刚体平面运动相对瞬时速度及加速度中心动量矩定理的推证

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 卷 第 期 年 月 大 连 铁 道 学 院 学 报 刚体平面运动相对瞬时速度及 加速度中心动量矩定理的推证 张俊儒 迟作江 机车车辆系 摘 要 用 方程推证了刚体平面运动时相 对瞬 时速度 中心 和 瞬 时加速度 中心 的 动量矩 定理 。 关键词 刚体动力学 相对速度 瞬间速度 动量矩定律 中图分类号 关于刚体平面运动时相对瞬时速度中心的动量矩定理 , 曾有人用 牛顿方程 、 拉格 朗 日 方程推证过 , 但推证过程都很繁琐 本文用 。 方程 推证不仅显得特别简单 , 而且物理 意义又很 明确 同时在推证过程又直接给出了刚体平面运动时相对瞬时加速度 中心 的动量 矩定理 , 用这一定理可 以迅速地求解一大类 , 诸如瞬时加速度中心易确定的动力学问题 定理的推证 设 为具有 对称 面作平 面运 动 刚体 的平面图形 , 口 一 为静坐标系 , ’一 少’ ‘ 为以基点 口 ’ 为坐 标原点的 平 动坐 标 系 , 为质 心 , 为 ’ 到 质 心 的距 离 , ‘为 ’到第 点的距离 平面运动 刚体有三个 自由度 , 分别 选 刚体 的转角 和基 点 。‘ 的坐标 中 , , 为系统 独 立 广义坐标 , 取 访, 丸 , 文 , 为广义速率 , 因 此有 。 十 甲 二 戈 只 帅 哟 贬 。 。一 尸 , 甲 夕 夕。 , 只 , 甲 仪 其中 为常量 只 ‘丸一 砷 哟 以 十 小 哟 图 作平面运动的刚 沐 木文 收到 日期 卯 一 一 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 期 张俊借等 刚体平面运 动相对瞬时速度及加速度中心 动量 矩定理 的推 证 科 【戈。 一 户价 沪 夕口 户币 沪 。 甲 ‘ 戈 一 、 动 沪 叻’ 沪 乡。 。 葵 沪一 访, 甲 。 必 式 中 , , 分别 为沿 , , 轴的单位矢量 所以对应于诸广义速率的偏速度和偏角速率为 此 。 鱿毛一 或 一 叫一 鱿 一 众 一 令 切 一 甲 队篇 ‘ 沪 戊 一 甲 “ 」 聪 据 方程 忆 , 护、,、 , ,山内、︶‘、了、了了、写 灸一 凡 。 , 十 灵 墓二 式 和式 实际上就是质点系的质心运动定理 本文 由式 推证相对瞬时速度中 』合和瞬时加速度中心动量矩定理 对应于广义速率 访的刚体广义主动力和广义惯性力分别为 凡 一艺式 · 疏一 艺式 · , 叶叨一 , 明卜艺 , 其中 ‘为作用在第 点上的主动力 刁 一 “。 · 双二一 · “ · 瓦二 一 父。一 、 梦 甲 叻, 沪 孔 、 幼 甲 一 巾, 中 · 沪 一 印 一 甲 · 一 材。 一 戈 印 、动 沪 。访, 卯 沪 歹。 中 必 , 甲一 户访, 甲 · 毋 一 丈必 一 材户 乡。 , 明 一 义。 · 甲 一 访 所以式 可写成 艺 。 , 式 一 去劳一 以 歹。 、 甲 一 戈 哟 一 。 , 必 ’ 沪 一 找 哟 二 艺 式中 为刚体的质量 相对瞬时速度中心动最矩定理 。 亡 一 切 。 , 。一 沪 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 大 连 铁 道 学 院 学 报 第 卷 戈 戈 户 劳 切 户 访 中 歹。 夕。一 户必 甲 币 将式 代人式 等号左边的第二项 中 , 该项可变为 户 歹。 沪一 父口 中 对户 歹。 甲 一 户奋 , 中 叻, 沪 切一装 中 一 户必 甲一 户中 中 价 夕。 印 一 父。 户 甲一 梦 一 歹。 。二 一 父。 。, 一 、’劳 歹。凡一 父。 、, 一 , ’梦 二 一 。 · 譬一 ‘ 甲 因此式 可写为 , 葵一 , 竺一 川梦二 艺 。 州 若 ’ 为瞬 时速 度 中心 时 , 则 , 巴 。 忿一 , 忿 , 乳 , 凡 一 止 一 一二 一 艺 一 、、李 。。 一 、。。卑 一 、。 ,必 亡 ”最后将式 代 人式 〕后得 、动 、、田器 一耳 , 图 刚体平面运动加速度图 式 为刚体平面运动时相对瞬时速度中心动量矩定理的一般表达式 在下列 特 殊 情 况 ① 当 即 与质心 重 合时 ② 当 。 雌 动 的 初 瞬 时 。 气互尹 曰 — 即 印 常量时 式 变为 凡梦一 艺 , 式 式 具有和 刚体相 对于定 点 轴 的动量矩定理一样简单的形式 相对 瞬 时加速度 中心 的动量 矩定 理 若 口 ‘ 为瞬时加速度 中心 , 则 , 二 “ 二 即 葛一丸一 。 孔 一 儿一 。 代人式 可得 几梦一 艺 。 式 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 第 期 张俊借等 刚体平面运 动相 对瞬时速度及加速度中心 动童矩定理的推证 式 为刚体平面运动时相对瞬时加速度中心 的动量矩定理 , 即刚体相对瞬时加速 度中心的动量矩对时间的导数 , 等于作用于刚体外力系对瞬时加速度中心的主矩 式 在形式上很简单 , 并且只要能确定 点的位置 点的位置可根据文献 , 确定 , 没有任何限制条件 , 对任一瞬时 都成立 但因确定任一瞬时 的 点位 置 比较麻 烦 , 并且在任一瞬时 , 点一般不是 未知约束反 力 的交点 , 即 艺 。 助 中 包 含 有 未 知 数 , 这对仅需求解运动的 问题来说是不 方便 的 , 所 以在某 些情 况下 限制了式 的应 用 但对相 当多的一类 , 诸如刚体突然由静止状态变为运动状态 , 其初始运动状态 的动力 学问题 , 用式 能迅速地求解 算例 均质细杆重 长为 , 上端 靠在光滑的墙上 , 下端 以铰链和一均质 圆柱 的 中心相 连 圆柱重 , 半径为 , 放在粗糙的地面上 , 从图 示位 置 “ 由静止 开始做纯 滚动 求 点在初瞬时的加速度 份 凡 图 算例示意图 解 在初瞬时 , 方向铅直 , 月 方向水平 , 过 点作 , 的垂线和过 点作 , 的垂线相 交于 , , 点 即两处公法线的交点 , 。 点即为初瞬时 杆的加速度 中心 圆柱 的加 速度中心为 点 因纯滚动 。 田 , 而初瞬时 。 由相对瞬时加速度 中心动量矩可得 对 杆 李旦广 “一 · 合 ‘ , 戈‘ ‘ ‘ , 。 对圆柱 二 , · 礼 戈‘ · 运动学关系式 月 ‘ 』 毛丫 ￡摊召 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 大 连 铁 道 学 院 学 报 第 卷 、 、 班 联立求解可得 口滩 如果应用质心运动定理和相对质心的动量矩定理 , 至少要列 个 动力学方程 再加上相 应的 个运动学关系式 , 计算显然 比以上要复杂 结 论 用 方程推证 出的刚体平面运动相 对瞬时速度 中心动量矩 定理具有和相 对定 点 轴 动量矩定理相 同的形式 , 且与用其它方法推证出的结论相 同 , 用来计算刚体平 面 运动状态的问题非常方便 , 但使用时要注意限制条件 本文用 方程推证出的刚体平面运动时相对瞬时加速度中心动量矩定理也具有 与相对定点 轴 动量矩定理相 同简单的形式 , 并且使用时没有任何 限制条件 , 只要瞬时 加速度中心确定 , 用来计算刚体平面运动状态的问题非常简单 参考文献 孙 国馄 分析力学 西安 二 西北工 业大学 , 薛志雄 用拉格 朗 日方程推证平面运动 刚体相 对瞬时速度 中心 的动量矩定理 力学与 实践 , 柳祖亭 关于平面运动 刚体动力学 中应用动量矩定理 时矩心选择的问题 力学与实践 , 邵韦循 平面运动刚体对加速度瞬心的动量矩方程及 应用 力学 与实践 , ’ ,