待定系数法分解因式

待定系数法分解因式 待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解 决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中， 认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。 　　将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。 然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便 可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定 系数法。 　　本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 　　这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行 因式分解时的方法，步骤，技巧等。 　　??例1 分解因式 思路1 因为 所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等， 求出m, n,的值。 解法1因为所以可设 比较系数，得 　　由?、?解得把代入?式也成立。 　　? 　　思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。 　　解法2 因为所以可设 　　　　　　　 　　因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令 得 令得 　　解?、?得或 　　把它们分别代入恒等式检验，得 　　? 　　说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方 程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程 组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 　　 　　??例2 分解因式 　　思路 本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式 之积。 　　解 设 　　　　　 　　　　　 　　　由恒等式性质有： 　　由?、?解得代入?中，?式成立。 　　? 　　说明 若设原式 　　由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式 ???例3 在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值 为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。 思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可 考虑利用恒待式的性质。 解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得　　　　　　　　　　　　解得 　　故所求的二次三项为 　　思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为 然后再求出a的值。 　　解法2 由已知条件知当时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二次三项式为 　　把代入上式，得 　　解得 　　故所求的二次三项式为即　　说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。 ????例4 已知多项式的系数都是整数。若是奇数，证 明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。 　　思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其 他知识推出这种分解是不可能的。 　　证明：设 （m,n,r都是整数）。　　比较系数，得 　　 　　因为是奇数，则与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。 在?式中令，得?　　由是奇数，得是奇数。而m为奇数，故是偶数，所 以是偶数。这样?的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。 　　因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。 　　说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。 ????例5 已知能被整除，求证： 　　思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。　　证明：设展开，比较系数，得　　由?、?，得， 　　代入?、?得：， 　　? ???例6若a是自然数，且的值是一个质数，求这个质数。 　　思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。进而解决问题。 　　解：由待定系数法可解得 　　 　　 　　由于a是自然数，且 是一个质数， 　　? 　　解得 　　当时，不是质数。 　　当 时，是质数。 　　?=11 . ???1、分解因式_______. ???2、若多项式能被 整除，则n=_______. ??3、二次三项式当 时其值为-3，当 时其值为2，当 时其值为5 ，这个二次三项式是_______. ??4、m, n是什么数时，多项式能被整除？???5、多项式 能分解为两个一次因式的积，则 k=_____. ???6、若多项式 能被整除，则_______. ??7、若多项式当2 时的值均为0，则当x=_____时，多项式的值也是0。 ???8、求证：不能分解为两个一次因式的积。 1. 　　提示：设原式　　 　　比较两边系数，得 　　　　　　　　　　　　 　　由?、?解得 　　将 代入?式成立。 　　?原式 　　2、-4。提示：设原式 　　　　　　= 　　比较系数，得 　　　　　　　　　　　 　　由?、?解得 　　代入?得 　　3、 　　提示：设二次三项式为　　把已知条件代入，得 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　解得 　　?所求二次三项式为 　　4. 　　设 　　　 　　比较系数，得 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 解得 　　?当m=-11，n=4已知多项式能被整除。 　　5.-2　　提示：设原式　　　　　　　　. 　　比较系数，得 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 解得 　　6.-7 　　提示：设原式 　　　　　　　　 　　比较系数，得 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　解得 　　? 　　7.3. 　　提示：设原式 　　　　　　　　 　　比较系数，得 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　解得c=3. 　　?当x=3时，多项式的值也是0. 　　8.设原式且展开后比较系数，得 +=2mn1:　　　　　　　　 , ?=3mn14, ,=mn15: 　　由?、?得代入?，再由?、?得将上述入?得 .DocIn而这与?矛盾，即方程组无解。故命题得证。豆丁网（）是 C2C全球优秀的文档销售与分享社区。 .pdf, .doc, .ppt, .txt 　　豆丁允许用户上传包括 在内的数十种格式的文档文件， Flash Player并以的形式在网页中直接展示给读者。简而言之，豆丁就如同文档 Youtube版的。现在每天都有数以万计的文档会上传到豆丁，正基于此，豆丁将致力构建全球最大的中文图书馆。 豆丁努力使世界上任何人都能够自由地发挥他们的创造力。文档资料只通过少数、单一的出版物来传播的时代已经结束。现在，互联网给文档资料提供了世界范围 内的传播渠道，豆丁希望能够给每个独立的文档持有者利用这个新机会的方法。现，在我们为原创人群提供安全、自由、民主、便利的文档发布与营销平台。借助豆丁，你可以为你的文档定价，并通过豆丁发表到不同博客、论坛、联盟中，进行广泛传播，在分享的同时获得收入回报。 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。