§22.2一元二次方程的解法

www.czsx.com.cn §22.2一元二次方程的解法 试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. （1）x2＝4； （2）x2－1＝0; 概　括 对于第（1）个方程，有这样的解法： 方程　　　　　　　　x2＝4， 意味着x是4的平方根，所以 , 即　　　　　　　　　　　　x= 2. 这种方法叫做直接开平方法. 对于第（2）个方程，有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得 （x－1）（x＋1）＝0， 必有　　　　　　　　　　　x－1＝0，或x＋1＝0, 分别解这两个一元一次方程，得 x1＝1，x2＝－1. 这种方法叫做因式分解法. 思　考 （1） 方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它 化成什么形式？ （2） 方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先 应将它化成什么形式？ 做一做　试用两种方法解方程 x2－900＝0. 例1 解下列方程： （1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0. 解（1）移项，得 x2＝2. 直接开平方，得 . 所以原方程的解是　　 ， . （2）移项，得 16x2＝25. 方程两边都除以16，得 x2＝ . 直接开平方，得 x＝ . 所以原方程的解是　 ，　 . 例2 解下列方程： （1）3x2＋2x=0； （2）x2＝3x. 解（1）方程左边分解因式，得 x(3x＋2)=0. 所以　　　　　 　x＝0，或3x＋2＝0. 原方程的解是　 　x1＝0，x2＝ . （2）原方程即 x2－3x=0. 方程左边分解因式，得 x(x－3)＝0. 所以　 x＝0，或x－3＝0, 原方程的解是　　 　 x1＝0，x2＝3. 练　习 1. 解下列方程： （1）x2＝169；　　　　　　　　（2）45－x2＝0；　 （3）12y2－25＝0； （4）x2－2x＝0； （5）（t－2）（t+1）=0； （6）x（x＋1）－5x＝0. 2. 小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？为什么？ 例3解下列方程： （1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0. 分　析　两个方程都可以转化为 2＝a 的形式，从而用直接开平方法求解. 解　（1）原方程可以变形为 （x＋1）2＝4， 直接开平方，得 x＋1＝±2. 所以原方程的解是　　x1＝1，x2＝－3. （3） 原方程可以变形为 ________________________， 有　　　　________________________. 所以原方程的解是　x1＝________，x2＝_________. 读一读 小张和小林一起解方程 x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0. 小张将方程左边分解因式，得 (3x＋2)(x－6)＝0, 所以 　　　　　　　　　　 3x＋2＝0,或x－6＝0. 方程的两个解为　　　　　　　x1＝ ，x2＝6. 小林的解法是这样的： 移项，得　　　　　　　　x(3x＋2)＝6(3x＋2), 方程两边都除以（3x+2），得 x＝6. 小林说:“我的方法多简便！”可另一个解x1＝ 哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？ 练　习 解下列方程： （1）（x＋2）2－16＝0； （2）(x－1)2－18＝0； （3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0. 例4解下列方程： （1） x2＋2x＝5； （2） x2－4x＋3＝0. 思　考 能否经过适当变形，将它们转化为 2＝a 的形式，应用直接开方法求解？ 解（1）原方程化为x2＋2x＋1＝6， _____________________, _____________________, _____________________. （2）原方程化为x2－4x＋4＝－3＋4 _____________________, _____________________, _____________________. 归　纳 上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 例5用配方法解下列方程： （1）x2－6x－7＝0；　　　　　（2）x2＋3x＋1＝0. 解（1）移项，得 x2－6x＝7. 方程左边配方，得 x2－2·x·3＋32＝7＋32， 即 （x－3）2＝16. 所以 x－3＝±4. 原方程的解是　　　　　　　x1＝7，x2＝－1. （2）移项，得 x2＋3x＝－1. 方程左边配方，得 x2＋2·x·＋（）2＝－1＋( )2， 即 （x＋）2＝ . 所以 x＋ ＝ . 原方程的解是： x1＝－ ＋ ，x2＝－ － ， 练习： 1.填空： （1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋ ）2； （2）x2－8x＋（ ）＝（x－ ）2； （3）x2＋ x＋（ ）＝（x＋ ）2； （4）4x2－6x＋（ ）＝4（x－ ）2＝（2x－ ）2. 2.用配方法解方程： （1）x2＋8x－2＝0 （2）x2－5 x－6＝0. 试一试 用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0). 思 考 如何用配方法解下列方程？ (1)4x2－12x－1＝0; (2)3x2＋2x－3＝0. 讨 论 请你和同桌讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？ 探 索 我们来讨论一般形式的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0). 因为a≠0，方程两边都除以a，得 x2＋ x＋ ＝0. 移项，得 x2＋ x＝－ ， 配方，得 x2＋2·x· ＋( )2＝( )2－ , 即 (x＋ ) 2＝ . 因为 a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得 x＋ ＝± . 所以 x＝- ± , 即 x＝ . 由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式： 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法. 例6　解下列方程: (1)2 x2＋x－6＝0； (2) x2＋4x＝2； (3)5x2－4x－12＝0； (4)4x2＋4x＋10＝1－8x. 解　(1)这里a＝2，b＝1，c＝-6， b2－4ac＝12－4×2×(-6) ＝1＋48＝49 所以x＝ ＝ ＝ ， 即原方程的解是 x1＝-2，x2＝ . (2)将方程化为一般式，得 x2＋4x－2＝0. 因为 b2－4ac＝24， 所以 x＝ ＝-2± . 原方程的解是 x1＝-2＋ ，x2＝-2－ . (3)因为 　　b2－4ac＝256， 所以 　　 x＝ ＝ ＝ 原方程的解是 x1＝- ，x2＝2. (4)整理，得 4x2－12x＋9＝0. 因为 　　　　　 b2－4ac＝0， 所以 　　　　　　　　　 x1＝x2＝- . 练 习 应用方程公式解方程： (1) x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6； (3)4x2－3x－1＝x－2； (4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1). 思　考 根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下. 应　用 现在我们来解决§22.1的问题1： x(x＋10) ＝900， x2＋10x－900＝0， x＝-5±5 ， x1＝－5－5 ，x2＝-5＋5 . 　　这两个都是所列方程的解，但负数根x1不符合题意，应舍去.所以符合题意的解是 x＝－5＋5 ≈25.4， x＋10≈35.4， 因此绿地的宽和长应分别约为25.4米和35.4米. 例7　如图22.2.1，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长. 分析　设截去正方形的边长x厘米之后，关键在于列出底面（图示虚线部分）长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式. 解　设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得 (60－2x) (40－2x) ＝800. 请同学们自己解一下这个方程，并讨论它的解是否符合题意. 在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答. 练　习 1. 学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸.经试验，彩纸面积为相片面积的 时较美观，求镶上彩纸条的宽.（精确到0.1厘米） 2. 竖直上抛物体的高度h和时间t 符合关系式h＝v0t－ gt2，其中重力加速g以10米/秒2计算.爆竹点烯后以初速度v0＝20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离地15米？ 例8　某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 思　考 原价和现在的价格都没有具体的数字，如何列方程？请同学们联系已有的知识讨论、交流. 解　设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得 (1－x) 2＝ 解这个方程，得 x＝ 由于降价的百分率不可能大于1，所以x＝ 不符合题意，因此符合本题要求的x为 ≈29.3%. 答：每次降价的百分率为29.3%. 练　习 1. 小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.（精确到0.1%） 2. 市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验，重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率. 习题22.2 1. 解下列方程 （1）2x2－6＝0；　　　（2）27＝4x2； （3）3x2＝4x；　　　　（4）x（x－1）＋3（x－1）＝0； （5）（x＋1）2＝2；　　（6）3（x－5）2＝2（5－x）. 2. 解下列方程 （1）（2x－1）2－1＝0；　　　　（2） （x＋3）2＝2； （3）x2＋2x－8＝0； 　　（4）3x2＝4x－1； （5）x（3x－2）－6x2＝0；　　（6）（2x－3）2＝x2. 3. 当x取何值时，能满足下列要求？ （1）3x2－6的值等于21； （2）3x2－6的值与x－2的值相等. 4. 用适当的方法解下列方程： （1）3x2－4x＝2x；　　　　　　（2） （x＋3）2＝1； （3）x2＋( ＋1)x＝0；　　　　（4）x（x－6）＝2（x－8）； （5）（x＋1）（x－1）＝ ；　（6）x（x＋8）＝16； （7）（x＋2）（x－5）＝1；　　　（8）（2x＋1）2＝2（2x＋1）. 5. 已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？ 6. 已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数. 7. 学校课外生物小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽.（精确到0.1米） （第7题） 8. 某商店二月份营业额为50万元，春节过后三月份下降了30%，四月份有回升，五月份又比四月份增加了5个百分点（即增加了5%），营业额达到48.3万元.求四、五两个月增长的百分率. 9. 学校准备在图馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚.一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏.请你设计，如何搭建较合适？ 阅读材料 一元二次方程根的判别式 我们在一元二次方程的配方过程中得到 （x＋ ）2＝ .　　　　　　　　　　　（1） 发现只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平方，得 . 也就是说，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac≥0时才有实数根. 观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： 1 当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 2 当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数要 x1＝x2＝ ； 3 当b2－4ac＜0时，方程没有实数根. 这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一个一 元二次方程是否有实数根，如对方程x2－x＋1＝0，可由b2－4ac＝1－4＜0直接判断它没有实数根；也可以先求出判别式的值，直接代入求解公式，使计算简便正确，如例4中的第（1）、（3）题；还可以应用判别式来确实方程中的待定系数，例如： m取什么值时，关于x的方程 2x2-(m＋2)x＋2m－2＝0 有两个相等的实数根？求出这时方程的根. x＝� EMBED Equation.3 ���( b2－4 ac≥0) PAGE - 1 - _1116787179.unknown _1148203176.unknown _1148711337.unknown _1148714544.unknown _1148714682.unknown _1148715495.unknown _1148715554.unknown _1148715845.unknown _1148715361.unknown _1148714579.unknown _1148712021.unknown _1148714088.unknown _1148711941.unknown _1148203483.unknown _1148204703.unknown _1148206710.unknown _1148203496.unknown _1148203410.unknown _1148203446.unknown _1148203381.unknown _1116788153.unknown _1116789222.unknown _1148202361.unknown _1148203150.unknown _1116789407.unknown _1148202234.unknown _1116789250.unknown _1116789406.unknown _1116789073.unknown _1116789154.unknown _1116788738.unknown _1116787786.unknown _1116787959.unknown _1116788002.unknown _1116787902.unknown _1116787673.unknown _1116787723.unknown _1116787448.unknown _1116784734.unknown _1116785010.unknown _1116787113.unknown _1116785355.unknown _1116785635.unknown _1116784788.unknown _1116784467.unknown _1116784611.unknown _1116784661.unknown _1116784673.unknown _1116784555.unknown _1116782537.unknown _1116782860.unknown _1116783144.unknown _1116784430.unknown _1116782871.unknown _1116782827.unknown _1116782248.unknown