fuzzy向量空间的L-fuzzy线性映射

fuzzy向量空间的L-fuzzy线性映射 fuzzy向量空间的L-fuzzy线性映射 第2O卷第3期 2006年6月 模糊系统与数学 FuzzySystemsandMathematics V0I.20.No.3 Jun.,2006 文章编号:1001—7402(2006)03—0038—05 L—fuzzy向量空间的L—fuzzy线性映射 赵立军,吴奇峰,陈忠 (韶关学院数学系,广东韶关512005) 摘要:给出L—fuzzy向量空间的L—fuzzy线性映射等概念,并给出了它的一些等价刻画. 关键词:L—fuzzy子域;L—fuzzy向量空间;L—fuzzy线性映射;L—fuzzy向量同构 中图分类号:0159文献标识码:A 1预备 在文[Vl中,史借助极大集与极小集概念给出了L集合套与集合套理论,它使许多L—fuzzy 集变得直观且便于应用.在文[4]中,史又借助于L—fuzzy关系引入L—fuzzy集间的L-fuzzy映射概 念并给出了它的一些等价刻画.本文利用L—fuzzy映射概念给出了L—fuzzy向量空间的L—fuzzy线 性(同构)映射等概念,并给出了它的一些等价刻画. 文中恒为完全分配格,M()表示中所有非零并既约元之集,P()表示中所有非单位 素元之集,x,y表示非空通常集,表示x上的所有L—fuzzy集的全体.本文不区别分明集与其特 征函数,其它未提到的符号与概念请参见文[1],文[2]和文[3].对?与a?L,我们沿 用[1]中 如下记号: 『口1一{z?XIA(z)?口},A(.)一{z?XI口?fl(A(x))} [口]一{z?XIa(A(z))},A.一{z?XIA(z)篓口} 定义1.1[1o设y是域x上一个向量空间,y是域x上一个向量空间.r:x一x是域同态, 厂:y一y是映射.如果 (1)Vz,yEYl,f(x+.),)一厂(z)+厂(.),); (2)V?Xl,z?Yl,f(2z)一r()/'(z), 则称厂是y到y关于r的一个线性映射. 当X一x,r是恒等映射时,厂是y到y的线性映射.若r:x一x是域同构,f:Y一yz是双 射且满足条件(1),(2)时,则称厂是y到y关于r的一个同构映射. 易得命题1.1: 命题1.1设y是域x上一个向量空间,y是域x上一个向量空间,厂是y到yz关于r的一 个线性映射,则 (1)若y的子集y是x的子域x上一个向量空间,则厂(y)是域r(x)上一个向量空间; 喜羿翟嚣o5一),男,黑龙江人,韶关学院数学系教授,研究方向:方程,模糊代数;吴奇峰(1964-1963964).男,韶关学院数作者简介:赵立军(一),男,黑龙江人,韶关学院数学系教授,研究方向:方程.:壤糊代数;吴奇峰)?男,韶关学院数 学系副教曩,究方向:概率;陈忠(1971一),男,韶关学院数学系讲师,研究方向:方程?代数. 第3期赵立军,吴奇峰等:L—fuzzy向量空间的L—fuzzy线性映射39 (2)若yz的子集y是xz的子域x上一个向量空间,则厂一(y)是域r一(x)上一个向量空间. 定义1.2[设x是域,?,若Vz,?X,有 (1)A(z—)?A(z)^A(y); (2)A(xy一)?(z)^(); (3)(0)一A(1)一1, 则称是X的L—fuzzy子域. 易证下面命题1.2成立. 命题1.2设x是域,A?,则下列条件等价: (1)是X的L—fuzzy子域; (2)Va?M(L),Ac.]是x的子域; (3)Va?尸(L),A[a3是x的子域; (4)Va?尸(L),是x的子域. 定义1.3[]设A是域X的L—fuzzy子域,y是X上一个向量空间,而?L,如果V?X 及z,Y?Y,有 (1)(z+)?(z)^(); (2)(z)?()^(z); (3)(0)一1, 则称是上的一个L—fuzzy向量空间. 易证命题1.3和命题1.4: 命题1.3设是域x的L—fuzzy子域,y是域x上一个向量空间,则?L是上的一个 L—fuzzy向量空间的充要条件是:V,?X及z,Y?Y有 (+)?()^(z)^()^() 命题1.4设是域x的L—fuzzy子域,y是域x上一个向量空间,VEL,则下列条件等价: (1)是上的一个L—fuzzy向量空间; (2)Va?(L),Vc.]是Ac.]上一个向量空间; (3)Va?尸(L),VLd]是[口]上一个向量空间; (4)Va?尸(L),是上一个向量空间. 定义1.4C'设?,B?.一个到B的L—fuzzy关系叫做从到B的一个L—fuzzy 映射,如果VaEM(L),fc.]是Ac.]到Bc.]的映射.如果是从A到B的一个L—fuzzy映射,那么记为 厂:—B.如果VaEM(L),fc.]是Ac.]到Bc.]的单射,那么厂:—B被称为L—fuzzy单射. 如果Va ?M(L),B(.)fc.]([.])B[.],那么厂:—B被称为L—fuzzy满射.如果厂既是单射又是满 射,则 厂:—B被称为L—fuzzy双射. 命题1.5c'设?L,BEL且×B,则下面条件等价: (1)厂是从A到B的一个L—fuzzy映射(或双射); (2)VaE尸(L),f是到B的映射(或双射). 命题1.6C设?L,B?L且×B.如果Vb,c?L,口(6Vc)一口(6)n口(c),则下 面条件等价: (1)厂是从到B的一个L—fuzzy映射(或双射); (2)VaE口(0),.是AC.到BC.的映射(或双射). 定义1.5r设?,B?L和厂:—B,对于C?,规定: 厂(C)一V. (口^fc.](Cc.])) aEM(L)一 40模糊系统与数学2006焦 那么厂(C)叫做C在厂下的像. 定义1.6[.设?L,BEL和厂:—B,对于D?B,规定: /(D)一V(n^(厂)-1(D[])) 那么厂-1(D)叫做D在厂下的逆像. 命题1.7[.设?L,BEL且厂:—B,则对于C?和D?B,有 (1)Va?P(L),厂(C)一f(C); (2)Va?P(L),(厂-1(D))一(厂)-1(D). 2L-fuzzy向量空间的L—fuzzy线性映射 定义2.1设X?,Xz是域,是X.的L—fuzzy子域,B是X:的L—fuzzy子域,厂:—B是 L—fuzzy映射(或双射).如果VaEM(L),fE]是AE]到BE]的同态映射,则称厂:—B是 L—fuzzy同 态(或同构). 由文[11]和文[12]知下面定理2.1和定理2.2成立. 定理2.1设X,Xz是域,是X的L—fuzzy子域,B是X:的L—fuzzy子域,厂:—B是 L—fuzzy映射,则下面条件等价: (1)厂:—B是一个L—fuzzy同态(或同构); (2)Va?P(L),f.是.到B.的同态(或同构)映射. 定理2.2设X.,X:是域,是X.的L—fuzzy子域,B是X:的L—fuzzy子域,厂:—B是 L—fuzzy映射.若Vb,C?L,口(6Vc)一口(6)n口(c),则下面条件等价: (1)厂:—B是一个L—fuzzy同态(或同构); (2)Va?口(O),是[4到B[4的同态(或同构)映射. 定义2.2设y.是域X上一个向量空间,y:是域X:上一个向量空间,是X.的L—fuzzy子域, B是X2的L—fuzzy子域,?L是上的一个L—fuzzy向量空间,?Lz是B上的一个L—fuzzy 向量空间,厂:—是L—fuzzy映射,r:—B是L—fuzzy映射.若VaEM(L),fE]是VE]到WE]关 于r[]的一个线性(或同构)映射,则称厂是到关于r的一个L—fuzzy线性(或同构)映射. 定理2.3设y.是域X.上一个向量空间,y:是域X:上一个向量空间,是X的L—fuzzy子 域,B是X:的L—fuzzy子域,?L是上的一个L—fuzzy向量空间,?Lz是B上的一个 L—fuzzy向量空间,厂:—是L—fuzzy映射,r:—B是L—fuzzy映射,则下面条件等价: (1)厂是到关于r的一个L—fuzzy线性(或同构)映射; (2)Va?P(L),f.是.到关于r的一个线性(或同构)映射. 证明(1)(2):VaEP(L),若5C,yEV.,?A.,因是上一个向量空间,故,+ Y?V.,那么V()车a,V(.y)车a,A()车a,从而A()^V()^V(.y)车a.取b?|8(()^V() ^V(.y))满足6车n,那么A[6]CA.,VE6lCV,fE6]c厂,[6]cr.由V()?A()^V()^ (.y),V(+.y)?A()^V()^V(.y),A()?A()^V()^(.y),V()?A()^V()^V(.y),V (.y)?A()^V(sc)^(.y)得,,Y,+.y?VE6],?AE6],由(1)知fEbl(+.y)一fEbl()-I-fib3(.y), f[6]()一r[6]()厂[6]().而厂'是到的映射,r.是.到B.的映射,所以fEbl()一厂 (),f[6]()一厂'(),f[6](.y)一厂'(.y),fE6](+.y)一厂'(+.y),r[6]()一r(4().所以f(4()一 r'.()厂'(),f'.(+.y)一厂()+厂(.y).由定理2.1知r是到B的同态(或同构)映射, 所以厂是到.关于r的一个线性(或同构)映射. (2)(1):VaEM(L),若,Y?V[],?AE],因VE]是域AE.]上的一个向量空间,所以, 第3期赵立军,吴奇峰等:L—fuzzy向量空间的L—fuzzy线性映射41 +yEVr.].那么对每一个b?P()且6奎n有z,Y,,z+?Vr.]c?,由(2)知f?'()一r.() 厂?(z),f?(z+)一厂.()+厂?().任取C?P()使c奎n,我们证明f?(z)一厂"(z).显然n车 6VC.取d?P()使?bVC且奎a,那么有(z,f(z))?fcf.且(z,f(z))?fcf". 由(2)知f(z)一厂.(z)=厂?(z),从而(z,f?(z))?n{f.IC?P(),c奎n)=fEo~CVE.]×WE]. 由于fE.]是]到[.]的映射,所以fE.](z)一厂?(z).类似可以证明fE.]()一厂?'(),fE.]()一 f?(),fE](z+)一厂'(z+),r[]()一r?().所以fE.]()一r[.]()厂[.](z),fE.](z+)=fE] (z)+厂[口]().由定理2.1知r是到B的一个L—fuzzy同态(或同构),所以厂是到关于r的 一 个L—fuzzy线性(或同构)映射. 定理2.4设y是域x上一个向量空间,y是域x上一个向量空间,是x的L—fuzzy子 域,B是x的L—fuzzy子域,VEL-是上的一个L—fuzzy向量空间,?z是B上的一个L—fuzzy 向量空间,厂:一是L—fuzzy映射,r:—B是L—fuzzy映射.若Va,6?L,a(nV6)一a(n)na (6),则下面条件等价: (1)厂是到关于r的一个L—fuzzy线性(或同构)映射; (2)Va?a(O),.是.到W[o关于.的一个线性(或同构)映射. 证明(1)(2):Va?a(O),若z,Y?,?.因是.上一个向量空间,故z+ y,?V].那么aa((z)),aa(()),aa(()),aa((z+)),aa(()).显 然V(z)?0,V()?0,V(z+)?0,()?0,A()?0.取b?P()满足a?a(6).我们有 (z)车b,()车b,V(x+)车b,()车b,()车b从而z,Y,z+Y,?V?',?A?'.由于c '? ,.c'?,.c厂',.]Cr',再由(1)可知.(z)一厂'(z),.()一厂'(),(z+)一 厂'(z+),.()一厂'(),.()一r?().由定理2.3知厂?(z+)一厂?'(z)+厂.(),f. ()一r'?()厂'(z).所以.(z+)一.(z)+.(),.()一.()(z).由定理2.2知 .是到B的同态(或同构)映射.所以.是M到.关于.的一个线性(或同构)映射. (2)(1):由定理2.3知,只须证Va?P(),f是到关于r的一个线性(或同构)映 射即可.Va?P(),若z,yEV.,?A..因.是'上的向量空间,故z+,?V.'.那么 (z)篓a,(y)车a,()车a,所以()^(z)^()车a.取6?a(n)Ca(O)满足ba(()^ (z)^()).因为V(x+)?A()^(z)^(),V(z)?()^(z)^(),()?()^ (z)^(),()?()^(z)^(),A()?()^(z)^().故6a((z+)),b a((z)),ba((v)),ba(()),ba(()),所以z+Y,z,Y,?VL6.,?AL6j.又因为 阳c',A[b]CA',阳厂',]Cr'.所以(z+)一厂'.(z+),叼(z)一厂(z),阳() 一 ?(),()一?(z),r[6()一r'.().由(2)可知(z+)一(z)+(),(z) 一 阳()(z).所以厂'.(z+)一厂(z)+厂.(),f.'()一r'()厂'(z).由定理2.1,定理2. 2知r'.是A'到B'.的同态(或同构)映射,所以厂是到关于r的一个线性(或同构)映 射. 定义2.3设是域x的L—fuzzy子域,y是x上一个向量空间,,?都是上的 L—fuzzy向量空间,且?V,则称是的L—fuzzy子空间. 易证下面定理2.5: 定理2.5设是域x的L—fuzzy子域,y是X上一个向量空间,VEL是上的L—fuzzy向 量空间,且?V,则下面条件等价: (1)是的L—fuzzy子空间; (2)VaEM(),()]是域.]上向量空间]的子空间; (3)Vn?P(L),()M是域上向量空间.的子空间; 42模糊系统与数学2006薤 (4)Va?P(L),()是域上向量空间的子空间. 定理2.6设y是域x上一个向量空间,y.是域x.上一个向量空间,是x的L—fuzzy子域, B是xz的L—fuzzy子域,?一是上的一个L—fuzzy向量空间,?z是B上的一个L—fuzzy向 量空间,r:—B是L—fuzzy映射,厂是到关于r的一个L—fuzzy线性映射,则 (1)若r:—B是满射,是的L—fuzzy子空间,则f(V)是的L—fuzzy子空间; (2)若是的L—fuzzy子空间,则f-1()是的L—fuzzy子空间. 证明(1)因为r:—B是满射,所以Va?P(L),r()一B.由命题1.4知()是 上一个向量空间.由命题1.1知f(())是r()一B上一个向量空间,再由命题1.4,命 题1.7知f(V)是B上一个L—fuzzy向量空间.显然f(V)?W.所以f(V)是的L—fuzzy子空 间. (2)由定理2.5知Va?P(L),()是B上向量空间的子空间.由命题1.4知(厂)-1 (())是(r)-1(B)上向量空间(厂)-1(())的子空间,而(厂)-1(())一(厂-1 (W))',(r')-1(B)一(r-1(B))一A',(厂'.)一(()')一(厂一())'.一V'.所以(厂一 ())是上向量空间的子空间,再由定理2.5知f-1()是的L—fuzzy子空间. 由定理2.6可得下面推论2.1: 推论2.1设y是域x上一个向量空间,y.是域x.上一个向量空间,是x的L—fuzzy子域, B是x2的L—fuzzy子域,?L一是上的一个L—fuzzy向量空间,?Lz是B上的一个L—fuzzy向 量空间,r:—B是L—fuzzy映射,厂是到关于r的一个L—fuzzy线性映射,则厂-1((oj)是 的一个L—fuzzy子空间,其中0是y.的零向量,{.l是{0}的特征函数. 参考文献: [1]史福贵.一集合套与,.一集合套理论极其应用口].模糊系统与数学,1995,9(4):65~72. [2]史福贵.L-fuzzy集与素元集合套口].数学研究与评论,1996,16(3):398~402. [3]史福贵.分子集合套理论极其应用口].烟台师范学院(自),1996,12(1):33,36. [4]ShiFG.L—fuzzymappingofL—fuzzysets[J].模糊系统与数学,2000,14(3):16,24. [5]ShiFG.L—fuzzyrelationsandL—fuzzysubgroupsD].JournalofFuzzyMathematics,2000,8(2):491,499. [6]WangGJ.Theoryoftopologicalmolecularlattices[J].FuzzySetsandSystems,1992,47:3 51,376. [7]GuWX,LuT.Fuzzylinearspaces[J].FuzzySetsandSystems,1992,49:377,380. [8]张型岱.L—fuzzy映射的像与逆像的表现[J].模糊系统与数学,2002,16(1):24,28. 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