利用向量求夹角与距离

利用向量求夹角与距离 在高中新教材的教学实践中，我们知道，利用向量这一工具在解决诸如两点间的距离、两条直线所成的角等有关问题时确实很方便.但在求直线与平面、平面与平面所成的角，点到平面的距离、异面直线间的距离等问题时却不那么方便了.因此，教材中对这些问题采用了几何法与向量法并举的方式进行处理.实际上，只要充分利用平面的法向量，这些问题便会迎刃而解.下面简单谈一谈如何利用平面的法向量来求直线与平面、平面与平面所成的角以及点到平面的距离、异面直线间的距离等有关问题. 法则一 如果与直线l共线的非零向量与平面,的法向量所成的角为,，那么直线l与平 0面,所成的角则为|90-,|. 00000若0?,<90，则直线l与平面,所成的角为90-,;若90?,?180，则直线l与平面, 00所成的角为,-90.这是因为直线与平面所成的角的范围是[0，90]. 例1、 如图1，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=AA=2，点D是CC的中点，求AA与平面111111ABD所成的角的大小. 1z 解:如图1建立直角坐标系，则 AB,(3,1,2),1 AC11 B 1，设平面ABD的法向量， AD,(0,2,1)n,(x,y,z)1D 由，得 ? AB,nAB,n,3x，y，2z,011A C y x B AD,n由，得 ? AD,n,2y，z,0 ( 图1 ) 令y=1，由?、?联立解得 x,3,z,,2,？n,(3,1,,2) ,4200?故AA与平面ABD所成的角为45. cos,AA,n,,,,,,AA,n,,135,1111228 法则二 如果二面角,-l -,中,、,的法向量所成的角为,，那么二面角,-l -,的大小则为 00,或180-,.(取,还是180-,，要视问题中的二面角是“钝角”，还是“锐角”而定) 例2、在例1的条件下，求平面ABD与平面ABC所成的角的大小. 1 : 仿例1求得平面ABD的法向量，平面ABC的法向量为， n,(3,1,,2)k,(0,0,1)1 ,220，又平面ABD与平面ABC所成的角显然为锐？cos,n,k,,,,,？,n,k,,135128D, C, 0角，所以平面ABD与平面ABC所成的角为45.解答略. 1A, B, 练习:如图2，在正方体AC,中，点E是棱AD的中点，求 (1)直线CB,与平面EBD,所成的角的大小; D (2)平面ABD,与平面EBD,所成的角的大小. C E 00(:(1)60;(2)30) B A ( 图2 ) 从以上两例可以看出，求线面角(或面面角)实质上是转化为 求直线所在的向量(或平面的法向量)与平面的法向量的所成的线线角，这就避免了作直线在平面上的射影(或二面角的平面角)等辅助图形.关于线面(或面面)的平行与垂直的判定问题也可以转化为直线所在的向量(或平面的法向量)与平面的法向量的垂直与平行(或 1 平行与垂直)问题.从而可以转化为向量的计算问题.例如: 例3、在例1的条件下，求证:平面ABD,平面AAB. 11 证明:仿例1求得平面AAB及平面ABD的法向量分别为、，11p,(1,,3,0)n,(3,1,,2) ??平面ABD,平面AAB. ？p,n,0,p,n,11 AB我们知道，向量在轴l上的射影为 AB,e(其中e为轴l上的单位向量).若平面, ，从而有 是经过点B且与轴l垂直的平面，显然点A到平面,的距离为|AB,e| n法则三 如果平面,的法向量为，点B是平面,上的任一点，则点A到平面,的距离 z nn.(注:其中是平面,的单位法向量) d,|,AB|C, D, |n||n| A, B, 例4、如图3，在棱长为1的正方体AC,中，点E是棱 AD的中点，求点A,到平面BD,E的距离. D C 解:如图建立直角坐标系.则点A,(1,0,1)，易求得 y E A B ,,平面BD,E的法向量为，. n,(2,,1,1)DA,(1,0,0)x ( 图3 ) n126,,,,所以，点Ad,|,DA|,|n,AD|,,,到平面BD,E的距离. 36|n||n| ,,,,DABA、EA注:在具体计算中，也可将换成等，其结果一样.用法则三求点到平面的距离时，无需作点与平面的垂线段(通常这是比较麻烦的)，因此，显得十分简便. 2练习 在例1的条件下，求点B到平面ABD的距离. (答案:) 1 例5、如图4，直三棱柱ABC—ABC中，底面是等腰直角三角形，?ACB=90?，侧棱AA=2， 1111D、E分别是CC与AB的中点，点E在平面ABD上的射影是?ABD的重心G. 11 (?)求AB与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值示); 1 (?)求点A到平面AED的距离.(2003年高考题(天津卷)) 1 解:(1)连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即?ABG是AB与平面ABD所成的角. 11 如图4所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a， z 则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)， C 1 2a2a1,,A(2a，0，2)，E(a，a，1)，G(). 1A B 11333 aa2D ？GE,(,,),BD,(0,,2a,1)， E 333 G 222？GE,BD,,a，,0，解得a=1. C(O) 33A B 241x (图4) y ？BA,(2,,2,2),BG,(,,,), 1333 2 7BA,BG1437/1arccos.AB与平面ABD所成角是. 1？cos，ABG,,,1313|BA||BG|12321,3 (2) 由(1)有A(2，0，0)，A(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)，则 1 设平面ADE的法向量为，则 AD,(,2,0,1),AE,(,1,1,1),n,(x,y,z) ， AD,n,,2x，z,0,AE,n,,x，y，z,0,令y,1,解得x,,1,z,,2?，所以点A到平面AED的距离 n,(,1,1,,2)1 n(0,0,2)(1,1,2)26,,,,d|AA|||,,,,. 12223|n|(1)(2)1,，,， 26练习:在例5中，求点A到平面ABD的距离.(答案:) 13 n法则四 如果点A、B分别是异面直线a、b上的任一点，非零向量与直线a、b都垂 n直，则异面直线a、b间的距离. d,|,AB| |n| 设直线b,是与直线a平行且与直线b相交的直线，相交直线a、b,所确定的平面记作,， n则点A到平面,的距离就是异面直线a、b间的距离.因为非零向量与直线a、b都垂直， nn所以向量是平面,的一个法向量，由法则三可知，点A到平面,的距离为d,|,AB|， |n| 从而我们得到了求异面直线a、b间的距离的一种方法——法则四. z 例6、 如图5，正方体AC,的棱长为1，求异面直线 C, D, AD,、BD间的距离. A, B, ,解:设， AD,(,1,0,1),DB,(1,1,0),n,(x,y,z) D C ,,AD,nBD,nAD,n且，，由可得-x+z=0 ?; y A B x BD,n由可得y+z=0 ?令z=1由?、?联立解得x=1， ( 图5 ) ,y=-1.?.又D?BD, D,?AD,且所以异面直线AD,、BD间的距离n,(1,,1,1)DD,(0,0,1), n113,,d,|,DD|,|n,DD|,,. 33|n||n| 利用法则四，因为不需要作任何辅助图形，便求出了异面直线间的距离，所以，显得十 分简便. 3 练习 在例1中求异面直线AB、CC间的距离. (答案:3) 11 以上数例的图形都是“直”的，都可以通过建立空间直角坐标系，将求夹角与距离的问题转化为向量的坐标的计算问题.我们再来看一个图形是“斜”的，即问题中的有关向量不便于用坐标表示，又如何求夹角与距离呢, 0例7(如图6，已知二面角,-l -,的大小为120，点A,,， , B,,，AC,l 于点C，BD,l 于点D，且AC=CD=DB=1.求: (1)A、B两点间的距离; l , (2)AB与CD所成角的大小; B D (3)AB与CD的距离. A 解:设则 AC,a,CD,b,DB,c,C 00 |a|,|b|,|c|,1,,a,b,,,b,c,,90,,a,c,,60,( 图6 ) 2222，，？|AB|,a，b，c,a，b，c，2a,b，，2b,c，2c,a,2(1)， ？ A、B两点间的距离为2. 2ABCD(abc)bb1,，，,cosAB,CD,,,,,,(2)， 212，|AB||CD||abc||b|,，，, 0？AB与CD所成角为60为. (3)设与AB、CD都垂直的非零向量为， n,xa，yb，zc n,AB由得?; (xa，yb，zc),(a，b，c),0,3x，2y，3z,0 n,CD由得?， (xa，yb，zc),b,0,y,0 n,a,c令x=1，则由?、?可得z=-1，？，由法则四可知，AB与CD的距离为 n|nAC||(ac)a|1,,,. d,|,AC|,,,22|n||n|，，ac, 此例说明了，对于图形是“斜”的，求夹角与距离的问题，虽然不便于建立空间直角坐标系，同样也可以利用平面的法向量转化为向量的计算问题. 以上数例说明了，利用平面的法向量，都可以将上述提到的求夹角与距离的问题，转化为向量的计算问题，避免了作繁杂的辅助图形，因而显得十分简便，并且计算方法程序化，具有可操作性，而所用的知识并没有超出课本的要求. 根据教学实践，上述方法深受学生欢迎.但有一点要值得注意，上述方法思路虽然简便，但对于有些问题的计算量可能较大，尤其是求平面的法向量，还是要注意向量法与几何法的灵活使用.有些问题尤其是当需要作的辅助线比较明显时，可能用几何法更加简便，这时可以考虑用几何法，要注意发挥各自的长处，二者要注意兼顾，不要一味的为向量法而向量法.但根据教材的改革方向，还是要以向量法为主，几何法为辅，这个大方向一定要把握好. 4