一类状态线性系统∑（A，B，-）精确零能控的充分必要条件

一类状态线性系统∑（A，B，-）精确零能控的充分必要条件 一类状态线性系统?(A，B，-)精确零能 控的充分必要条件 第28卷第5期太原科技大学Vo1.28No.5 2007年10月JOURNALOFTAIYUANUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLO GYOct.2007 文章编号:1673—2057(2007)05—0366—03 一 类状态线性系统?(,,一)精确零能控的 充分必要条件 邢凤龙,李胜家 (山西大学数学科学学院,太原030006) 摘要:研究Hilbert空间Z=,(0,.o)上,状态线性系统?(„4,B,一)在[0,f]上(对某个有限的 f)精确零能控的充分必要条件,其中A为平移半群T(t)的无穷小生成元,B为正交投影算子. 关键词:状态线性系统;精确零能控;精确可控 中图分类号:O175.24文献标识码:A 无穷维线性系统的控制理论,在航天,航海以 及生态系统,环境系统,社会系统等领域有着非常 广泛的应用.从上世纪70年代起,人们开始研究弹 性振动系统的建模和振动控制,在谱分析,能控性 和反馈镇定等方面取得了许多成果.特别是对于 边界控制系统的精确可控性,可观测性,稳定性和 最优控制等方面也取得了一些很好的结果,见文献 [1].[4].在本文中,我们证明在Hilbert空间Z= f(0,?)上,由平移半群T(t)的无穷小生成元A和 正交投影算子B生成的状态线性系统?(A,B,一) 在[0,丁]上(对某个有限的丁)精确可控和精确零能 控是等价的. 引理1…状态线性系统?(A,B,一)在[0, 丁]上(对某个有限的丁)精确可控的充分必要条件 是7>0,Vz?Z,有llB?zll?7llzll. 引理2[1状态线性系统?(A,B,一)在[0, 丁]上(对某个有限的丁)精确零能控的充分必要条 件是7>0,Vz?Z,有IIBz? 7ll71(丁)ll:. 定理1在Hilbert空间Z=L2(0,?)上,由平 移半群T(t)的无穷小生成元A和正交投影算子B 收稿日期:2007424-20 作者简介:邢凤龙(1979一),男,研究生,研究方向为控制论. 生成的状态线性系统?(A,B,一)在[0,丁]上(对 某个有限的丁)精确零能控的充分必要条件是状态 线性系统?(A,B,一)在[0,丁]上(对某个有限的 丁)是精确可控的.. 证明Z=(0,?)为Eo,?)上的平方可积函 数的空间,定义通常的内积.考虑下面的平移半群 [71(f)z]()=z(x+t),t?0z?(0,?) 由文献[5]易知r(t)为c0半群,且llr(t)ll?1, 记A为其无穷小生成元,且r(t)有共轭丁(t)为: [71(f)z]():f0,0?? tz(—t)?t B为正交投影算子 (&)(s):f0,0?s?. tz(s),s>t0 其中,t.为固定的正数. 由文献[6]易知B为自伴算子,即B=B,且 llBll=1. 充分性:由引理1知状态线性系统?(A,B, 一 )在[0,丁]上(对某个有限的)精确可控的充分 必要条件是j7>0,Vz?z有IllB71(s)zllds 第28卷第5期邢凤龙,等:一类状态线性系统?(A,B,一)精确零能控的 充分必要条件367 ?yll,即: s)Idds?yIz()Id Iz(— (1)当?t.时,我们取(s)= ?s, ,则 L0,s>t0一 I1日?r?s)z0IIds=Iz(—s)Idds=0, 所以状态线性系统?(A,B,一)在[0,]上 (对某个有限的)不是精确可控的. (2)当>t0时, 一 s)—d. = Iz(JB)Ids(—s=JB) =z(JB)I?z(JB)I4Zds ?(一,0)fIz(JB)I=(一,.)IIzII:2 令y=一t.,由引理1知状态线性系统?(A, B,一)在[0,]上(对某个有限的)精确可控. 我们对上式作适当的变形得到: IIBzII=fIIB?T?(s)zIIds 矗 =一s)ds 参考文献: =z(JB)I?z(4Zds ?(一to)fIz(JB)I(JB=—s) = (一to)fIz(—s)Ida : (一,.)Iz(—s)Id+(一,.)I?(s)z() Id = (一,.)I?(s)(a)Id+(一,.)I T?(s)z()Id=(一t0)llT?(s)zll 令y:一t.,由引理2知状态线性系统?(A, B,一)在[0,]上(对某个有限的)精确零能控. 必要性:同样地我们仅考虑>t.时的情况,由 题设知状态线性系统?(A,B,一)在[0,]上(对 某个有限的)是精确零能控的,知了y>0.Vz? Z,有: I1日zII:2?yIIT?(s)zII:2=yfIz(—s)Ida =yfIz(JB)I=yIIzII:2 由引理I知状态线性系统?(A,B,一)在[0, ]上(对某个有限的)是精确可控的. [1]CURTAINRF,ZWARTH.AnIntroductiontoInfinite—DimensionalLin earsystemsTheory,TextsinAppliedMathematics, Vo1.21[M].Springer,NewYork,1995. [2]LIONSJL.ControlabiliteexacteperturbationsetStabilisationdesysetme sdistribuesl[R].Rech.Mach.App1.8,Massion,Par- is,1988. [3]KOMORNIKV.ExactControllabilityandStabilization—TheMultiplier Method,RAMRes[M].App1.Mach.,JohnWiley,Chi— chester,UK,Masson,Paris,1994. [4]GEORGEWEISS,RICHARDREBARBER.OptimizabilityandEstimatabilityforInfinite?DimensionalLinearSystems[J].SIAM J.controloptim.2000.39.1204?1232. [5]APAZY.SemigroupsofLinearOperatorsandApplicationstoPartialDiffe rentialEquations[M].Springer-Verlog,NewYork,1983. [6]张恭庆,郭懋正.泛函分析讲义(下册)[M].北京:北京大学出版 社,1990. 第28卷第5期太原科技大学Vo1.28No.5 2007年10月 JOURNALOFTAIYUANUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGYOct.2007 文章编号:1673—2057(2007)05—0368—04 一 类二阶微分方程l=点边,lt,,二值问题多解的存在性 宋姝,张玲玲 (1.太原理工大学数学系,太原030024;2.山西3-程职业技术学院基础 部,太原030009) 摘要:文章利用不动点指数理论,在Banach空间中讨论了方程I 一”(„“()).其中: Lu(0)=0u(1)=CO-() r>0,>0,且0<c<1,得到了这类边值问题正解存在的充分条 件,推广和改进了相关文献的结论. 关键词:Banach空间;三点边值问题;不动点指数;正解 中图分类号:O715.15文献标识码:A 对二阶微分方程多点边值问题的存在性,许多 学者已进行了研究?..2005年,文献[2]研究了 问题: f—u=n(t)/t,u(t)) 【u(0)=0u(1):C/t() 在l厂超线性增长或次线性增长的前提下证明了上述 问题正解的存在性和多重正解的存在性. 本文考察下面三点边值问题: r”=t,tt())(1) 【u(0)=0u(1):C/Z() 在非线性项更一般的情况下,本文在II川有 界的条件下,得到了更丰富的结论.同时,研究问题 所采用的方法也不尽相同. 全文假定: (E,ll?l1)为Banach空间,P是中正规锥. ,=[0,1],c[,,]={u(t):,一Ju(t)在, 上连续},Q={u(t)?C[,,E]Ju(t)?,t?,}. C[,,E]中的范数为ll?11.P为P的共轭锥. (S)表示S的Kuratowski非紧性测度,S为Banach 空间中的有界集. 收稿日期:2007-04-20 基金项目:山西省自然科学基金资助(2007011012) 作者简介:宋姝(1972一),女,硕士研究生,研究方向为非线性泛函分析. 蚋扫弛扛罅j韭筘曲m{i{曲3蚋ijjj曲B OneSufficientandNecessaryConditionsforExactNullControliabolity ofaKindStateLinear?System?(A,B,一) XINGFeng-long,LISheng-jia (SchoolofMathematicalSciences,ShanxiUniversity,Taiyuan030006,Chin a) Abstract:Inthispaper,wediscussedthesufficientandnecessaryconditionsfo rtheexactnullcontrollabilityofthe statelinearsystem?(A,B,一)on[0, 下]onHibertspaceL2(0,..),whereAgeneratestheshiftsemigro—upT (t)andBistheo~hogonalprojectionoperator. Keywords:statelinearsystem,exactnullcontrollability,exactlycontrollable