有关椭圆焦点弦的高考题的探究

有关椭圆焦点弦的高考题的探究 上海市育才中学 龚新平 201801 (发表在《中学生数学》杂志2007-9上) 刚结束的2007年重庆市高考第22题是关于椭圆的焦点弦一类问题，给我留下了深刻的印象和许多思考，本文将对该问题加以分析和探究。 问题:中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为:。 Ox,12F(30)，l (1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三点，，，使，PPP???PFPPFPPFP,,123122331 111证明:为定值，并求此定值。 ，， y lFPFPFP123 P1 P Q2122xy x F O A，,1解:(I)易得所求椭圆方程为; 3627 P3 (2)记椭圆的右顶点为，并设(1，2，3)， A，,AFP,i,ii 2,2,4,0?,,,,,,,，,，不失一般性，假设，且，。 12131333 c1e,,又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有lPQiia2 2,,1a,,,,FP,(9cos)。 (123)i,，，FP,PQ,e,,c,FPcos,,eiiiiiii,,c2,, 33121,,121,,,变形得:,，1cos 。， (123)i,，，1cos,？,，,,ii,,,,92FPFP92,,,,ii,i,11i 3，，12124,,,,，而 ？,3，cos，cos(，)，cos(，),,,,,,,111,9233FP,,，，ii,1 24222,,,,,cos，cos(，)，cos(，),2cos(，)cos，cos(，),0， ,,,,,1111133333 1112故为定值( ，，,FPFPFP3123 探究一: 对于一般的椭圆方程，是否也有类似的定值呢,由上述证明，不难得到: 22yx，,1(1)焦点为F的椭圆上三点，，，且，PPP???PFPPFPPFP,,12312233122ab 1113a则有=。 ，，2bFPFPFP123 证明:这里也可以采用极坐标的方法来证明。(由椭圆的对称性知:不妨设点F为左焦点) 1,ecos,ep1i,由圆锥曲线的极坐标方程，得。 ,(i,1,2,3),ep1,ecos,,i 2,2,4,不失一般性，设，且，，则有: 0,,,，,，,,,,,12131333 24,,1ecos()1ecos(),，,，,,111ecos,111,331，，,，，epepep,,,123 24,,3e(coscos()cos()),，，，，,,,11111133 ，，,ep,,,123 111111333a3a3a，即:=。 ？，，,,,,，，22222,,,epbcaa,cbFPFPFP123123(,c)ac 22yx,,1(2)焦点为F的双曲线同支上三点，且，???PFPPFPPFP,,P,P,P12312233122ab 3a,则有倒数的代数和为定值。(允许极径为负值，证明同(1)) FP,FP,FP1232b 2y,2px(3)焦点为F的抛物线上三点，且，则有???PFPPFPPFP,,P,P,P123122331 1113=。(证明同(1)) ，，pFPFPFP123 n探究二:前面的问题均限于三点，能否推广到个点呢,由上面的证明，我们不难得到: 22yx，,1(1)焦点为F的椭圆上依次有个不同的点n22ab ，且满足，则有P,P,？P，PFP,，PFP,？,，PFP12n1223n1 111na，，？，=。 2FPFPFPb12n 1,ecos,ep1i,,(i,1,2,？n),证明:由圆锥曲线极坐标方程，得。 ep1,ecos,,i n2(,1),22,,不失一般性，设，且，，则有: ,,,，,？ 0,，,,,,,121n1nnn n2(1),,2,ee1cos()1cos(),，,，,,11e1cos,111,nn1，，？，,，，？，epepep,,,n12 n2(1),,2,ne(coscos()cos()),，，，？，，,,,111111nn ，，？，,ep,,,n12 2(n,1),2,由复数次单位根的知识，易得:cos，cos(，)，？，cos(，),0 n,,,111nn 111nnnana？，，？，,,,,。 2222ep,,,caacb,n12(c),ac n,2n,4特别的，当及时，就是我们常见的椭圆中过焦点作直线的焦点弦问题。 22yx,,1(2)焦点为F的双曲线同支上有个不同点，且满足P,P,？Pn12n22ab 3aFP,FP,？FP，则有倒数的代数和为定值。(允许，PFP,，PFP,？,，PFP12n1223n12b,极径为负值，证明同(1)) 2y,2px(3)焦点为F的抛物线上顺次有个不同点，且满足P,P,？Pn12n 111n，，？，，则有=。 ，PFP,，PFP,？,，PFP1223n1FPFPFPp12n 特别的，当n,2及n,4时，就是我们常见的抛物线中过焦点作直线的焦点弦问题。 OP(i,1,2,？n)探究三:如果研究对象不是焦点弦，而是中心距，是否也有类似的结论呢, i 22yx，,1中心为O的椭圆上依次有个不同点，且满足 P,P,？P，PFP,，PFPn12n122322ab 22n(a，b)111，则有=。 ，，？，,？,，PFPn1222222abOPOPOPn12 2,P(rcos,,rsin,),i,1,2,？n证明:设，不失一般性，设，且,,0,iiiii1n 2222(rcos)(rsin),,ny2(,1),x2,iiii，,1，，代入方程，得，,，,？,，，,1,,,,21n12222nnabab nnn2222,,cos,sin,1，cos2,1,cos2,cossin11iiiiii，所以 ，,()(),，,，,,,22222222ababab22rr,,,111iiiii nn2222,,1cos21cos2，,n(ab)n(ab)，，11ii。从而有: ()()cos2,,，,，,,i,,222222222a2b2ab2a2b2ab,,10ii 22n(a，b)111=。 ，，？，222222abOPOPOPn12 探究四:如果我们将椭圆的长轴分成等份，结果会怎样呢, 于是有: n 22yx，,1将椭圆的长轴分成等份，过每个分点作x轴ABn22ab n,1的垂线交椭圆的上半部分于共个点，是FP,P,？P12n,1 FP，FP，？，FP,(n,1)a椭圆的一个焦点，则。 12n,1 n,1n,1cc证明:设，， FP，FP，？，FP,(a，x),(n,1)a，xP(x,y),i,1,2,？niii12n,1ii,,aai,1i,1 n,1 FP，FP，？，FP,(n,1)a由椭圆的对称性可知:，所以。 x,012n,1i,i,1 特别地，当时，即是2006年四川省高考题: n,8 22xy，,1将椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于8xAB2516 FP，FP，？，FP,七个点，是椭圆的一个焦点，则 35 。 FP,P,？P127127 FP，FP，？FP,0探究五:若变换成条件,是否有类似结论呢,我们继续如下探究: 12n 22yx，,1(1)焦点为F的椭圆上依次有个不同点，若满足P,P,？Pn12n22ab 2nbFP，FP，？FP,0FP，FP，？，FP，则有=。 12n12na n FP，FP，？FP,0，由得，得: 证明:设(x,c),0P(x,y),i,1,2,？n12niiii,i,1nnn22,,cccnb,,，从而:。 FPFPFPaxnaxnax,nc，，？，,(,),,,(,),i12nii,,,,,aaaa,1,,ii1i1,,同理，双曲线也有与(1)几乎完全一样的结论～ 2y,2px(2)焦点为F的抛物线上依次有个不同点，若满足P,P,？Pn12nFP，FP，？FP,0FP，FP，？，FPnp，则有=。 12n12n npFP，FP，？FP,0证明:设，由得，得: (,),0xP(x,y),i,1,2,？n12niiii,2i,1nnnnppnp，从而:。 ？()x,FP，FP，，FP,x，,，x,np12inii,,,222i,1,1,1ii 2n,3特别地，当时，即为2007年全国高考题:设为抛物线的焦点，FABC，，yx,4 FAFBFC，，,0为该抛物线上三点，若，则 6 。 FAFBFC，，, 参考文献: 2007年重庆市高考(理科)