【2017年整理】求不定积分的方法及技巧小汇总

【2017年整理】求不定积分的及技巧小汇总 求不定积分的方法及技巧小汇总~ 1.利用基本。(这就不多说了~) 2.第一类换元法。(凑微分) 设f(μ)具有原函数F(μ)。则 f,[(x)],,'(x)dx,f[,(x)]d,(x),F[,(x)]，C,, 其中可微。 ,(x) 用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2: ln(x，1),lnx例1: dx,x(x，1) 111【解】 (ln(x，1),lnx)',,,,x，1xx(x，1) ln(x，1),lnx12dx,,(ln(x，1),lnx)d(ln(x，1),lnx),,(ln(x，1),lnx)，C,,x(x，1)2 1ln，x例2: dx2,(ln)xx 【解】 (xlnx)',1，lnx 1lnln1，xdxx dx,,,，C22,,(1)(ln)lnxx，xxxx 3.第二类换元法: 设是单调、可导的函数，并且具有原函数，,'(t),0.又设f[,(t)],'(t)x,,(t) 则有换元公式 f(x)dx,f[,(t)],'(t)dt ,, 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种: 22(1)a,x:x,asint;x,acost 22(2)x，a:x,atant;x,acott;x,asht 22(3)x,a:x,asect;x,acsct;x,acht nnax，b:ax，b,t(4) ax，bax，bnn :,t(5)cx，dcx，d 1m2当被积函数含有x,ax，bx，c，有时倒代换x,也奏效。(6)t4.分部积分法. 公式: ,d,,,,,,d,,, 分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成 不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑: ,、, (1)降低多项式部分的系数 (2)简化被积函数的类型 举两个例子吧~～ 3,arccosxx例3: dx,21,x 【解】观察被积函数，选取变换,则 t,arccosx 33xarccosxcost3 dx,t(,sint)dt,,tcostdt,,,,2sint1,x 123t(sint,1)dsint,td(sint,sint),,,3 1133tsin,tsint,(sint,sint)dt,,33 1132 tsin,tsint，(sint,1)dcost,,33 12133tsin,tsint,cost,cost，C,339 121322,x,x,(x，2)1,xarccosx，C933 2arcsinxdx例4: , 【解】 122arcsinxdx,xsinx,x2arcsinxdx,,21,x 2xarcsinx，2arcsinxd1,x,, 222xarcsinx，21,xarcsinx,1,xdx, ,21,x 2xarcsinx，21,xarcsinx,2x，C 上面的例3，降低了多项式系数;例4，简化了被积函数的类型。 有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。 在中，的选取有下面简单的规律: ,d,,,,,,d,,、,,, ax,,(1)P(x)，e,sinax,cosax,,m ,,(2)lnx,arctanx,arcsinx，P(x),,m ax,,,,(3)e，cosx,sinx,, (3)会出现循环，注意,，,选取的函数不能改变。 将以上规律化成一个图就是: (lnx (a^x arcsinx) sinx) Pm(x ) μ ν 但是，当时，是无法求解的。 ,,lnx，,,arcsinx 对于(3)情况，有两个通用公式: axeaxI,esinbx,dx,(asinbx,bcosbx)，C122,a，b ax eaxI,ecosbx,dx,(acosbx，bsinbx)，C222,a，b (分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分) 5.几种特殊类型函数的积分。 (1)有理函数的积分 P(x)P*(x)P*(x)有理函数先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干Q(x)Q(x)Q(x) dxI,个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现n22n,(a，x) 2,3xn,，时，记得用递推公式:II) nn,1222n,122(,1)(，)2(,1)anxaan 642，,4,2xxx例5:dx 322,(，1)xx 6426422xx4x2xx4x2，,,，，x4x，2,【解】,,, 3223223222322x(x1)x(x1)x(x1)x，1x(x，1)，，， x12dx,ln(x，1)，C2,x，12 2224x，24x，22x，122dx,xdx,dx,,x322422422,,,x(x，1)x(x，1)x(x，1) 22,,,21(1)，，,,,d,d,2222,,,,,,(1)(1)，， 11111,(),d,,，C,,，C2222,,(,1),1,(1)，，xx，故不定积分求得。 (2)三角函数有理式的积分 x,2tan,2xsin,,x2,1，tan,2万能公式: ,x2,1,tan2,cosx,,x21，tan,2, P(sinx,cosx)x的积分，但由于计算较烦，dx可用变换t,tan化为有理函数,Q(sinx,cosx)2 应尽量避免。 sinxcosx或对于只含有tanx(或cotx)的分式，必化成。再用待定系数 cosxsinxA(acosx，bsinx)，B(acos'x，bsin'x)来做。(注:没举例并不代不重要~) acosx，bsinx (3)简单无理函数的积分(变量替换) 一般用第二类换元法中的那些变换形式。 2x和1，xx,tant像一些简单的，应灵活运用。如:同时出现时，可令; 22x和1,xx,sint1,x和arcsinx同时出现时，可令;同时出现时，可令 21,x和arccosxx=sint;同时出现时，可令x=cost等等。