例说数列单调性应用

例说数列单调性应用 武钢三中 许红伟 函数的单调性广泛应用于求函数的最值、不等式、函数的图象等，数列是特殊的函数，数列的单调性也有着广泛的应用，本文举例说明数列单调性在各个方面应用。 一、 应用于求数列的最值项 例1(某城市2001年汽车保有量有30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不超过多少万辆,(2002年全国高考题) 分析:设2001年末汽车保有量为万辆，以后每年末该城市汽车保有量依次为a,30a12 47万辆、万辆、…、万辆、…，再设每年新增汽车x万辆，则 (16%)aaa,a,，x,a，x3nn，1nn50 504750475050，则是公比，首项为的等比数列。q,,(a,x),(a,x){a,x}30,xn，1nn50350333 505047501047n,1n,1则 a,x，(30,x)(),x，,(9,5x),()n33503350 9(1) 当时 数列是递减数列，故此时; 9,5x,0,x,{a}a,a,30,60nn15 9(2) 当时 数列是递增数列，故此时使的充要条件是9,5x,0,x,{a}a,60nn5 50 lima,x,60,x,3.6n,，,n3 综上所述，可知每年新增汽车数量不超过3.6万辆。 9n例2(已知数列{a}的通项，试问该数列是否存在最大项,若存在，a,(),(n，1)nn10 求出最大项;若不存在，请说明理由。 98,nn分析:由()知，当时，a,a，此时数列{a}是递增数a,a,,1,n,8nn，1n，1nn1010 列;当时，a,a，此时数列{a}是递减数列。即有a,？,a,a,a,a,？，n,9nn，1n178910 99a,a,这说明存在最大项为 89810 二、 应用于证明不等式 2(1)(1)nn，n，*例3(已知，求证:。a,1,2，2,3，L，n(n，1) n,N,a,nn22 (85年全国高考题) 2(1)n，分析:构造数列() fn,a,n2 (n，1)，(n，2)2n，3f(n，1),f(n),(n，1)(n，2),,(n，1)(n，2),,0? 22 2(1)n，f(n),f(1),2,1,0?数列{f(n)}是递减数列 ? ,a,n2 n(n，1)*g(n),a, n,N同理构造数列 n2 g(n，1),g(n),n，1(n，2,n，1),0{(n)}? ?数列是递增数列 n(n，1)g(n),g(1),2,1,0a, ? ? n2 三、 应用求解不等式恒成立问题 n例4(设是常数，且a,3,2a (n,N) ann,10 11nn,nnn(1)证明对任意，; a,[3，(,1),2]，(,1),2,an,10n5 (2)假设对任意有，求的取值范围。 a,aan,1nn,10 3n,1n,2(,1),(5a,1),() (1)分析:(1)略。(2)等价于 a,a (n,N)0nn,12 1311312k,32k,3?当时，(1)式即，由于是递增数列()n,2k,1,k,1,2,？a,，{()，}0525525 1311311,12k,2?; ?当时，(1)式即，()()a,，，,n,2k,k,1,2,？a,,，005253525 1311312k,22，1,2由于是递减数列 ?。 {,()，}a,,，()，,00525525 1综合?、?知 0,a,03 四、 应用于其它方面 1xf(x),a,b例5(已知函数的图象过点A(4,)和点B(5,1),记，是 a,logf(n)Sn2n4 4数列的前n项和，整数是否为数列中的项,若是，求出相应的项数;若不是，{a}{aS}10nnn 则说明理由。 32f(n),a,S,2n,28n，90n分析:易求出，，记 a,2n,10S,n(n,9)nnnn /2f(n),6n,56n，90,0,n,2或n,8?，这说明数列从第8项起是递增数列。 {f(n)} 4444f(22),9724,10f(23),11592,10易知数列前8项不含，而，。总之，{f(n)}1010 不是数列{aS}中的项。 nn