习作题目情之帽

习作题目情之帽 beta.1 解直角三角形 姓名 答疑信箱,aoshu@foxmail.com 知识点、重点、难点 BD10BDk,5.，则Rt?BDE中，由三角形内角平分线性质有, DC6 直角三角形中角与角之间关系为两锐角互余;边与边之问的关系为勾股222即 DEBEBD，,,定理;边与角之间的关系则可由两锐角的正余弦、正余切公式给出。 22222k,1.，得， abc(3)(106)(5)kk，,,CDkAD,,,，,33,6335，其中abc分别为 三角形ABC中，、、,,,2R1BHsinsinsinABC故 BH,25.sin,，,,DAC?A、?B、?C所对的边，R为?ABC外接圆半径，称为三角形的正弦定105理。图中BD,ccos B，DC = a,ccos B(所以 2222 bACADDC,,，例2:如图，证明单位圆(半径为1)上的锐角三角22 形的三个角的余弦之和小于该三角形周长之半。 ,，,(sin)(cos)cBacB 22证明:锐角?ABC中，有A，B > 90?，A > 90?, ? ,，,acacB2cosB，则cos A,cos(90?,B)= sin B(同理有cos B,222同理可得 ? abcbcA,，,2cos.sin C，cos C,sin A，故cos A，cos B，cos C,sin A222cababC,，,2cos. ? abc,,,,22R，sin B，sin C.根据正正弦定理有，所以上述三式称为三角形的余弦定理。 sinsinsinABC222222acbbca，,，,abc，，1cos,cos,BA,,将???式变形可得 sinsinsinABC，，,2，即=()abc，，，故22acbc2sinsinsinABC，，222abc，,1cos.C,此三式用于已知三角形三边求三角形内角，而且容易 coscoscos().ABCabc，，,，，2ab2验证:当三角形内角为钝角时，其余弦值小于零，这为判断钝角增加了一种 新。 222三角形的面积的另一个公式为:三角形面积等于两边及其夹角正弦的乘abc，,S例3:已知?ABC的面积,，试求内角C的大小。 111,SabCbcAacB,,,sinsinsin.积的一半，即 4,ABC222222222abc，,1abc，,1 直角三角形的边角关系、三角形的正余弦定理，为解直角三角形和有关S,SabCsin,解:，又有，则 ,abCsin,,,4242三角形边角的问题提供了多种方法。 222222abc，,abc，, sin.C,cosC,由余弦定理知，故sincos,CC,例题精讲 2ab2ab sinC,cosCC,45.,,tan1,C两边除以，有故 例1:如图，?ABC中，?C=90?，AB,10，AC=6，cosCAD是?BAC的平分线，求点B到直线AD的距离BH. 已知Rt?ABH中AB =10，要求BH，可 求出?BAH的正弦值，而?BAH=?CAD，因而可先 求出DC的长。 解:作DE?AB于E，有AE =AC=6，ED=CD.设DC=3k， 第 1 / 6 页 beta.1 解直角三角形 姓名 答疑信箱,aoshu@foxmail.com 例4:如图，某污水处理站计划砌一段截面为等1n ECAC,,.腰梯形的排污渠。如果渠深为h，截面积为S，22,试求当倾角为多少时造价最小, 分析 要使造价最小，只需考虑AD，DC，CB ,最小，故首先设法用h、S、示AD，DC， CB( ECn21,11,ABC在Rt?EDC中，又在中，由余弦定理cos.C,,解:，有,，,，,，,,SABCDhCDhhCDhh()(22cot)(cot)DCn2(1)，22 222222S2hSBCCAABnnnn，,，，,,，(1)(1)4，则 CDh,,cot,，，,，,，,ADDCCBADCD2(有 cos.C,,,,hsinh22(1)2(1)BCCAnnn ，，Sh(2cos),,214nn,， hcot).,，,n,5 所以，所以，所以此三角形的三边长为4、5、,hsin,2(1)2(1)nn，，2cos,,因S、h为常数，则要求AD，DC，CB的最小值，只需求的最小6. sin, 2cos,, 222,m,值。设两边平方整理得 (1)cos4cos(mm，,,,,A卷 sin, 222224(1)(4)2(3),，，,,,mmmm一、填空题 ， ,,,4)0cos.,,22mm，，11 2cos,,2231，1.一个三角形的一边长为2，这条边上的中线是1，另两边之和是， m,3m,3由上式知，解得，故当时，有最mm(3)0,,sin,则这个三角形的另两边之长分别是 和 。 21 ,,,,m,3,,60cos小值。当时，，从而，此时排污渠造价2，m12432.在Rt?ABC中，?C = 90?，AC=6，CA的平分线AD=，则AB= 。 最小。 315353.在Rt?ABC中，?C = 90?，BC=，AC=，则?A= ，外例5:如图，在?ABC中，已知最大内角A是最小内角C的2倍，且三边的接圆的半径是 。 长a、b、c是三个连续自然数，求三角形各边的长。 解:设三角形三边分别是a=n，1，b=n、c=n,1(n为自然数，且n?2). ?和60?，则4.梯形的两底长分别等于13厘米和5厘米，两底角分别是30如图作?A的平分线AD交BC于D，再作DE?AC于E. 梯形的周长是 厘米。 ABBD ,因为?1=?2，所以，所以ACDC3S,5.在Rt?ABC中，?C = 90?，AC=2，cosB=，则 。 ,ABCABACBC，nn(1)，5,DC,.，所以 ACDC21n, ADCD, 又因为?2=?C，所以，所以6.已知直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形的两个锐 角度数分别是 度和 度。 第 2 / 6 页 beta.1 解直角三角形 姓名 答疑信箱,aoshu@foxmail.com <90?，那么以sin、cos、tan?cot为三边的三角形7.若0?<和 。 ,,,,, ABC的内切圆半径和外接圆半径这和等于 。 2.如图，在Rt?ABC中，E、D分别是边AC、BC的中点，BE=，AB=10，222 1,,20012000,?C=90?，则AD= 。 8.计算 。 (tan60)(3tan30) 3 3.计算tan 1??tan 2??tan 3??…?tan 88??tan 89?, 。 4cos5sin,,,9.已知tan,2，为锐角， 。 ,,,224.已知在直角三角形ABC中，?C = 90?，tan，cot = 5，则tanA，AA2cos3sin，,, cot A, 。 1003,ABC5.在直角三角形中，斜边长为C，面积为S，那么这个三角形的两直角边长 10.如果等腰三角形ABC中，底角是30?，面积为，那么的3 分别是 和 。 周长是 。 6.在?ABC中，?B=30?，?BAC=135?，BC=10，则AB= 。 二、解答题 7.计算tan 15?= 。 11.已知等腰直角三角形ABC中，?C=90?，点D在直线BC上，且BD= 8.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有AB，求?ADB的余切值。 两点M、N，且?MCN = 45?(记AM= m，MN=x， BN= n，则以x、m、n为三边长的三角形是 三 角形。 9.如图，在?ABC中AB = AC，?ABN =?MBC，BM= NM， 12.如图，已知?ABC中，?C = 90?，E、F在AB边上，AF=EF=EB，且BN= 2a，则点N到边BC的距离是 (用含a的代数CF= sin，CE,cos，求斜边AB的长。 ,,式表示)。 10.在?ABC中，?BAC,120?，?ABC,15?，?A、?B、?C的对边分 别为a、b、c，那么a:b:c= 二、解答题 B卷 11.如图，城市规划期间欲拆除一电线杆AB.已知距电线杆AB水平距离14一、填空题 米的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i=2:1，坝高CF为2米，在坝顶C 处测得杆顶A的仰角为30?，D、E之间S,1031.在?ABC中，有一个角为60?，，,是宽为2米的人行道，试问在拆除电线杆它的周长是20，则它的三边之长分别为 、 AB时，为确保行人安全，是否需要将此人 第 3 / 6 页 beta.1 解直角三角形 姓名 答疑信箱,aoshu@foxmail.com 行道封上,请说明理由(地面上以点B为圆心、以AB长为半径的圆形区域 1.732 ，1.414)。 为危险区域)(3,2, 12.如图，在?ABC中，?A=45?，CB=5，BD=3，CD,7，D在边AB的延C卷 长线上，求?CBD和AC的大小。 一、填空题 CD 1. ABC中，?C=90?，?A的平分线AD交BC于D，则 。 ,ABAC, 2.等腰?ABC中，AB=AC，BC=8，且?ABC的内切圆半径是2，则 AB= 。 13.在Rt?ABC中，已知两直角边的差为，两直角边在斜边上的射影的22 23差为，求?ABC的三边的长。 3. ?O的半径为2， ?O内的点P到圆心O的距离为1，过P点的弦AB 与劣弧组成一个弓形，则此弓形面积的最小值是 。 AB 4.如图，?ABC中，?C=90?，CD是?C的平分线， CA,3，CB=4，则CD, 。 ?，a5.已知在直角三角形ABC中，?C=90、b是?A、?B的对边，且14.如图，ABCD是正方形，E为BC上一点。将正方形折叠，使A点、E点22aabb,,,01，则tan A, 。 重合，折痕为MN.若tan?AEN=DC，CE=10，求(1)?ANE的面积;(2) 36.如图，?C=90?，?BAC = 30?，BC,1，sin?ENB的值。 D为BC边上一点，tan?ADC是方程 112 3()5()2xx，,，,的较大的根，那么2 xx CD的长是 。 1,,tan,,,,,,,,sincos,0180x7.已知，则 。 5 228.?ABC中，acos B,bcos A，关于x的方程 bxcxx(1)(1)200,，，,, 的两根相等，则?ABC是 三角形。 第 4 / 6 页 beta.1 解直角三角形 姓名 答疑信箱,aoshu@foxmail.com BC39.在?ABC中，BC=3，内切圆半径，则 。 cotcot，,r, 222 1 ,k,010.若0?<,30?，sin (k为常数，)，那么的取值,,，kmm 3 范围是 。 二、解答题 mn，22211.设m、n、p是正数，且，求的最大值。 mnp，, p 12.如图，?ABC中，?O内切于?ABC，切点分别为D、E、F，BD,3， DC,2，?BAC=60?，求 S. ,ABC 2 13.如图，CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，， SSS, ,,,BDCABCADC 求sin B的值。 14.已知P是矩形ABCD内任意一点，连结PA、PB、PC、PD，求证:在 ?PAB、?PBC、?PCD、?PDA四个角中，必有一个不小于45?，也必 有一个不大于45?( 第 5 / 6 页 beta.1 解直角三角形 姓名 答疑信箱,aoshu@foxmail.com 第 6 / 6 页