直线的方向向量与平面的法向量

直线的方向向量与平面的法向量 第七课时 直线的方向向量与平面的法向量 1. 掌握平面的法向量的概念及性质,理解平面的向量示,掌握直线与平面垂直的判定定理,能够由条件证明直线与平面垂直. 2. 理解掌握两个平面平行或垂直的条件,能够利用向量的平行或垂直的条件证明两个平 面平行或垂直 平面法向量的概念; 平面法向量的理解及灵活应用. 1.直线的方向向量:把直线ee上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量. ll2.平面法向量的概念 如果表示非零向量,nn的有向线段所在的直线垂直于平面,那么称向量垂直于平 面,,n,,n,记作.此时,我们把向量叫做平面的法向量. (1) 平面的一个法向量垂直于与平面,共面的所有向量; (2) 一个平面的所有法向量平行. 3.平面法向量的表示式 A是空间任一点, AM,,n0n为空间任一非零向量,则表示通过空间内一点A并且 与一个向量n垂直的平面. (1) 满足AM,,n0n的点M的轨迹是一个与向量垂直的平面. (2) 若,,分别是平面的法向量,则或与重合 ,,,,,//,nn,nn//1212 . ,,,,,,nnnn,,01212 1.已知,则平面ABC的一个法向量是 ; ABC(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0) 这个法向量的单位向量是 ; 第 1 页 共 3 页 ,,2.平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,则平面与平,v,(1,2,1)v,,(3,4,2)12 面的位置关系是 ; , 3.已知向量OA,(1,1,1)OA与平行的单位向量e是 ; 4.空间直角坐标系中,设平面,,eABC,(,,)Pxyz(,,)经过点,平面的法向量为, 000 ,是平面内任意一点,则满足的关系式为 . Mxyz(,,)xyz,, 原点O在平面,,上的射影为,则平面的方程为 . P(2,9,6), 例1已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,ABAFM,,2,1,是线 段EF的中点.求证: E(1)平面BDE; AM// (2)平面BDF. AM,M FC B DA 第 2 页 共 3 页 例2如图,点E为矩形ABCD所在平面外一点,且平面ABCD.已知?是等腰三EADAE, 角形,F,G分别是AB,EC的中点. E求证:FG是平面ECD的法向量. G DC ABF 例3求通过点a,,(1,0,2)MM(3,1,1),(1,1,0),,且平行于的平面. 12 例4求过点且在x轴和y轴上截距分别为的平面方程. M(3,2,4),,,2,3 平面的法向量在解题中应用广泛,应注意其求法及应用; 课本87页练习1,2 数学之友T3.7 1~10 第 3 页 共 3 页