活用直线的方向向量

活用直线的方向向量 《数理化解题研究~2olo年第7期数学篇7 Y一2yoy+2),+2ph=0. 因为P,,P纵坐标是上式二次方程的两个根,由 韦达定理得YlY3=2yo+2ph为所求. 六,构造辅助方程 必需养成善于思维,联想的习惯,善于发现和捉 住与所求问题密切相关的知识,特别地联想到方程原 理,构造辅助方程.下例为构造辅助抛物线方程,简化 了解题过程和计算量. 题目求抛物线Y+4= 1(一 2)中,以(1,一2)为 中点的弦所在的直线方程. ||一 之/? 4一 图3 删 1 . )2 4Y4 ' 删一一2) 『),+4=l(一2), j{l 山东省烟台电子工业学校(265709)金少艳? 要学好数学必须善于思考,勤于探索,活学活 用,只有这样才能把数学公式,数学模型发挥得淋漓 尽致.本文,通过对直线的方向向量与直线斜率的关 系的学习,给同学们一点启示,希望能达到抛砖引玉 的效果. 一 ,直线的方向向量与直线的斜率的关系(一般 情况) 直线2的方向向量l,就是 与直线平行的非零向量.它与 直线f的斜率都是用来描述直 线相对于轴的倾斜程度的. 那么,它们之间有着什么样的 关系呢?如图1,直线的倾斜角 为,直线的斜率k=tana,直 // /V(, 一 /0 图1 线的方向向量是l'=(.,),根据任意角三角函数 的定义,显然有tan=v_L. 于是我们可得出结论: 1 (1)若已知直线的方向向量,'=(,:),则可 知其斜率k=一1)2; (2)若已知',=(口,tJ)(/3,?0)是直线的一个 方向向量,则?(,:)=(1,k)也是该直线的一个1 方向向量. 有了这样的结论,我们就可轻松地由直线的点向 式方程推出直线的点斜式方程. 法一由点向式方程:,得 I)1u2 : ,即k:, 口l一X0—Xo 从而得直线的点斜式方程为Y—Y.=k(x—.). 法二直线的斜率为.]},则它的一个方向向量为 l,=(1,.j}). 由点向式方程(一.)一(Y—y0)=0得 后(—.)一(Y—y0)=0, 从而得直线的点斜式方程为Y—Yo=k(一.). 二,直线的方向向量与直线斜率关系的运用 1.点到直线的距离公式的推导(只分析一般情 况) 山东省新编中职数学规划教材的第二册,在推导 点P0(0,Yo)到直线A+),+C=0的距离公式时, 8数学篇《数理化解题研究~2010年第7期 都用到了直线的法向量.这一思维方式有些发散,可 能会给同学们的学习带来一定的困惑.普通高中数学 教材中则采用了勾股定理与面积公式.在此,我们从 传统的思维方式人手,利用直线的方向向量与直线斜 率的关系给同学们一种简单的,容易理解和掌握的推 导方法. 思路:求距离问题,传统 的作法是通过直角三角形来 解决.因此,我们可以构造一 个直角三角形P.MN(如图 2),在直角三角形中,点P. 到直线Z的距离d=JPnJ sin(x.IP.Ml的值较易求出, 对于sina的值,我们可以利 J /,P.1x1? /oj 图2 用直线z的方向向量与.所在直线的方向向量的 内积求出cos,再利用同角三角函数的基本关系求 出sino~. 根据上面的思路,下面给出推导过程. 过点P.作直线f的垂线,垂足为?,过P.作轴 的平行线,交直线f于点,点P.到直线f的距离d = fPoNf=IPOisinff.下面我们分别求出fPoMI 与sinc~. (1)由于P两点的纵坐标相等,把Y=Yo代 人直线2的方程中得: +By.+C:0,解得:一, 所以,点坐标为(一,y0). 因此,JPoMI:lX0+芒{ I A0+B),0+C, ———了一.. (2)如图3,取直线f的 一 个方向向量l,=(1,k),其 中后=一告,取所在直 线的一个方向向量:(1, 0),由向量内积的坐标运算 得: J , x/(1 / /O !:!一! l,lll2I ,, ' 图3 所以,i:_. ?l+k' 把七=一号代人上式中,得 .IkIlAl slntx=_=====——====:==. ~/14-,,//l4-B 所以,d=JPoNI=IPoMIsinc~ = t?× 一兰?皇?1 04-B一—————-———一? 这就是点到直线的距离公式. 2.两直线的夹角问题 两条直线相交,构成两对对 顶角,把其中不大于直角的角叫 做两条直线的夹角.有了直线的 方向向量与直线斜率的关系,通 过两条直线的方向向量的内积来 推导两条直线的夹角更为便捷. 如图4,两条直线的夹角或者等 ,. / t D| 图4 于它们的方向向量',l=(1,k1)与2=(1,2)的夹 角,或者与两方向向量的夹角互补.由向量内积的坐 标运算,得 coscos, (1)把:一,=一叁,代人上式可得夹角 公式: IA1A2+B1B2l .疆, (2)根据sin0+COS0=1可得 I一k.I sin0:——:===兰:——兰=:::==. ?1+k,/1+k 又,an=,于是,,an-I?焘f.这就是 两条直线的夹角公式. 对于一些简单的问题,我们也不一定非用公式, 可直接利用直线方向向量与直线斜率的关系解题. 例题求直线一2y—l=0与Y轴所在直线 夹角0的余弦值. 解直线一2y一1=0的一个方向向量l,= 《数理化解题研究))2010年第7期数学篇9 (1,1),y轴所在直线的一个方向向量l,z=(O,1) 所伽= (1,1)'(0,1) ?…1)5 以上我们以直线的方向向量与直线的斜率之间 的关系,结合向量内积的坐标运算举了几个例子.当 然,它的应用还远不止这些.我们只想以此为例,提醒 同学们学习数学要活学活用,多加思考,纵横联系,只 有这样才能把数学学好,也才能真正体会到学习数学 的乐趣. 江苏省运河中学高中北校(221300)顾亚东? 俗话说:简单问题复杂化,吃力不讨好;复杂问 题简单化,巧妙求创造.在解答数学填空题时,许多同 学经常将简单问题复杂化.其实若能开阔视野,换个 角度,别出心裁,往往可取得出奇制胜的效果.下面就 部分2009高考试题或模拟题,进行解析,希望对同学 们的思维具有一定的启发. 一 ,依次枚举 例1(2009年江苏联考)每个大于1的整数rt, 的三次幂n.,都可将它拆分成n个奇数的和,如:2.= 8=3+5,3.=27=7+9+11, 4.=64=13+l5 +17+l9,若在n的拆分中含有159,则n的值为 解析依题意,知5.=125=21+23+25+27 +29,虽然可以探寻出凡拆分成的n个奇数和的组成 规律,但费时费力,难度较大,不如用枚举法.如6.= 6×36:型::3l+33 +35+37+39+4l,…当枚举到13.时,发现13= 13×l3z:13×?:堡:157 二Z +159+…+179+181,贝0知n:13. 点评小题不宜大解,倘若依次枚举,可快速发 现规律,"笨中含巧",事半功倍. 二,回归定义 例2(2009年江苏联考))已知0(0,0),A(3, 4),P(,Y),其中,Y满足约束条件 r+Y一3?0, {—一1?o,则lOPIcos/_AOP的最大值为 L一1?0, —————— ? 解析由结果联想数量积的定义: OA?OP:IOAI10PICOS/AOP. ._?OA?0P3+4得IOPI COS/___AOP=——=. ) l4l 由约束条件得如图1所示 的可行域,令z=3x+4),,则由 线性规划知识,知当直线f:t= 3+4y过点(1,2)时,z有最大 11 值11,故所求最大值为 例3(2009年湖北)已知 函数厂()=(qT)COSX+ .r sinx,则,(孚)的值为——. Jl . (1_2). 1:0 一 0/\\/:=lx+y-30 图1 解析本题的关键是由导函数定义得厂(手) 是一个常数.求导得: ,)=一厂(手)sinx+COSX 所以厂(孑)=一厂(-Z-).sin寻+c.s'IT,