关于广义积分收敛隐含被积函数趋于零的一些条件

关于广义积分收敛隐含被积函数趋于零的一些条件 关于广义积分收敛隐含被积函数趋于零的 一些条件 安徽技术师范学院,2004,18(6):51—52 JournalofAnhuiTechnicalTeachersCoHege 关于广义积分收敛隐含被积函数趋于零的一些条件 陶桂秀 (蚌埠教育学院,安徽蚌埠233000) 摘要:由广义积分收敛得到被积函数趋于零的一些条件,可以推广Hirsch的结果. 关键词:广义积分;被积函数;收敛性 中图分类号:O175文献标识码:A文章编号:1672—3589(2004)06—0051—02 OnsomeConditionsthatConvergenceofGeneralized IntegralMakesIntegrandTendtoZero TAOGUi—xiu (BengbuEducationCollege,Bengbu233050,China) Abstract:Conditionsarefoundthattheconvergenceofgeneralizedintegralmakesintegrandt endtozero,which isobviouslyweakerthanthatfoundbyW.M.Hirsch. Keywords:Generalizedintegral;Integrand;Convergence? 众所周知,若正项级数?. 收敛,则lima=0,但是,对于广义积分来说,这一性质未必成立,即:若厂 ()?0,且)dx<?,并不意味着limf(x)=0,Hirsch给出了这一性质成立的充分条件,我们的目 的是给出这一性质成立的两个充分条件和一个充要条件. 定理A(文[1]引理3.1)设厂:[0,?)一[0,?)是可微的,且)<?,若f-(x)有界,则 limf~x) =0o 本文得到定理1设/:[0,?)一[0,?)是可微的,且)dx<?,若存在常数M>0 使)<M, 则limf()=0. 证由于)?0且)dx<?,所以limf()=0,记a=limf(x),则只须证明a=0,若不然,口> O,则可以选取两个序列{rn},},使得 r1<t1<r2<…<rn<tn<rn+1<tn+1<…, 且limf()=0,limf(z)=口,取?(0,口],则存在的N,使n?N时有rn)<詈z)> 令口={z:Vr?(z,z)有r)>等,n>-N} b=sup{,:Vr?(z,z)有r)?等,凡??i 由于存在rn+?(z,z)(帕;N),使rn+)<,所以各个区间,n=[口,b]互不重叠,令C=sup 收稿日期:2004—09—08 作者简介:陶桂秀(1964一),女,安徽省无为县人,学士,讲师,主要从事高等数学教学与研究. 52安徽技术师范学院2004拄 {,?L:Vr?(口,,)有r)<,>川易见,f(a)=f(b)=等,f(c)=8,由拉格朗日中值定理,存在专 ?(a,Ca),使得詈=f(c)一f(a)=f考)(c一at,)<M(a一Ca) 由此推得a一c?,于是有b=a?c一a?,因此b一a?c一a?;故f(x)(b(?f x)dx~T(bn—an)=? 此与,f(x)<?相矛盾,证毕. 类似定理1的证明,我们有定理2设:[0,?)4[o,?)是可微的,且f(x)<?,若存在常数K<0, 使)>K,则limf(x)=0. 注1定理1和定理2推广了定理A. 下面我们给出广义积分收敛隐含被积函数趋于零的充要条件. 定理3设)在[0,?)上连续,且f(x)dx<?,则limf(x)<0的充要条件是)在[0,?)上一 致连续. 证充分性(用反证法):若不然,则存在>0,使对VA一+?有相应的xn>A满足 If(x)I?2so (/'t=1,2…). 因为f(x)在[0,?)上一致连续,故对此8o>0,j8>0当Ix一x'l<8时有If(x,一f(xI<8o,又f (x)dx收敛,故存在A>10,使当A.A>时,I-f(x)dxI<C08,于是,取n充分大使x一O>,则有 I』===:莩f(x)dxl<8o8() 另一方面x?x一孚,x+导)即Ix—xI<萼<8,时有 f(x)一8o<f(x)<f(x)+8o, (1)若f(x)>0,贝?f(x)>f(xo)一8o=If(x)I一8o?8o>0(当Ix—xI<{}时); (2)若f(x)<0,则f(x)<f(x)+8o=一If(xo)I+8o?一8o<0(当Ix—xnI<昔时),因此,由(1), (2)9m,当Ix—xI<鲁时有I:毒f(x)dxI<8.8; 故当x一孚>A时有I坨:季f(x)(b(I?8.8,此与()式矛盾,充分性证毕. 必要性:因为f(X)在[0,?)上连续,lirnf(x)=0,由(2)易知f(X)在[0,..)上一致连续,必要性证毕. 注2定理3推广了定理A. 参考文献: [1]w.M.Hirscheta],Comm.PureAppl[J].Math,1985,38:733-753. [2]华东师范大学数学系.数学()[M].北京:高等教育出版社,1989 (责任编辑:李孟良)