直线与方程

直线与方程 知识要点： 直线的倾斜角与斜率 ⑴当直线 与 轴相交时，我们取 轴作为基准， 轴的正方向与直线 向上方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角。当直线 与 轴平行或重合时，我们它的倾斜角为 。如图一、图二所示。 ⑵斜率：直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母 示即 我们很容易得出倾斜角是 的直线没有斜率。 除此之外，如果已知直线上的两点 （当 时） 。 （注意：任意一条直线都有倾斜角，但倾斜角是 的直线没有斜率。） 到角公式 把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角，简称到角.tanθ=(k2-k1)/(1+k1·k2) 两条直线的平行与垂直的判定 ⑴对于两条不重合的直线 ，其斜率分别为 ，有： 请注意：若直线 可能重合时，我们得到 那么，拿来两条直线我们知道斜率相等后，怎样排出两条直线重合的情况呢？只需比较一下两条直线的截距即可，截距相等即为重合，截距不等即为平行。 这里要特别说明一种情况是两条直线没有斜率，那么这时两条直线均与 轴垂直，倾斜角是 ，从位置关系很容易得出两直线是平行的。 ⑵设两条直线的的斜率分别为 则 这里要特别的说明的是如果一条直线与 轴垂直，则这条直线没有斜率，与它垂直的直线应该与 轴平行，斜率为0。这种情况应该针对题目，仔细分析，也是很容易判断的。 直线方程的五种表示方式 （1）点斜式方程： 已知直线上一点和直线的斜率可以确定一条直线 基本形式： （2）斜截式方程： 已知直线的斜率和直线在 轴上的截距可以确定一条直线 基本形式： 我们把直线与 轴的交点 的横坐标 叫做直线在 轴上的截距； 我们把直线与 轴的交点 的纵坐标 叫做直线在 轴上的截距。 （3）截距式：若直线与 轴的截距为a；直线与 轴的截距b （4）两点式方程： 已知两点可以确定一条直线 基本形式： （思考：如果 那直线方程是什么呢？） （5）一般式方程： 基本形式： EMBED Equation.DSMT4 直线交点坐标与距离公式 ⑴直线的交点坐标 先判断直线位置关系，在平面内不平行（不重合）的两条直线一定有交点，其交点坐标就是联立两条直线方程解出的公共解。 ⑵距离公式 ①两点间距离公式： ②点 到直线 的距离公式： ③两条平行线的距离： I）已知 ，点 在 上，求点 到直线 的距离即为两平行直线的距离。 II）已知 （二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k的直线系： ，直线过定点 ； （ⅱ）过两条直线 ， 的交点的直线系方程为 （ 为参数），其中直线 不在直线系中。 （6）两直线平行与垂直 当 ， 时， ； 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点 相交 交点坐标即方程组 的一组解。 方程组无解 ； 方程组有无数解 EMBED Equation.3 与 重合 （10）两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 与直线相关的对称问题 ⑴几种基本对称：已知P(x,y) 点P关于x轴对称点坐标______点P关于y轴对称点坐标_____点P关于原点对称点坐标______点P关于x=y对称点坐标_________点P关于x=-y对称点坐标_________ 解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ⑵求线关于点对称直线： 例1：已知直线 ：2x+3y-1=0求该直线关于点B(1,7)的对称直线。 解： 所以设所求直线为 在 上任取一点 求A关于点B的对称点C坐标利用中点公式，解得对称点坐标为 而点C应该在所求直线上代入 满足方程解得b等于15所以 （注意线关于点对称直线斜率不变。） ⑶求点关于线的对称点： 例2：点P(2,1)求点P关于直线 的对称点坐标。 解：设所求点坐标为 因为 是点 关于直线的对称点，所以 又因为 即 = 1 \* GB3 ①并且线段 的中点应该在直线 上，将中点代入直线方程，中点坐标为 带入直线有 = 2 \* GB3 ②联立两式解得 ⑷求平行线间的对称问题：例：求直线 关于直线 的对称直线方程。 解：设所求直线为 设 为 与 间距离， 为 与所求直线间距离 或2（舍） 基础题： 1）直线 相互平行，则 的取值范围（ ） 2）若三点 共线，则 的值为___________。 3）已知两直线 试确定 的值，使 ① EMBED Equation.DSMT4 ② EMBED Equation.DSMT4 ③ EMBED Equation.DSMT4 且在 轴上的截距为 。 4）求经过点 ，并且在2个坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程。 能力提升 1）已知 ，在直线 和 上各找一点 ，使 的周长最小。 2）已知直线 ，证明直线 过定点； 3）已知定点 和直线 求证：不论 取何值，点 到直线的距离不大于 。 （分析）若直接运用点到直线的距离公式，将 到 的距离 化为关于 的函数，只需证明该函数的最大值是 ，若利用直线系方程，结合图形也可获证。 解：法一：由点到直线的距离公式，得 ， 法二：将原方程化为 当 ， 不再起作用，等式依然成立。 这时联立方程 解得交点 可知 由 可知命题成立。 二、圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 （1）方程 ，圆心 ，半径为r； （2）一般方程 当 时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为 当 时，表示一个点； 当 时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： （1）设直线 ，圆 ，圆心 到l的距离为 ，则有 ； ； （2）设直线 ，圆 ，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为 ，则有 ； ； 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式 去解直线与圆相切的问题，其中 表示切点坐标，r表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程： ①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 (课本命题)． ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆 ， 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当 时两圆外离，此时有公切线四条； 当 时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当 时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当 时，两圆内含； 当 时，为同心圆。 弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交与 、 两点， 则 弦长 例题：已知直线 与双曲线 交于A、B两点，求AB的弦长 解：设 由 得得 则有 得， 例1、基础训练：求以 为圆心，并且与直线 相切的圆的方程. 探究1：过坐标原点且与圆 相切的直线的方程为 探究2：已知直线 与圆 相切，则 的值为 . 练习巩固：求经过点 ，且与直线 和 都相切的圆的方程. 例2、基础训练：求直线 被圆 截得的弦 的长. 探究1：直线 截圆 得的劣弧所对的圆心角为 探究2：设直线 与圆 相交于 、 两点，且弦 的长为 ，则 . 练习巩固：已知圆 ，直线 . （1）求证：不论 取什么实数，直线 与圆 恒交于两点； （2）求直线 被圆 截得的弦长最小时 的方程. 例3、基础训练：已知直线 和圆 ，判断此直线与已知圆的位置关系. 探究1：直线 与圆 没有公共点，则 的取值范围是 探究2：若直线 与圆 有两个不同的交点，则 的取值范围是 . 练习巩固：若直线 与曲线 有且只有一个公共点，求实数 的取值范围. 解：∵曲线 表示半圆 ，∴利用数形结合法，可得实数 的取值范围是 或 . 例4、基础训练：判断圆 与圆 的位置关系，并画出图形. 探究1：圆 和圆 的位置关系是 若 ，则两圆相交. 探究2：若圆 与圆 相切，则实数 的取值集合是 . 解：∵圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，且两圆相切，∴ 或 ，∴ 或 ，解得 或 ，或 或 ，∴实数 的取值集合是 . 练习巩固：求与圆 外切于点 ，且半径为 的圆的方程. 例5、基础训练：已知点 ，点 在圆 上运动，求 的最大值和最小值. 探究1：圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是 探究2：已知 ， ，点 在圆 上运动，则 的最小值是 . 练习巩固：已知点 在圆 上运动. （1）求 的最大值与最小值；（2）求 的最大值与最小值. （2）设 ，则 表示直线 在 轴上的截距. 当该直线与圆相切时， 取得最大值与最小值. 例6、基础训练：已知点 与两个定点 ， 的距离的比为 ，求点 的轨迹方程. 探究1：已知两定点 ， ，如果动点 满足 ，则点 的轨迹所包围的面积等于 探究2：由动点 向圆 引两条切线 、 ，切点分别为 、 ， =600，则动点 的轨迹方程是 . 练习巩固：设 为两定点，动点 到 点的距离与到 点的距离的比为定值 ，求 点的轨迹. 解：设动点 的坐标为 .由 ，得 ， 化简得 . 当 时，化简得 ，整理得 ； 当 时，化简得 . 所以当 时， 点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆； 当 时， 点的轨迹是 轴. 例7、基础训练：已知线段 的端点 的坐标是（4，3），端点 在圆 上运动，求线段 的中点 的轨迹方程. 探究1：已知定点 ，点 在圆 上运动， 是线段 上的一点，且 ，则点 的轨迹方程是 探究2：已知定点 ，点 在圆 上运动， 的平分线交 于点 ，则点 的轨迹方程是 . 练习巩固：已知直线 与圆 相交于 、 两点，以 、 为邻边作平行四边形 ，求点 的轨迹方程. _1234568059.unknown _1234568162.unknown _1234568280.unknown _1234568338.unknown _1234568391.unknown _1234568407.unknown _1234568415.unknown _1234568435.unknown _1234568446.unknown _1234568448.unknown _1234568450.unknown _1369778273.unknown _1234568451.unknown _1234568449.unknown _1234568447.unknown _1234568444.unknown _1234568445.unknown _1234568436.unknown _1234568431.unknown _1234568433.unknown _1234568434.unknown _1234568432.unknown _1234568417.unknown _1234568430.unknown _1234568416.unknown _1234568411.unknown _1234568413.unknown _1234568414.unknown _1234568412.unknown _1234568409.unknown _1234568410.unknown _1234568408.unknown _1234568399.unknown _1234568403.unknown _1234568405.unknown _1234568406.unknown _1234568404.unknown 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_1234568307.unknown _1234568309.unknown _1234568314.unknown _1234568308.unknown _1234568305.unknown _1234568306.unknown _1234568304.unknown _1234568288.unknown _1234568292.unknown _1234568294.unknown _1234568295.unknown _1234568293.unknown _1234568290.unknown _1234568291.unknown _1234568289.unknown _1234568284.unknown _1234568286.unknown _1234568287.unknown _1234568285.unknown _1234568282.unknown _1234568283.unknown _1234568281.unknown _1234568218.unknown _1234568257.unknown _1234568265.unknown _1234568276.unknown _1234568278.unknown _1234568279.unknown _1234568277.unknown _1234568274.unknown _1234568275.unknown _1234568266.unknown _1234568261.unknown _1234568263.unknown _1234568264.unknown _1234568262.unknown _1234568259.unknown _1234568260.unknown _1234568258.unknown _1234568241.unknown _1234568249.unknown _1234568255.unknown _1234568256.unknown _1234568250.unknown _1234568243.unknown _1234568248.unknown _1234568242.unknown _1234568222.unknown _1234568239.unknown _1234568240.unknown _1234568223.unknown _1234568220.unknown _1234568221.unknown _1234568219.unknown _1234568191.unknown _1234568208.unknown _1234568212.unknown _1234568216.unknown _1234568217.unknown _1234568213.unknown _1234568210.unknown _1234568211.unknown _1234568209.unknown _1234568201.unknown _1234568203.unknown _1234568207.unknown _1234568202.unknown _1234568199.unknown _1234568200.unknown _1234568192.unknown _1234568170.unknown _1234568183.unknown _1234568185.unknown _1234568190.unknown _1234568184.unknown _1234568172.unknown _1234568173.unknown _1234568171.unknown _1234568166.unknown _1234568168.unknown _1234568169.unknown _1234568167.unknown _1234568164.unknown _1234568165.unknown _1234568163.unknown _1234568130.unknown _1234568146.unknown _1234568154.unknown _1234568158.unknown _1234568160.unknown _1234568161.unknown _1234568159.unknown _1234568156.unknown _1234568157.unknown _1234568155.unknown _1234568150.unknown _1234568152.unknown _1234568153.unknown _1234568151.unknown _1234568148.unknown 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