关于函数可导的一个充要条件

关于函数可导的一个充要条件 高来斌 ,王田娥 ()吉林农业大学 数学系 ,长春 130118 [ n ] n [ n ] ( ) ( ) 摘 要 :结合数学分析课程的一个习 ,给出了连续 | g h| ? L | h | , 于 是 lim g h= 0 , 又n ?? 函数可导的一个充分必要条件 ,并得到了 2 个有趣 ( () ( ) ( ) ) limf h= f 0= 0 , 所以 lim S h= f h+ lim n h ?0 n ?? n ?? 的推论 ,从而对连续函数的导数有了新的认识 。 关[ n ] ( ( ) ) ( ) ( ) f g h= f h。因此可把 f h写成级数形式 键词 :连续 ;可导 ;函数 ? [ n - 1 ] [ n ] ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) f h= [ f g hf g h] 。中图分类号 :O171文献标识码 :A ? n = 1 () 文 章 编 号 :100928984 20060420075202 ( ). g h - f ( )f h δε 由lim= 0 可知 , Π> 0 , ϖ h ?0 ( )h - g h δ> 0 , 当 0 < | h | < , 有 在讲授数学分析课程导数一章的时候 , 我们会 ( ) ( ) f h- f . g h ( ) 遇到这样的问题 : 设函数 f x在点 x的某个邻域0 ε| < 。 | ( )h - g h ( ) ( ) f x+ 2 h- f x+ h 0 0 [ k - 1 ] [ k ] | ? L | 内有定义 , 问极限lim存在 ( )( )g h又 因 为 | g h | < | h ?0 x [ k - 1 ] [ k ] ((δ h ) | , 所以 | g) < 。于是g h | ( ) 是否为函数 f x在点 x处可导的一个充分条件 , 答 0 [ n - 1 ] [ n ] 案应该是否定的 。因为对于任意一个在点 x处可导 ( ( ) ) ( ( ) ) 0 f g h- f g h| | h ( ) ( ) ( 的函数 f x, 只要改动函数值 f x即破坏其连续 0[ n - 1 ] [ n ] () ( ) (g h - g g h ) 性, 便会得到一个反例 。于是 , 作者猜想得到定理 | | = | h [ n - 1 ] 1 , 为此先证明如下的[ n ] ( ( ) )( ( ) )f g h f g h - | [ n ] [ n - 1 ] ) (引理 1设函数 f 和 g 在点 0 的某邻域 U 0内 ( )( )g h g h- [ n ] () ( ) ( ) [ n - 1 ] 有定义 , 对 Π x , y ? U 0, 有 | g x- g y| ?L ( )( )- g h g h= | | | ( ) ( ) ( )( )| x - y | , 0 ?L < 1, g 0= 0 , limf x= f 0 = h h ?0 [ n - 1 ] [ n - 1 ] (() ) ( ) ) ( h f . g g h f g - ()= 0 的 充 分 必 要 条 件 是lim0 , 则 f′0 | < [ n - 1 ] [ n - 1 ] h ?0 ( )( ( ) )g g h g h- )( )(f h- f . g h [ n - 1 ] [ n ] = 0 。 ((h - g h ) ) g ( )h - g h ε| , n = 1 , 2 , 。 | h [0 ] 证函数 g 的 n 次复合 g .g . . g 记为 g , 从而 [0 ] [0 ] ( ) 恒等函数记为 g , 即 g x= x 。由于 Π x , , y ? ? [ n - 1 ] [ n ] ( )( ( ) ) ( ( ) ) f g h- f g h f h| ? || | < () ( ) ( ) () U 0, 有 | g x- g y| ?L | x - y | , g 0= 0 ,? h h n = 1 ? ( ) x[ n - 1 ] g [ n ] ( )g h( )- g h ( ) | ? L , || 所 以 Π x ?U0, 有o ε || x ? h n = 1 [ n - 1 ] [ n ] ( )( )g x- g x - g x n - 1 n - 1 ? (| ?L | ?L 1 + | 1 + Ln - 1 x x ε (ε )? L 1 + L = ? 1 - L n = 1 ) L 。 () 故 f′0= 0 。 n k - 1 ( ) )( = [ f gh 充 分 性 。 记( ) ( )必 要 性 。 由 | g h| ? L | h | , 则S h - n ? k = 1 ( ( ) ( ) ) | h - g h| ?| | h | - | g h| | ?1 - L | h | 。 [ k ] [ n ] ( ( ) ) ( )( ( ) ) 为f g h] + f g h。 因 = f h() ε δ 因为 f′0= 0 , 所以对 Π> 0 , ϖ> 0 , 当 0 < | h δ | < , 有收稿日期 :2006 - 11 - 01 )( f h () ( ) 作者简介 :高来斌 1976 ,8 - ,女 汉,内蒙鄂伦春旗 ,副教授 ε | | < ,h 主要研究应用数学 。 ()()2006 ,7 4 长春工程学院学报 自然科学版 76 ( ) ( )δ) ( ) ( f x+ 2 h- f x+ h 而 | g h| < | h | < , 且 f 0= 0 , 所以 | f . 0 0 (ζ) ζ ( = f′,= x+ 0 h ( ) ( ) ε ε g h| ?| g h| ? L | h | 。于是 θθ )+ h , 0 < < 1 。h ( ) ( ) ( ) ( ) f h- f . g h| f h| - | f . g h| ? | | ( )() h - g h 1 - L | h | ( ) 又因为 lim f′x= A , 所以x ?x 0 ε ε | h | + L | h | 1 + Lε < < 。 ( ) ( )f x+ 2 h- f h0 () 1 - L 1 - L | h | (ζ) lim = limf′= A 。 h ?0 h ?0 h 证毕 x 1( ) 定 理 设 g 在 U 0x , y?( ) ( ) 内 有 定 义 , Π 令 g x= , 于是由定理 1 可知 f′x= A 。02 () ( ) ( ) ( U 0, 有 | g x- g x| ?L | x - y | , 0 ?L< 证毕 ) () ) ( ( ) 1, g 0= 0 , 函数 f 在 U x内有定义 , lim f x= 0 下面给出推论 1 的一个应用 。判断函数x ?x 0 1 ( ) 3 f x, 则函数 f 在点 x处可导的充分必要条件是极 00 xsin , x ?0x ( )= f x ( ) )) ( ( f x+ h- f x+ g h 0 0 限lim存在 。届时 , 该 极 0 , x = 0 ( )h ?0 h - g h 在 x= 0 处的导数是否存在 , 若存在请求出 。 ( ) 限即为导数 f′x。 0 常规的做法是按导数定义进行计算 : 证充分性 。 1 3 ( )( ( ) )f x+ hf x+ g h - 0 0 hsin 设lim 令( ) ( ) = A . f h- f 0 h h ?0 ( )() h - g h f′0= lim= lim= h ?0h ?0 h h ( ) ( ) ( ) u x= f x+ x- f x- A x , 于是有 0 0 1 2 lim h sin = 0 。 ( ) )( 0 , 且极限= lim u x= u 0 h ?0 h x ?0 但也可以利用推论 1 求解 。先求出当 x ?0 时的 ( ( ) )( ) u g h u h- lim( )h ?0g h h - 导函数 = lim 1 1 2 h ?0 ( ) f′x= 3 xsin + xco s ,x x ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) [ f x+ h- f x- A h ] - f x+ g h- f x- A g h] 0 00 0接着对上式求极限 , 得 ( ) h - gh ( ) limf′x= 0 , ( ) ( ( ) ) f x+ h- f x+ g h 0 0 x ?0 = lim- A h ?0 ( )h - gh ( ) 于是得出结论 :函数 f x在 x = 0 处导数存在 , = 0 ( ) 且 f′0= 0 。 ()根据引理 1 可知函数 u′0( ) = 0. 从而 f′x= 0 ( ) 值得强调的是在推论 1 中 , 极限limf′x存在并x ?a A 。 ( ) 非是 f′a存在的必要条件 。例如函数 ( ) ( ) ( ) 必要性 。设 f′x= A . 令 u x= f x+ x- 00 1 2 x sin , x ?0 , ( ) ( ) μ( )( )= 0 , u′0 = 0 。f x- A x , 于是有lim u x= 0 0x ( ) x ?0 f x= 根据引理 1 可知 0 , x = 0 ( ) 在 x = 0 处导数存在且为 0 , 但极限limf′x并( ) ( ( ) ) u h- u g h x ?0 0 = lim h ?0 ( )h - g h 不存在 。 ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) [ f x+ h- f x- hA ] - xf + gh- f x- gA h] 0 00 0 = lim推论 2连续函数的导函数无可去间断点 。 ( )h ?0h - hg ( ) 证反证法 。假设点 x是函数 f x的导函数 0 ( )f x+ h ( ( ) )- f x+ g h 0 0 = lim- A ( )( ) h ?0 的可去间断点 , 于是 lim f′x存在 , 其极限记为 A 。 h - g hx ?x 0 ( ) ( ( ) ) f x+ h- f x+ g h 0 0 从而lim- A ( ) 又因为 f x在点 x处连续 , 于是根据推论 1 得到 0 h ?0( ) h - g h ( ) ( )( ) f′x= A 。从而有limf′x+ h= f′x, 这表明 00 0证毕 h ?0 推论 1 ( ) 如果函数在某点处连续 , 在该点的某导函数 f′x在点 x连续 , 与假设矛盾 。 0 去心邻域内可导 , 且其导函数在该点处极限存在 , 则 证毕 函数在该点可导 , 即推论 2 可看作是对文 2 158页 下 述 结 论 的 扩 )( ) ( lim f x= f x 展 :可微函数的导函数无第一类间断点 。推论 2 在 0x ?x 0( ) ] f′x = A . 0 部分弱化了该结论的条件 ,得到了一个新结论 。( ) lim f′x= Ax ?x() 下转第 80 页 0 证根据拉格朗日中值定理 , 有 ()()2006 ,7 4 长春工程学院学报 自然科学版 80 社 :1998. ( Faculty of Mechanical Engi neeri ng , Changchun [ 2 ] 张忠林 . 基于 Petri 网的企业管理信息系统建设模型)Instit ute of Technology , Changchun 130012 , Chi na ( ) () [ J . 兰 州 铁 道 学 院 学 报 自 然 科 学 版 , 2001 , 20 6:Abstract :Mathematics analyses means of Petri network 21 —23. have advantage to analyze performance of information [ 3 ] 袁崇义. PETRI 网 原 理 [ M . 北 京 : 电 子 工 业 出 版 社 : system. In the modeling method of Petri network ,the 1998. () modeling scheme outline first ,and then concretei s more normal and meet s the needs of modeling of the Model ing method in the inf or ma tion comp uter . Combining one information system , syste m of ba sic petr i net elaboration the step and method of outline modeling of basic Petri net po ssess the good performance . XU Xue2dong ,et al . Key wor ds :Petri Net ;information system ;resources ()上接第 68 页“图纸电子管理系统”,着重从用 Design an d imple menta tion of 户登录 、图纸数字化和检索查询 3 个方面说明了档 net wor k mana ge ment syste m f or 案管理系统的## 。 electron ic dra wing f iles 参考文献 YAN G Xin2chang ,et al . 1 周英 . 企业档案管理的网络信息化及开发利用 J .安 ( )CPLA Inf orm ation Cent re , Qi ngdao 266042 , Chi na () 徽大学学报 ,2003 ,27 3:154 —156. 2 乔建惠 ,陈燕平 . 电子档案管理系统的设计和开发 J .Abstract :The paper introduces the design ,systematic () 计算机辅助工程 ,2005 ,14 1:35 —39.structure and systematic f unction of network 3 谢海洋 ,王保忠 . 基于 Web 技术的电子档案管理系统的 management system for electronic drawing files. 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