关于广义特征值的注记

关于广义特征值的注记 l年8月 第2卷燕3期 安庆师范学院(自煞科学It) JournalorAnqin~NormalCollege(Nal~ralScience> ^u口.1996 vOI.2No.3- 6—关于广义特征值的注记 牛应轩 (六安师专) /-27 擅要在什么条件下.广义特征值为实数?[1]在xn中给出了一个充分条件.[2]在一定 条件下给出了广璺特征值 的估计车文在下给出广义特征值为实数的几千充分条件.并且在命题1和命题2 中还给出广义特征值的估计. 美蝴 .翌!,Hermite~[EF正定'半正定矩阵 以下为方便,记A美于B的广义特征值为;矩 阵M的特征值记为(M);n阶Hermite方阵的全体 记为H;而A>0(?0)示AEH且A为正定f半正 定),其它符号采用文[3]中的符号. 定义:设矩阵A,B?.如果有?C及O?X ?Un使AX—kBX.剐称为A关于B的广义特征 值. 命题l:设A,B?H,且B>O,捌为实数.若记 A关于B的D个广义特征值为t,,……,且满 足??…?.又(A)?一?(A),t(B)? … ?Xn(B).贝ll有: (1)当(A)?0时,?(A)1(B) (2)当(A)<0射,?(^)'(B) (3)当(A)/>0时.?(A)(B) 4当(A)<O时,?(A)(B) (i=1.2,….n) :由AX=X及B>0得(B一言AB一吉) (B一古X)=(B幸x).故为B一吉AB_{的特征值,叉 A?H.. ^B一{AB叶?H-.-^为实数. 又'(A)L—A?0.B叶((A)L—A) B-}?.0 郧(A)B一B一言AB一吉?O由特征值的 单调性知,(见n]) ?收稿日期:1996年4,q15日 错但伍估计 =(B言AB一吉)?((A)B), ^当(A)?0时.(l(A)B叫)(A) (B_.)篇(A)!.+】(B) 当(A)<0时,O.1(A)B)=(A),.+j (B一)=(A)^『(B) 当(A)?O时,?(A)…'B) 当(A)<0时,?I(A)(B)(i=1.2, … ,n).--命题1中(1),(2)成立 注意到A—(A)l?0与上同理可证得(3), ")两个不等式成立. 命题2:设A,BEH,且B?O,A>0则为非零 实数.并有: (1)当(B)<0耐,k一.+]?(B)(A)' (2)当^-(B)>0时,一…?.(B)k一.+I(A) (i=l,2,…,n) 证明:如果=o,那么有0?x?U使AX罟0. 但A>OX兰O矛盾.?0 1111 AX=kBX=>BX暑?AX=(A一言BA一言)(A寺X)^ = ?(A{x)?为A一{BA,?的非零特征值. ---为非零实数. 又当A一}BA}没有零特缸值对,其n个特征 值的倒数为A关于B的1"1个广义特征值. 第3期牛应轩:关于广义特征值的往记'63' A一?BA一?没有零特征值目B没有零特征值目 B可逆. (1)当.(B)<O时.B为负定阵因而可逆,由命 题l知.[下I一 - . ?(B)(A)ET'J表示?接降序 排列第i个. 又...[?]l:且<o . k一1?(B)(A) (j一1.2,…,n) 同理可证(2). 往l:命题2中B?O是必要的,否则易证不存 在. 注3:在上述两个命题中,正定矩阵的作用不可 忽视.若A,BEH,未必有为实效. 一 .j:】 aetcA—B一det (一.J一一— --.A关于B的两个广义特征值为2f(一一1) 我们有下面几个结论; 命题3:设A,BEH,A?O.B可逆.则为实数. 证明:由AXXBX:=>BAX一一^(B A),又B--A与A#B一?A}有相同的特征值,而A告 B_.A?H.为实数. 命题4:设,BEHtB?O,B?0,A可逆则为 非零实数. 证明:AX一Bx及A可逆,B?0^存在且非 零;A一Bx?x寺?为A一.B的非零特征值同 理命题3的证法知.为实效且非零. 命题5:设A,BEH.B可逆且AB=BA,则^为 实数. 证明:...ABEH且AB=BA . 存在酉矩阵U使: ItI1 U一?AU:I.I I?I n ' 『t】il U一?BU=l..j(见[3])' 』 其中u1,,….u和tt,….t分别为B,A的n个 特征值.'.det(A一B):上l'—) 又B可逆m?0(i=l,2,…,n) _..x为实最且为昔,tL:,…,. 命题6;设A,B?H,A可逆,B?o且AB:BA 则^为非零实数. 证明A可逆及AX=XBX ^^?0且A-.B)(#?X . ?为A_.B的非零特征值.又AB#BAA_. B#BA_.A叫B?H而B?0^A_.B有非零特征 值.为非零实数 往3:若将命题5与6中的条件A,B?H改为A, B均为反Hermfit阵,贝9可得类似结论. 命题7设A,B?}壬,ABBA,B?0且A,B的零 特征值对应的特征向量不同,则^为实效. 证明:由命题5的证法知.A,B的零特征值对 应的特征向量不同,Ul与(i—I,2,…,n)不同时 为0,因此为实效. 命题8:设A,B?cn.AB=BA,AB的特征值 均为实效,且B的特征值不全为0.则为实效. 证明:AB嚣BA...存在酉阵u使U,AU. UBU分别为上三角形矩阵郎: ft1\ U一Au=ln.lU一'BU=l' fu1{ -.j(见[3])' .J 从而t1.ui(j#1,2,…n)为实数且与不同 又ui不全为o(1.2,…n)?为实效. 往4:在命题6,7,8中,的个数未必有n个. 例2:A=diag(1?一2,3),B=di~g(0Iv广01) det(A一j)一2(+3).只有一个值一3. 事实上易证,的个数为rank(B). . 参考文献 (1]倪国熙缠,常用的矩阵理论和方法,上海,上海科 学技术出版社,1984. (2]刘裔宏,关于广义特征值估计的一个Ger— schgor[n型定理,工科数学,1994(1)P (3]李养,矩阵论八讲,上海,上海科学技术出版社, 1g88