巧用“层次对称”求一类分式的最大值

巧用“层次对称”求一类分式的最大值 巧用“层次对称”求一类分式的最大值 第9期邹生书:巧用"层次对称"求一类分式的最大值?l5? 巧用"层次对称"求一类分式的最大值 ?邹生书(阳新县高级中学湖北阳新435200) 笔者在研读文献[1]时发现,该文中的几个不 等式可通过另一种巧设参数妙拆分的构造法求得. 若能充分挖掘和利用所含字母不同层次间的微妙 的对称关系,则可少设参数甚至不设参数达到减少 运算量之功效,从而体现多思少算的解题原则.现 将其整理成文与读者分享. 例1设n,b,c是不同时为0的实数,求 吉的最大值.口+D+C 分析从整体上看,所求式子的分母为平方和 分子为积和,由此联想到重要不等式,可尝试从分 母人手将平方和转化为积和,从而求出最大值.深 人分析所求式子3个字母0,b,c的微妙关系,可分 为如下2个层次:其中口,c为第1层次,单个字母b 为第2层次,并且0,c相对于b而言地位平等对 称.根据以上分析应将分母中的b平均分成2个 ?6分别与n,c搭配成对,这样方能体现这种具 有2个层次的微妙关系,故有如下解法: 解口2+b2+c2=(a2+丢6)+(丢6+c)? (口6+6c), 得<-5得 当且仅当 {„号肫当且仅当{6::.: ' 即口=c等6时,等号成立' 故当.:.:6时,所求式子有最大值为. 例2设a,b,C,d是不同时为0的实数,求 擘的最大值. 分析尝试从分母人手将平方和转化为积和, 从而求出最大值.注意到所求式子4个字母a,b, C,d的微妙关系,可分为如下2个层次:其中a,d 为第1层次,b,C为第2层次,各层次的字母地位相 对平等对称,并且a与b之间的关系等同于d与C 间的关系.根据以上分析,在应用重要不等式时,应 将分母中的b,C分别等权地分给a,d2搭配成 对,这样才能体现这种既有等级层次又相对平等的 微妙关系,因此有如下解法: 解a+b+C+d= (a2+A62)+(1一A)(b+C2)+Ac+d? 2?b+2(1一A)bc+24Ycd(a?(0,1)). 令2b+2(1一A)bc+2与ab+6c+的 对应项系数成比例,得 =1一A, 即A一3A+1=0. 因为0<A<1,所以 A:. 将其代入上述不等式得 口.+b+c+d?(一1)(口6+6c+), 即?. .口 2 =A62 当且仅当Jb=c,即0=d=?_6=?(其中A= 【d=Ac )时,等号成立.故所求式子的最大值为 1 丁 例3设0,b,C,d,e是不同时为0的实数,求 生去竿专的最大值.口4-b+c.4-d+e,, 分析考虑到所求式子中5个字母0,b,c,d,e 的微妙关系可分为如下3个层次:其中口,e为第1 层次,6,d为第2层次,单个字母c为第3层次.各 层次的字母相对于下一层次来说地位相对平等对 ? l6?中学教研(数学) 杯.根据以上分析在运用重要/f,等式时,应将F一 层次的平方项分别等权地分给上一层次相应的平 方项搭配成对.又因为c与b,d的关系相当,故C 应平均分成2个1C2分别与b2d搭配成对 ,所以 有如下解法: 解?+b+c+d2+e= (口+Ab)+【(1一A)6+1c]+ 【_c1+(1一Z)d]+(ad+e)? 26+2?号(1一a)bc+ 2N/2(1-A)ed+24Xde(A?(0,1)). 令26+2,/1~1一A)6c+2?(1一A)cd+ 24'--Ade-~ab+bc+cd+de的对应项系数成比例,得 A=1-- (1一A), 解得A:1. 将其代入上述不等式得 口+6+c+d+e? ?3 2(ab+bc++如) , 所以%?譬. 当且仅当口2=?6,6=丢c2,d=丢c= ?d,即=4Ye=6=d=c时,等号成立.故所 求式子的最大值为拿. 下面我们再用此法解一道含有参数的有关分 式的最大值问题. 例4设,Y,?R,若代数式?的十V十 最大值在区间[1,2]上,求正数口的取值范围. 分析由题设知),,z对于而言,地位相对平 等对称,于是有如下解法: 解引入参数A?(0,1).由均值不等式得 ++= (争.)+(1_A)(),2?+(+丢 2A+2(1一A)yz+,/2A2. 令~/,2A,,+2(1一A)yz+A=(xy+ayz+ ),比较系数得 f~/2A=k; 【2(1一A)=ak, fA=等; 即{,,【一 k, 所以鬻?丢%++z}c 由题设知专?[1,21,因此 ? [1,1]. 又.=2一 k在j}?[,1】时是减数,所以.? 【1,】.故所求正数.的取值范围是【l,吾】. 综上可知,求这类分式最值的方法是:根据分 子中字母的"层次对称"这一结构特点,恰当地尽 可能少地引人参数,将分母的平方和巧妙拆分合理 搭配,然后用重要不等式"凑出分子"的积和式,再 利用对应项系数成比例确定参数的值继而求出最 大值.纵观本文数例不难发现:当所求式子取得最 大值时,同一层次中的字母取值相同,不同层次的 字母取值不同,即不同层次字母的取值成比例,这 是一个非常有趣的现象.此结果明字母在条件中 具有层次性,平等性和对称性,在结果仍具有这三 性,这一结果简直太美妙了,这使我们再次领略到 数学的对称美,奇异美与和谐美. [2] [3] 参考文献 张俊.一个平凡不等式引发的探究[J].数学 教学,2010(12):l2一l4. 邹生书.巧"设"妙"分"求最值[J].数学通 讯(下半月),2011(3):31. 邹生书.运用对称探求最值[J].河北理科教 学研究,2010(6):3_5.