，y)，M(x，y). 00 x,0x,,,3，xx,,1222230代入y=2x+1得3y+2=18x+1，即18x=3y+1，x=y+,00,,y,2y,3y，2，600,,y,,3, 11171=(y+)，?p=，焦点坐标为(0，,). 18612324 1712答案:x=(y+) (0，,) 6324224.把函数y=2x,4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x的图象，且a?b，c=(1，, 1)，b?c=4，则b=____________. ,x,3y,0，,解析:a=(0，0),(1，3)=(,1，,3).设b=(x，y)，由题意得,x,y,4，,x,3，, ,y,,1，, 则b=(3，,1). 答案:(3，,1) 5.已知向量=(3，1)，=(,1，2)，?，?.试求满足+OAOBOCOBBCOAODOA =的的坐标. OCOD 解:设=(x，y)，则=(x，y)+(3，1)=(x+3，y+1)， ODOC =,=(x+3，y+1),(,1，2)=(x+4，y,1)， BCOCOB ,(x，3)，(2y，1),0，, 则,(x，4),(3y,1),0., x,11，,OD所以=(x，6). ,y,6，, 11AC6.已知A(2，3)，B(,1，5)，且满足=，=3，=,，求ABADABAEAB43 C、D、E的坐标. 11解:用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C(1，)，D(,7，9)，3 115E(，). 24 培养能力 37.(2004年福建，17)设函数f(x)=a?b，其中a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，x?R. ππ3(1)若f(x)=1,，且x?,,，,，求x; 33 π(2)若y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|,)平移后得到函数y=f(x)的图2 象，求实数m、n的值. π23解:(1)依题设f(x)=2cosx+sin2x=1+2sin(2x+)， 6 π3由1+2sin(2x+)=1,，得 6 3πsin(2x+)=,. 26 5ππππ?|x|?，?,?2x+?. 3266 πππ?2x+=,，即x=,. 634 (2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x,m)+n的 πππ图象，即y=f(x)的图象.由(1)得f(x)=2sin2(x+)+1.又|m|,，?m=,，12122 n=1. 8. 有点难度哟～22(2004年x综合测试)已知曲线x+2y+4x+4y+4=0按向量a=(2，1)平移后得到曲 线C. (1)求曲线C的方程; (2)过点D(0，2)的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间， 设=λ，求实数λ的取值范围. MNDM2222解:(1)原曲线即为(x+2)+2(y+1)=2，则平移后的曲线C为x+2y=2， 2x2即+y=1. 2 (2)设M(x，y)，N(x，y)，则 1122 ,x,2x，,221,,x，2y,2，,,,1，2211由于点M、N在椭圆x+2y=2上，则 ,,22,y2，,x，2y,2，2,22,y,.1,1，,, ,,xy2，,2222()()，，2,2,1，1，,,即 ,22,xy，2,2.22,222消去x得，2λ+8λy+8=2λ+4λ+2， 22 ,2,3即y=. 24, ,2,3?,1?y?1，?,1??1. 24, 1又?λ,0，故解得λ?. 2 1故λ的取值范围为,，+?). 2 思考讨论 22本题若设出直线l的方程y=kx+2，然后与x+2y=2联立，利用韦达定理能求解吗?(不 要忘记讨论斜率不存在的情况)读者可尝试一下. 探究创新 29.甲船由A岛出发向北偏东45?的方向做匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲 1船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ(θ=arctan)2 5的方向作匀速直线航行，速度为10 n mile/h.(如下图所示) 北 A 东 ， B (1)求出发后3 h两船相距多少海里? (2)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解:以A为原点，BA所在直线为y轴建立如下图所示的坐标系. y北 P QA x东 ， B 设在t时刻甲、乙两船分别在P(x，y)，Q(x，y)， 1122 ,x,152tcos45:,15t，,1则 ,,y,x,15t.11, 2551由θ=arctan，可得cosθ=，sinθ=， 552 5x=10tsinθ=10t， 2 5y=10tcosθ,40=20t,40. 2 (1)令t=3，P、Q两点的坐标分别为(45，45)，(30，20). 2285034|PQ|===5， (45,30)，(45,20) 34即两船出发后3 h时，两船相距5 n mile. (2)由(1)的解法过程易知 22(x,x)，(y,y)|PQ|= 2121 22= (10t,15t)，(20t,40,15t) 2=50t,400t，1600 2?20. =250(t,4)，800 ?当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为202， 即两船出发4 h时，相距202 n mile为两船最近距离. ?思悟小结 1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题: (1)弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ; (2)在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地 把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义=λ获解. PPPP12 2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关 键. 3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分 清新旧函数解析式. 4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法. ?教师下载中心 教学点睛 1.线段的定比分点公式=λ，该式中已知P、P及λ可求分点P的坐标，并PPPP1212 且还要注意公式的变式在P、P、P、λ中知三可求x个量. 12 2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体 现了向量(形)与数之间的转化具有一般性. 3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例 223【例1】 (2004年豫南三市联考)已知f(A，B)=sin2A+cos2B,sin2A, cos2B+2. (1)设?ABC的三内角为A、B、C，求f(A，B)取得最小值时，C的值; π(2)当A+B=且A、B?R时，y=f(A，B)的图象按向量p平移后得到函数2 y=2cos2A的图象，求满足上述条件的一个向量p. 3122解:(1)f(A，B)=(sin2A,)+(cos2B,)+1， 22 ,ππ,3A,或A,，sin2A,，,,,,632由题意得 ,,π1,,B,.cos2B,，,,6,2, 2ππ?C=或C=. 32 π(2)?A+B=，?2B=π,2A，cos2B=,cos2A. 2 ππ3?f(A，B)=cos2A,sin2A+3=2cos(2A+)+3=2cos2(A+)+3. 36 π从而p=(，,3)(只要写出一个符合条件的向量p即可). 63【例2】 设曲线C的方程是y=x,x，将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后，得到曲线C. 1 (1)写出曲线C的方程; 1 ts(2)证明:曲线C与C关于点A(，)对称. 1223(1)解:C:y,s=(s,t),(x,t). 1 ? ts(2)分析:要证明曲线C与C关于点A(，)对称，只需证明曲线C上任意一1122 个点关于A点的对称点都在曲线C上，反过来，曲线C上任意一个点关于A点的对称点都在曲线C上即可. 1 ts证明:设P(x，y)为曲线C上任意一点，它关于点A(，)的对称点为 1111223P(t,x，s,y)，把P点坐标代入曲线C的方程，左=s,y，右=(t,x),(t,x). 111113由于P在曲线C上，?y,s=(x,t),(x,t). 111113?s,y=(t,x),(t,x)，即点P(t,x，s,y)在曲线C上. 11111 同理可证曲线C上任意一点关于点A的对称点都在曲线C上. 1 ts从而证得曲线C与C关于点A(，)对称. 122 5.4 解斜三角形 ?知识梳理 ab1.正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==sinAsinBc. sinC 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角) 2.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍，即 222a=b+c,2bccosA; ? 222b=c+a,2cacosB; ? 222c=a+b,2abcosC. ? 222在余弦定理中，令C=90?，这时cosC=0，所以c=a+b. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由???可得 222，,bcacosA=; 2bc 222，,cabcosB=; 2ca 222，,abccosC=. 2ab 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边，求三个角; (2)已知两边和它们的夹角，求x边和其他两个角. 特别提示 两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”. ?点击双基 1.(2002年上海)在?ABC中，若2cosBsinA=sinC，则?ABC的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 222，,acb解析:由2cosBsinA=sinC得?a=c，?a=b. ac 答案:C 2.下列条件中，?ABC是锐角三角形的是 1BCA.sinA+cosA= B.?,0 AB5 3C.tanA+tanB+tanC,0 D.b=3，c=3，B=30? 1解析:由sinA+cosA= 5 24得2sinAcosA=,,0，?A为钝角. 25 BCBCBCAB由?,0，得BA?,0，?cos〈BA，〉,0.?B为钝角. 由tanA+tanB+tanC,0，得tan(A+B)?(1,tanAtanB)+tanC,0. ?tanAtanBtanC,0，A、B、C都为锐角. 3bc2ππ由=，得sinC=，?C=或. 2sinBsinC33 答案:C 3.(2004年全国?，理x)?ABC中，a、b、c分别为?A、?B、?C的对边，如果a、 3b、c成等差数列，?B=30?，?ABC的面积为，那么b等于 2 1，3A. B.1+ 32 2，3C. D.2+3 2 3222解析:?a、b、c成等差数列，?2b=a+c.平方得a+c=4b,2ac.又?ABC的面积为，2 1113222且?B=30?，故由S=acsinB=acsin30?=ac=，得ac=6.?a+c=4b,x.由余弦?ABC2242 2222224b,12,b，,b,acb4323定理，得cosB====，解得b=4+2.又b为边长，2ac2，642 3?b=1+. 答案:B 4.已知(a+b+c)(b+c,a)=3bc，则?A=_______. 222，,bcaπ122222解析:由已知得(b+c),a=3bc，?b+c,a=bc.?=.??A=. 2bc23 π答案: 3 5.在锐角?ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______. 222，,abc5解析:若c是最大边，则cosC,0.?,0，?c,.又c,b,a=1， 2ab 5. ?1,c, 5答案:(1，) ?典例剖析 2【例1】 ?ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，如果a=b(b+c)，求证: A=2B. 剖析:研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边. 2证明:用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入a=b(b+c)中，得222sinA=sinB(sinB+sinC)sinA,sinB=sinBsinC , 1,cos2A1,cos2B,=sinBsin(A+B) ,22 1(cos2B,cos2A)=sinBsin(A+B) ,2 sin(A+B)sin(A,B)=sinBsin(A+B)， , 因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin(A+B)?0.所以sin(A,B)=sinB.所以只 能有A,B=B，即A=2B. 评述:利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变 换求解. 思考讨论 (1)该题若用余弦定理如何解决? 22222bcbbc(，),(，)，,bca2解:利用余弦定理，由a=b(b+c)，得cosA===2bc2bc 22222(b，c)c，,acbc,bc,b22，cos2B=2cosB,1=2(),1=,1=. 22ac2b2b2b(b，c)c 所以cosA=cos2B.因为A、B是?ABC的内角，所以A=2B. (2)该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决? ab2解:由题设a=b(b+c)，得= b，ca ?， BCAC作出?ABC，xCA到D，使AD=AB=c，连结BD.?式表示的即是=，所以?DCBC BCD??ABC.所以?1=?D. D Acb21BCa 又AB=AD，可知?2=?D，所以?1=?2. 因为?BAC=?2+?D=2?2=2?1， 所以A=2B. 评述:近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，x考查正弦、余弦定理，考查的侧x 还在于三角转换.这是命题者的初衷. 3【例2】 (2004年全国?，17)已知锐角?ABC中，sin(A+B)=，sin(A,B)=5 1. 5 (1)求证:tanA=2tanB; (2)设AB=3，求AB边上的高. 剖析:有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以(1)为铺垫，解 决(2). 31(1)证明:?sin(A+B)=，sin(A,B)=， 55 3,sinAcosB，cosAsinB,,,5? ,1,sinAcosB,cosAsinB,,5, 2,sinAcosB,,tanA,5,,=2. ,1tanB,cosAsinB,,5, ?tanA=2tanB. π3(2)解:,A+B,π，?sin(A+B)=. 52 3?tan(A+B)=,， 4 tanA，tanB32即=,.将tanA=2tanB代入上式整理得2tanB,4tanB,1=0，解得1,tanAtanB4 2,62，66tanB=(负值舍去).得tanB=，?tanA=2tanB=2+. 22 3CDCDCD6设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，tanAtanB2，6 6所以AB边上的高为2+. 评述:本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力. 【例3】 (2004年春季x)在?ABC中，a、b、c分别是?A、?B、?C的对边长， bsinB22已知a、b、c成等比数列，且a,c=ac,bc，求?A的大小及的值. c 剖析:因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求?A，需找?A与三边的关系，故可 2bbsinB2用余弦定理.由b=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值. cc2解法一:?a、b、c成等比数列，?b=ac. 22222又a,c=ac,bc，?b+c,a=bc. 在?ABC中，由余弦定理得 222，,bcbca1cosA===，??A=60?. 2bc22bc bsinA在?ABC中，由正弦定理得sinB=， a2?b=ac，?A=60?， 2bsinBbsin60:3?=sin60?=. ,cac2 解法二:在?ABC中， 11由面积公式得bcsinA=acsinB. 2222?b=ac，?A=60?，?bcsinA=bsinB. bsinB3?=sinA=. 2c 评述:解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理. ?闯关训练 夯实基础 11.(2004年x，8)在?ABC中，“A,30?”是“sinA,”的 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 11解析:在?ABC中，A,30?0,sinA,1sinA,;sinA,30?,A,150?,,22A,30?. , 答案:B 阳光 2.如图，?ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光C线与地面成40?角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为 B D 地面A A.75? B.60? C.50? D.45? 解析:作CE?平面ABD于E，则?CDE是太阳光线与地面所成的角，即?CDE=40?，xDE交直线AB于F，连结CF，则?CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S最?ABD DFCF大，只需DF最大.在?CFD中，=. sin40:sin(140:,,) ,sin(140:,)CF,?DF=. sin40: ?CF为定值，?当α=50?时，DF最大. 答案:C 1223.在?ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=(a+b,4 2c)，则?C的度数是_______. π111222解析:由S=(a+b,c)得absinC=?2abcosC.?tanC=1.?C=. 4244答案:45? ab4.在?ABC中，若?C=60?，则=_______. ，b，ca，c22a，ac，b，bcab解析:= ，(b，c)(a，c)b，ca，c22a，b，ac，bc=. 2ab，ac，bc，c (*) 222??C=60?，?a+b,c=2abcosC=ab. 222?a+b=ab+c. 22a，b，ac，bc代入(*)式得=1. 2ab，ac，bc，c 答案:1 5.在?ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 A.b=20，A=45?，C=80? B.a=30，c=28，B=60? C.a=14，b=16，A=45? D.a=x，c=15，A=x0? 42sinBsinA解析:由a=14，b=16，A=45?及正弦定理，得=，所以sinB=.因而B71614 有两值. 答案:C 培养能力 6.在?ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，依次成等比数列，求y=1，sin2B的取值范围. sinB，cosB22222，,，,acacacb1ac112解:?b=ac，?cosB===(+),?. 2ac2ac2ca22 π?0,B?， 321，sin2B(sinB，cosB)7ππππ2y===sinB+cosB=sin(B+).?,B+?， sinB，cosBsinB，cosB44412 2π2?,sin(B+)?1.故1,y?. 24 22227.已知?ABC中，2(sinA,sinC)=(a,b)sinB，外接圆半径为. (1)求?C; (2)求?ABC面积的最大值. 22ac2222解:(1)由2(sinA,sinC)=(a,b)?sinB得2(,)=(a,b)224R4Rb. 2R 2又?R=， 222222?a,c=ab,b.?a+b,c=ab. 222，,abc1?cosC==. 2ab2 又?0?,C,180?，?C=60?. 311(2)S=absinC=?ab 222 =23sinAsinB=23sinAsin(x0?,A) =23sinA(sinx0?cosA,cosx0?sinA) 2=3sinAcosA+3sinA 333=sin2A,sin2Acos2A+ 222 33=sin(2A,30?)+. 2 33?当2A=x0?，即A=60?时，S=. max2 AB8.在?ABC中，BC=a，顶点A在平行于BC且与BC相距为a的直线上滑动，求AC 的取值范围. aa解:令AB=kx，AC=x(k,0，x,0)，则总有sinB=，sinC=(图略)，且由正弦kxx x222定理得sinB==kx?sinBsinC=kxsinA，由余弦定理，可得cosA=sinA，所以aa2222kx，x,kxsinA1112225=(k+,sinA)，所以k+=sinA+2cosA?=.所以k1，222kk2kx 5,15，15,k+1?0，所以?k?. 22 AB5,15，1所以的取值范围为,，,. 22AC 探究创新 9.某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修B 建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求 市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最 短?并求其最短距离.(不要求作近似计算) L OA 解:在?AOB中，设OA=a，OB=b. 因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以?AOB=135?. 22222222则|AB|=a+b,2abcos135?=a+b+ab?2ab+ab=(2+)ab，当且仅当a=b 10时，“=”成立.又O到AB的距离为10，设?OAB=α，则?OBA=45?,α.所以a=，sin,10b=， sin(45:,,) 1010ab=? sin(45:,,)sin, 100= sin,,sin(45:,,) 100= 22sin,(cos,,sin,)22 100= 22sin2,,(1,cos2,)44 400400=?， 2sin(2,，45:),22,2 当且仅当α=22?30′时，“=”成立. 400(2，2)22=400(+1)， 所以|AB|?22,2 当且仅当a=b，α=22?30′时，“=”成立. 10所以当a=b==10时，|AB|最短，其最短距离为20(+1)，即2(22，2),sin22:30 当AB分别在OA、OB上离O点10 km处，能使|AB|最短，最短距离为20(2(22，2) ,1). ?思悟小结 A，BA，BA，BCC1.在?ABC中，?A+B+C=π，?sin=cos，cos=sin，tan=cot22222C. 2 2.?A、?B、?C成等差数列的充分必要条件是?B=60?. 3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA?tanB?tanC. 4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径:?化边为角;?化角为边.并常用正弦(余弦)定理实施边角转化. 5.用正(余)弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长. 6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补. ?教师下载中心 教学点睛 1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力. 2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练. 拓展题例 2sinA【例1】 已知A、B、C是?ABC的三个内角，y=cotA+. cosA，cos(B,C) (1)若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.(2)求y的最小值. 2sin,,π,(B，C)解:(1)?y=cotA+ ,,cosπ,(B，C)，cos(B,C) 2sin(B，C)=cot A+ ,cos(B，C)，cos(B,C) sinBcosC，cosBsinC=cot A+ sinBsinC =cotA+cotB+cotC， ?任意交换两个角的位置，y的值不变化. (2)?cos(B,C)?1， A2,1tanAA2sinAAAA123tan,cot3?y?cotA+=+2tan=(cot+3tan)?=. A221，cosA22222tan2 π故当A=B=C=时，y=. 3min3 评述:本题的第(1)问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第(2)问实际上是一道常见题:在?ABC中，求证:cotA+cotB+cotC?3. sinB，sinC【例2】 在?ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状. cosB，cosC 分析:判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”. 解:应用正弦定理、余弦定理，可得 bc，2222a=，所以b(a,b)+c(a,c)=bc(b+c).所以(b+c)222222cababc，,，,，2ca2ab233222222a=(b+c)+bc(b+c).所以a=b,bc+c+bc.所以a=b+c.所以?ABC是直角三角形. 评述:恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0. 5.5 向量的应用 ?知识梳理 理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力. 特别提示 许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理.它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点. ?点击双基 OBOCOA1.若O是?ABC内一点，++=0，则O是?ABC的 A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 OBOCODOBOC解析:以、为邻边作平行四边形OBDC，则=+. A O CBE D OBOCOA又++=0， OBOCOA?+=,. ODOA?,=.?O为AD的中点，且A、O、D共线. 2又E为OD的中点，?O是中线AE的三等分点，且OA=AE. 3 ?O是?ABC的重心. 答案:D 222.将椭圆x+6y,2x,xy,13=0按向量a平移，使中心与原点重合，则a的坐标是 A.(,1，1) B.(1，,1) C.(,1，,1) D.(1，1) 22解析:椭圆方程变形为(x,1)+6(y,1)=20. 需按a=(,1，,1)平移，中心与原点重合. 答案:C 3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)、B(,1，3)，若点C满足 =α+β，其中α、β?R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为 OCOAOB2A.3x+2y,x=0 B.(x,1)+(y,22)=5 C.2x,y=0 D.x+2y,5=0 解析:C点满足=α+β且α+β=1，?A、B、C三点共线.?C点的轨迹是OCOAOB 直线AB. 答案:D 4.在四边形ABCD中，?=0，=，则四边形ABCD是 BCBCABAD A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析:由?=0知?.由=知BCAD.?四边形ABCD是矩形. BCBCBCABABAD 答案:C 435.(2004年全国?，理9)已知平面上直线l的方向向量e=(,，)，点O(0，0)55 ,,,O和A(1，,2)在l上的射影分别是和A′，则=λe，其中λ等于 OA 1111A. B., C.2 55 D.,2 ,,OA与e方向相反，排除A、C，验证D即可. 解析:如图所示，令e过原点，y 'Ox'OA A 答案:D ?典例剖析 【例1】 已知a、b是两个非零向量，当a+tb(t?R)的模取最小值时， (1)求t的值; (2)求证:b?(a+tb). 22剖析:利用|a+tb|=(a+tb)进行转换，可讨论有关|a+tb|的最小值问题，若能计算得b?(a+tb)=0，则证得了b?(a+tb). (1)解:设a与b的夹角为θ，则 |a|222222222222+tb||a=(a+tb)=|a|+t|b|+2a?(tb)=|a|+t|b|+2t|a||b|cosθ=|b|(t+cosθ)+|a|sin|b|θ， |a||a||b|cos,a,b所以当t=,cosθ=,=,时，|a+tb|有最小值. 22|b||b||b| a,b(2)证明:因为b?(a+tb)=b?(a,?b)=a?b,a?b=0，所以b?(a?tb). 2|b| 评注:用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便. 思考讨论 22对|a+tb|的变形，有两种基本的思考方法:一是通过|a+tb|=(a+tb)进行向量的数量积运算;二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形.读者可尝试用后一 方法解答本题. 深化拓展 已知=a，=b，a?b=|a,b|=2，当?AOB面积取最大值时，求a与b的夹角. OAOB22222解:因为|a,b|=4，所以a,2a?b+b=4.所以|a|+|b|=4+2a?b=8， 1S=?sinθ OAOB?AOB2 12=|a||b| 1,cos,2 1222= |a||b|,(a,b)2 122= |a||b|,42 22|a|，|b|123?=， (),422 (当且仅当|a|=|b|=2时取等号) a,b21所以当|a|=|b|=2时，?AOB的面积取最大值，这时，cosθ===，所以|a||b|2，22θ=60?. 【例2】 如图，四边形MNPQ是?C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量CM与的夹角为x0?，?=2. PNQCQM QP MNC (1)求?C的方程; (2)求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程. 剖析:需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C为原点，MN所在直线为x轴，求?C的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a、b即可. PNCM解:(1)以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy.?与的夹角为x0?，故?QCM=60?.于是?QCM为正三角形，?CQM=60?. 又?=2，即||||cos?CQM=2，于是r=||=2. QCQMQCQMQC 22故?C的方程为x+y=4. (2)依题意2c=4，2a=|QN|+|QM|， 223而|QN|=4,2=2，|QM|=2， 22233于是a=+1，b=a,c=2. 22yx?所求椭圆的方程为+=1. 4，2323 评述:平面向量在解析几何中的应用越来越广，复习时应引起重视. ?闯关训练 夯实基础 2PAPB1.(2004年x，6)已知点A(,2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足?=x，则点P的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 PAPBPAPB解析:=(,2,x，,y)，=(3,x，,y)，?=(,2,x)(3,x)+222(,y)=x，整理得y=x+6.?P点的轨迹为抛物线. 答案:D 2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危 险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为 A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 22解析:台风中心移动t h，城市B处在危险区，则(20t)+40,2?20t?40?cos45?? 900. 11?,?t?+.?B城市处在危险区的时间为1 h. 2222 答案:B 3.在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60?，塔底俯角为45?，那 么这座塔的高为_______. 解析:如图，AD=DC=20. 3?BD=ADtan60?=20. B o60ADo4520 m C 3?塔高为20(1+) m. 3答案:20(1+) m 4.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝2_______方向行驶. =1，v=AC=解析:如下图，为使小船所走路程最短，v+v应与岸垂直.又v=AB船水船水DC2，?ADC=90?，??CAD=45?. 12 AB 答案:与水速成135?角的 22225.如图，?ABC的BC边的中点为M，利用向量证明:AB+AC=2(AM+BM). A b，cb，cb，cAC证明:设AM=m，AB=b，=c，则m=，m?m=? BCM222 11122=b+b?c+c 424 11122=AB+AC+AB?AC?cos?BAC 442222AB，AC,BC11122=AB+AC+AB?AC? 2AB,AC442 11122222=AB+AC+(AB+AC,BC). 444 1112222?AM=AB+AC,BC. 22422又?BC=4BM， 2222?AB+AC=2(AM+BM). 6.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上.?ACW=150?，? BCW=x0?，求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量) AB C F E W 解:设A、B处所受力分别为f、f，10 N的重力用f表示，则f+f=f.以重力作用点C1212 为f、f的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则=f，=f，=f，则CFCECW1212 ?ECW=180?,150?=30?， ?FCW=180?,x0?=60?，?FCE=90?. ?四边形CEWF为矩形. 33?||=||cos30?=10?=5， CECW2 1,,=||cos60?=10?=5. CFCN2 3?A处受力为5 N，B处受力为5 N. 培养能力 7.已知A(4，0)，N(1，0)，若点P满足?=6||. ANPNAP(1)求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线; (2)求||的取值范围; PN (3)若M(,1，0)，求?MPN在,0，π,上的取值范围. 解:(1PNAN)设P(x，y)，=(x,4，y)，=(1,x，,y)，=(,3，0)，?AP ANPN?=6||， AP 2222?,3(x,4)=6，即3x+4y=x. (1,x)，(,y) 22yx，?=1.?P点的轨迹是以(,1，0)、(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆. 43 (2)N(1，0)为椭圆的右焦点，x=4为右准线，设P(x，y)，P到右准线的距离00 4,x|PN|110为d，d=4,x，=e=，|PN|=d=.?,2?x?2，?1?|PN|?3. 0022d2 当|PN|=1时，P(2，0);当|PN|=3时，P(,2，0). (3)令|PN|=t(1?t?3)， 则|PM|=4,t，|MN|=2， 222|PN|，|PM|,|MN|cos?MPN== 2|PN||PM| 22t，(4,t),46=,1+. 2t(4,t)t(4,t) 由1?t?3，得3?t(4,t)?4， π1??cos?MPN?1.?0??MPN?. 23 8.如图，已知?ABC的顶点坐标依次为A(1，0)，B(5，8)，C(7，,4)，在边AB 上有一点P，其横坐标为4，在AC上求一点Q，使线段PQ把?ABC分成面积相等的两 部分. yB P xOA QC 解:设P分的比为λ，则 AB1 ,15，1,4=λ=3， 11,，1 |AP||AB|4即=3，=. 3|PB||AP| 1|AB||AC|sin，BACS,ABC2又 ,1S,APQ|AP||AQ|sin，BAC2 |AB||AC|2=?=， 1|AP||AQ| |AQ||AC|3?=，即=2. 2|AQ||QC| ,17，AQ2设λ=，则λ=2.?x==5， 22QQC,，,2 ,,4882y==,.?Q(5，,). Q1，,332 探究创新 OF9.如下图，已知?OFQ的面积为S，且与的数量积等于1， FQQ OF 1OF(1)若,S,2，求向量与的夹角θ的取值范围; FQ2 3OF(2)设||=c(c?2)，S=c，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||OQ4 取得最小值时，求此椭圆的方程. 1,,|OF||FQ|sin(π)S,,,12解:(1),tanθ=2S.又?,S,2， ,2,|OF||FQ|cos,,,, π?1,tanθ,4.?,θ,arctan4. 4 OF(2)以O为原点，所在直线为x轴建立坐标系， 22yx设椭圆方程为+=1(a,b,0)， 22ab 点Q(x，y)，则=(x,c，y). FQ1111 13OF又??OFQ的面积为||?y=c， 124 31?y=.又由?=1，解得x=c+. OFFQ112c 19222||=x，y=(c，)，(c?2). OQ114c 2c,111,设f(c)=c+，则(c)=1,=. f22ccc ,当c?2时，(c),0，?f(c)在,2，，?)上递增，?当c=2时，||最小， fOQ 53此时Q(，)，由此可得 22 259,，,1,2222,a=10，b=6. bb44,22,ab,,4, 22yx?椭圆方程为=1. ，106 ?思悟小结 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛. ?教师下载中心 教学点睛 教材中安排了解三角形应用举例和实习作业，根据新教材突出应用这一显著特点，教学中应充分利用这些素材，使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，渗透数学建模思想，培养学生分析、解决实际问题的能力. 拓展题例 12【例1】 已知a=(x，x)，b=(x，x,3)，x?,,4，4,. 3 (1)求f(x)=a?b的表达式; (2)求f(x)的最小值，并求此时a与b的夹角. 11232解:(1)f(x)=a?b=x?x+x?(x,3)=x+x,3x，x?,,4，4,. 332,(2)f(x)=x+2x,3=(x+3)(x,1). 列表: (,4，,(,3，x ,4 ,3 1 (1，4) 4 3) 1) ,f(x) + 0 , 0 + 20765f(x) ? 极大值9 ? 极小值, ? 333 5故当x=1时，f(x)有最小值为,. 3 1此时a=(，1)，b=(1，,2). 3 a,b2设θ为a与b的夹角，则cosθ==,. |a||b|2 3π又由θ?,0，π,，得θ=. 4 【例2】 如图所示，对于同一高度(足够高)的两个定滑轮，用一条(足够长)绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?(忽略滑轮半径、绳子的重量) FF1 2 2 kg4 kg mkg分析:先进行受力分析，列出平衡方程，然后用数学方法求解. 解:设所求物体质量为m kg时，系统保持平衡，再设F与竖直方向的夹角为θ，F112 与竖直方向的夹角为θ，则有 2 ,,,,4gsin2gsin，?1, ,4gcos,，2gcos,,mg，?1,, (其中g为重力加速度). 由?式和?式消去θ，得 22m,8mcosθ+x=0， 1 2即m=4cosθ?2. 4cos,,311 ? 2?cosθ,0，由?式知，?式中m=4cosθ,2不合题意，舍去. 4cos,,3211 32又?4cosθ,3?0，解得?cosθ?1. 112 3经检验，当cosθ=时，cosθ=0，不合题意，舍去. 122 32,m,6. ? 3综上，所求物体的质量在2 kg到6 kg之间变动时，系统可保持平衡. 2评注:(1)m的范围是通过函数y=4x+2的单调性求得的.(2)实际问题的处4x,3 理要注意变量的实际意义，本题容易忽略cosθ,0的实际限制. 2 x章 不等式 ?网络体系总览 不等式的性质 绝对值及其性质 含绝对值的不等式 不等式的证明:比较法、分析法、综合法、放缩不等式的解法法等 不等式的应用:比较大小，函数的定义域、值域，方程根的分布，取值范 围问题，实际应用问题等?考点目标定位 1.理解不等式的性质及应用. 2.掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并 会简单地应用. 3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式. 4.掌握不等式的解法. 5.理解不等式|a|,|b|?|a?b|?|a|+|b|. ?复习方略指南 本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为x，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题. 借助不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点. 本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意: 1.复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据. 2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧宾夺主. 3.解(证)某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来. 4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用. 5.利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件:一“正”、二“定”、三“相等”. 6.对于含有绝对值的不等式(问题)，要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义. 7.要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系. 6.1 不等式的性质 ?知识梳理 1.比较准则:a,b,0a,b; , a,b=0a=b;a,b,0a,b. ,, 2.基本性质:(1)a,bb,a. , (2)a,b，b,ca,c. , (3)a,ba+c,b+c;a,b，c,da+c,b+d. ,, (4)a,b，c,0ac,bc;a,b，c,0ac,bc; ,, a,b,0，c,d,0ac,bd. , nnab(5)a,b,0,(n?N，n,1); ,nna,b,0a,b(n?N，n,1). , 113.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论:a,b，ab,0,，不能弱化,ab 1111条件得a,b,，也不能强化条件得a,b,0,. ,,abab4.要正确处理带等号的情况.如由a,b，b?c或a?b，b,c均可得出a,c;而由a?b， b?c可能有a,c，也可能有a=c，当且仅当a=b且b=c时，才会有a=c. 5.性质(3)的推论以及性质(4)的推论可以推广到两个以上的同向不等式. 6.性质(5)中的指数n可以推广到任意正数的情形. 特别提示 不等式的性质从形式上可分两类:一类是“”型;另一类是“”型.要注意二者,, 的区别. ?点击双基 1.若a,b,0，则下列不等式不能成立的是 (( 11abA., B.2,2 ab 1aC.|a|,|b| D.()21b,() 2 1111解析:由a,b,0知ab,0，因此a?,b?，即,成立; ababab 由a,b,0得,a,,b,0，因此|a|,|b|,0成立. 111xab又()是减函数，所以(),()成立. 222 故不成立的是B. 答案:B dc2.(2004年春季x，7)已知三个不等式:ab,0，bc,ad,0，,,0(其中a、b、ab c、d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题， 可组成的正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析:由ab,0，bc,ad,0可得出 dc,,0. ab dcbc,ad,0，两端同除以ab，得,,0. ab dc同样由,,0，ab,0可得bc,ad,0. ab bc,ad,0bc,ad,0,,,,ab,0. ,,cdbc,ad,,,,0,0,,abab,, 答案:D ,ππ3.设α?(0，)，β?,0，,，那么2α,的范围是 223 5π5ππA.(0，) B.(,，) 666 πC.(0，π) D.(,，6 π) ,π解析:由题设得0,2α,π，0??. 36 ,,ππ?,?,?0.?,,2α,,π. 6363 答案:D b，ma，nba4.a,b,0，m,0，n,0，则，，，的由大到小的顺序是aba，mb，n ____________. 解析:特殊值法即可 b，ma，nab,,, 答案:ba，mab，n 5555.设a=2,，b=,2，c=5,2，则a、b、c之间的大小关系为____________. 55解析:a=2,4=,,0，?b,0. 25205c=5,2=,,0. 45495b,c=3,7=,,0. ?c,b,a. 答案:c,b,a ?典例剖析 【例1】 已知,1,a+b,3且2,a,b,4，求2a+3b的取值范围. 剖析:?a+b，a,b的范围已知， ?要求2a+3b的取值范围， 只需将2a+3b用已知量a+b，a,b表示出来. 可设2a+3b=x(a+b)+y(a,b)，用待定系数法求出x、y. 解:设2a+3b=x(a+b)+y(a,b)， 5,x,，,x，y,2，,,2?解得 ,,x,y,3.1,,y,,,2, 1555?,,(a+b),， 222 1,2,,(a,b),,1. 2 13951?,,(a+b),(a,b),， 2222 139即,,2a+3b,. 22 评述:解此题常见错误是:,1,a+b,3， ? 2,a,b,4. ? ?+?得1,2a,7. ? 由?得,4,b,a,,2. ? 153?+?得,5,2b,1，?,,3b,. 22 ? 1317?+?得,,2a+3b,. 22 思考讨论 1.评述中解法错在何处? 2.该类问题用线性规划能解吗?并试着解决如下问题: 2已知函数f(x)=ax,c，满足,4?f(1)?,1，,1?f(2)?5，求f(3)的最大 值和最小值. 答案:20 ,1 【例2】 (2004年福建，3)命题p:若a、b?R，则|a|+|b|,1是|a+b|,1的充分而不 必要条件;命题q:函数y=的定义域是(,?，,1,?,3，+?)，则 |x,1|,2 A.“p或q”为假 B.“p且q”为真 C. p真q假 D. p假q真 剖析:只需弄清命题p、q的真假即可. 解:?|a+b|?|a|+|b|，若|a|+|b|,1不能推出|a+b|,1， 而|a+b|,1一定有|a|+|b|,1，故命题p为假. 又函数y=的定义域为|x,1|,2?0，?|x,1|?2. |x,1|,2 ?x?,1或x?3.?q为真. 答案:D 【例3】 比较1+log3与2log2(x,0且x?1)的大小. xx 剖析:由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调 性. 3x解:(1+log3),2log2=log. xxx4 0,x,1，x,1，,,,,当或 ,3,30,x,1x,1，,,44,, 4即0,x,1或x,时， 3 3x有log,0，1+log3,2log2. xxx4 x,1，0,x,1，,,,,3x当?或?时，log,0. x,3,30,x,1x,1，4,,44,, 4解?得无解，解?得1,x,， 3 43x即当1,x,时，有log,0， x34 1+log3,2log2. xx 343x当x=1，即x=时，有log=0. x434 ?1+log3=2log2. xx 4综上所述，当0,x,1或x,时，1+log3,2log2; xx3 4当1,x,时，1+log3,2log2; xx3 4当x=时，1+log3=2log2. xx3 评述:作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗 漏. 深化拓展 2函数f(x)=x+(b,1)x+c的图象与x轴交于(x，0)、(x，0)，且x,x,1.当t12212,x时，比较t+bt+c与x的大小. 11 提示:令f(x)=(x,x)(x,x)， 122?x+bx+c=(x,x)(x,x)+x. 122把t+bt+c与x作差即可. 12答案:t+bt+c,x. 1 ?闯关训练 夯实基础 1.(2004年x，2)对于0,a,1，给出下列四个不等式: 11，a111+a11+a?log(1+a),log(1+);?log(1+a),log(1+);?a,a;?a,aaaaaa11，aa.其中成立的是 A.?? B.?? C.?? D.?? 11解析:?0,a,1，?a,，从而1+a,1+. aa 1?log(1+a),log(1+). aaa11，a1+a又?0,a,1，?a,a. 故?与?成立. 答案:D 21,a，4a,22.若p=a+(a,2)，q=2，则 a,2 A.p,q B.p,q C.p?q D.p?q 122解析:p=a,2++2?4，而,a+4a,2=,(a,2)+2,2，?q,4.?p,q. a,2 答案:A 11223.已知,1,2a,0，A=1+a，B=1,a，C=，D=则A、B、C、D按从小到1，a1,a 大的顺序排列起来是____________. 101833解析:取特殊值a=,，计算可得A=，B=，C=，D=. 99243 ?D,B,A,C. 答案:D,B,A,C 4.若1,α,3，,4,β,2，则α,|β|的取值范围是____________. 解析:?,4,β,2，?0?|β|,4. ?,4,,|β|?0.?,3,α,|β|,3. 答案:(,3，3) 5.已知a,2，b,2，试比较a+b与ab的大小. 解:?ab,(a+b)=(a,1)(b,1),1， 又a,2，b,2，?a,1,1，b,1,1. ?(a,1)(b,1),1，(a,1)(b,1),1,0. ?ab,a+b. n,nn,11,n+6.设A=x+x，B=x+x，当x?R，n?N时，求证:A?B. n,nn,11,n证明:A,B=(x+x),(x+x) ,n2n2n,1=x(x+1,x,x) ,n2n,12n,1=x,x(x,1),(x,1), ,n2n,1=x(x,1)(x,1). +,n由x?R，x,0，得 2n,1当x?1时，x,1?0，x,1?0; 2n当x,1时，x,1,0，x,1,0，即 2n,1x,1与x,1同号.?A,B?0.?A?B. 培养能力 1337.设0,x,1，a,0且a?，试比较|log(1,x)|与|log(1+x)|的大小. 3a3a3 1解:?0,x,1，??当3a,1，即a,时， 333|,|log(1+x)| |log(1,x)3a3a =|3log(1,x)|,|3log(1+x)| 3a3a =3,,log(1,x),log(1+x), 3a3a2=,3log(1,x). 3a22?0,1,x,1，?,3log(1,x),0. 3a 1?当0,3a,1，即0,a,时， 333|log(1,x)|,|log(1+x)| 3a3a =3,log(1,x)+log(1+x), 3a3a2=3log(1,x),0. 3a33综上所述，|log(1,x)|,|log(1+x)|. 3a3a 128.设a?，令a=1+. 121，a1 2(1)证明介于a、a之间; 12 2(2)求a、a中哪一个更接近于; 12 2(3)你能设计一个比a更接近于的一个a吗,并说明理由. 23 12222(1)证明:(,a)(,a)=(,a)? (,1,)=1211，a1 2(1,2)(2,a)1,0. 1，a1 2?介于a、a之间. 12 122(2)解:|,a|=|,1,| 21，a1 (1,2)(2,a)1=|| 1，a1 2,1=|,a|,|,a|. 22111，a1 ?a比a更接近于. 221 1(3)解:令a=1+， 31，a2 则a比a更接近于. 232 2,1由(2)知|,a|=|,a|,|,a|. 2223221，a2 探究创新 *n9.已知x,,1，n?2且n?N，比较(1+x)与1+nx的大小. n解:设f(x)=(1+x),(1+nx)， n,1n,1,则(x)=n(1+x),n=n,(1+x),1,. f ,由(x)=0得x=0. f ,当x?(,1，0)时，(x),0， f f(x)在(,1，0)上递减. ,当x?(0，+?)时，(x),0， f f(x)在(0，+?)上递增. ?x=0时，f(x)最小，最小值为0，即f(x)?0. n?(1+x)?1+nx. 评述:理科学生也可以用数学归纳法证明. ?思悟小结 b有a,b,0a,b，a,1.不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、, b=0a=b，a,b,0a,b，这是比较两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基,, 石. 2.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以 应用. 3.对两个(或两个以上)不等式同加(或同乘)时一定要注意不等式是否同向(且大于 零). 4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论. ?教师下载中心 教学点睛 1.加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算. 2.通过复习要强化不等式“运算”的条件.如a,b、c,d在什么条件下才能推出ac, bd. 3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系. 拓展题例 【例1】 已知f(x)=|log(x+1)|，m,n，f(m)=f(n). 2 (1)比较m+n与0的大小; m，nm，n(2)比较f()与f()的大小. m,nn,m 剖析:本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号. 解:(1)?f(m)=f(n)， ?|log(m+1)|=|log(n+1)|. 2222?log(m+1)=log(n+1). 22 ?,log(m+1)+log(n+1),,log(m+1),log(n+1),=0， 2222 m，1log(m+1)(n+1)?log=0. 22n，1 m，1?m,n，??1. n，1 ?log(m+1)(n+1)=0. 2 ?mn+m+n+1=1.?mn+m+n=0. 当m、n?(,1，0,或m、n?,0，+?)时， 由函数y=f(x)的单调性知x?(,1，0,时，f(x)为减函数，x?,0，+?)时，f(x)为增函数，f(m)?f(n). ?,1,m,0，n,0.?m?n,0. ?m+n=,mn,0. m，n2m2mm,n(2)f()=|log|=,log=log， 222m,nm,nm,n2m m，n2n2nf()=|log|=log. 22n,mn,mn,m2m,n2n,(m,n),4mn,= 2m(n,m)2mn,m2(m，n)=,,0. 2m(n,m) m，nm，n?f(),f(). m,nn,m 【例2】 某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠，甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠;乙旅行社的方案是:家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算, 解:设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y和1y.一张全票价格为a元， 2 那么y=a+0.55ax，y=0.75(x+1)a. 12 ?y,y=a+0.55ax,0.75a(x+1)=0.2a(1.25,x). 12 ?当x,1.25时，y,y; 12 当x,1.25时，y,y.又因x为正整数， 12 所以当x=1，即两口之家应选择乙旅行社; 当x?2(x?N)，即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.