[宝典]第十一讲 含参变量的无限积分

[宝典]第十一讲 含参变量的无限积分 三、含参变量的无穷积分 设二元函数在区域有定义，，无fxu(,)Daxu(,),,，,,,,,,,u[,],, ，,穷积分都收敛，即都对应唯一一个无穷积分(值)fxudx(,),,u[,],,,a ，,，,，于是，是上的函数，为 fxudx(,)fxudx(,)[,],,,,aa ，,， ,,,()(,),[,]ufxudxu,,,a 称为含参变量的无穷积分，有时也简称为无穷积分，是参变量(u ,，,已知无穷积分与数值级数的敛散性概念、敛散性判别法及其fxdx()u,n,a,n1 ，,性质基本上是平行的，不难想到含参变量的无穷积分fxudx(,)与函数级数,a , 之间亦应如此(讨论函数级数的和函数的性质时，函数级数的一致ux(),nn1, 收敛性起着重要作用;同样，讨论含参变量的无穷积分的函数分析性质时，一致收敛性同样也起着重要的作用( ，,fxudx(,)，无穷积分都收敛，即，有,,u[,],,,,u[,],,,a ，,Afxudxfxudx(,)lim(,),， ,,aaA,，, 即,,，,,,,0,,AaAA，有 uu A，,，,fxudxfxudxfxudx(,)(,)(,),,,,( (4),,,aaA uA,Aa,一般来说，相等的,之下，不同的也不同。是否存在一个通用的，u0,,,,AAu,[,],,，有(4)式成立呢,事实上，有些参变量的无穷积分在[,],,0 A上存在，于是，有下面的一致收敛概念: 0 ,,，,,,,,,0,,,,AaAAuI定义 若有 00 A，,，,fxudxfxudxfxudx(,)(,)(,),,,,， ,,,aaA ，,，,则称无穷积分在区间一致收敛;若无穷积分在区间IIfxudx(,)fxudx(,),,aa ，,不存在通用的，就称在区间非一致收敛(Ifxudx(,)Aa,0,a 现将一致收敛与非一致收敛对比如下: ，,fxudx(,),,一致收敛: 有;,,，,,,,,,0,,,,AaAAuI00,A ，,fxudx(,),,非一致收敛:有(，,,,，,，,,0,,,，AaAAuI00000,A0 ，,xu,例5 证明:积分在区间一致收敛，在上非一uedx[,](0)aba,[0,)，,,0 致收敛( A,0证:设，则 ，,，,，,1xuttAuAa,,,,,uedxxutuedtedteeaub,,,,,,( (),,,AAuAuu 1111,Aa,,,0,,,e,,Aln0，要使不等式成立，只要。取Aln，于是，0,,aa 11,,,0，,,，，，有 Aln0,,,,AAuab,[,]00,a ，,xuAa,,uedxe,,,， ,A ，,xu,uedx即积分在区间一致收敛( [,](0)aba,,0 1,2另外，由于存在，有,,,,,，,，,,，,eAAAu0,0,,[0,)000A0 1,A0，,,,xuAuA,,120000uedxeeee,,,,， 0,A0 ，,xu,uedx即在非一致收敛( [0,)，,,0 ，,Ifxudx(,)定理5(柯西一致收敛准则)在区间一致收敛,a ,,，,,0,,Aa ,0 ,,,,,AAAAuI,,,有 1020 A2fxudx(,),,( ,A1 证:“”由一致收敛的定义，有,,，,,,,,,0,,,,AaAAuI,00 ，,fxudx(,)2,,， ,A 从而，，分别有 AAAA,,,1020 ，,，,fxudx(,)2,,fxudx(,)2,, 与 ， ,,AA12 于是， A，,，,2fxudxfxudxfxudx(,)(,)(,),, ,,,AAA112 ，,，,,,,，,，,fxudxfxudx(,)(,)(,,,AA1222 “” 有 ,,，,,,,,,,0,,,,,AaAAAAuI,01020 A2fxudx(,),,， ,A1 ，,，,fxudx(,),,I令fxudx(,)，有，即在区间一致收敛(A,，,2,,Aa1 定理6 若，有 ,,,,xauI, fxuFx(,)(), ， (5) ，,，,IFxdx()fxudx(,)且无穷积分收敛，则无穷积分在区间一致收敛(,,aa ，,Fxdx()证:已知收敛，根据?12.1定理2(无穷积分的柯西收敛准则)，,a ,,，,,,,,0,,,,AaAAAA即有 01020 A2Fxdx(),,， ,A1 ,,,,,,,AaAAAAuI,,,,由不等式(5)，有 01020 AAA222fxudxfxudxFxdx(,)(,)(),,,,， ,,,AAA111 ，,Ifxudx(,)由定理5知，无穷积分在区间一致收敛( ,a MFx()定理6中的函数称为优函数，定理6亦称为优函数判别法或判别法 (魏尔斯特拉斯判别法)( M ，,cosxy例6 证明:在一致收敛( Rdx22,1，xy ，,1cos1xy证:，有，已知收敛，由判别法知Mdx,,yR,2,2221xxyx， ，,cosxy在一致收敛( Rdx22,1，xy 定理7(狄利克雷判别法)若满足下列条件:fxugxu(,),(,) p(1)在I上一致有界; ,,pafxudx,(,),a (2)是的单调函数，且当时，在I上一致收敛于xgxu(,)(),,uIx,，, 0( 则 ，,fxugxudx(,)(,) ,aI在上一致收敛( 定理8(阿贝尔判别法)若满足下列条件:fxugxu(,),(,) ，,fxudx(,)(1)在上一致收敛; I,[,],,,a (2)是的单调函数，关于一致有界(xugxu(,)(),,uI 则 ，,fxugxudx(,)(,) ,aI在上一致收敛( ，,sinx,yxedx例7 证明:在一致收敛( [0,)，,,0x sinx,yx,,fxygxye(,),(,)证:设，则 x ，,，,sinxfxydxdx(,),(1)收敛，从而关于y,，,[0,)一致收敛;,,00x ,yxyx,,，,y[0,)(2)对，关于单调，且关于一致有界:gxye(,), 1,,yxyx， gxyee,,,,(,)1yxe ，,sinx,yxedx由阿贝尔判别法知:在一致收敛( [0,)，,,0x 定理9 若函数在连续，且无穷积分fxu(,)Daxu(,),,，,,,,, ，,在一致收敛，则函数在连续(,()(,)ufxudx,[,],,,()u[,],,,a 证明:由一致收敛的定义，有,,，,,,,,,,,0,,,[,],AaAAu00 ，,fxudx(,)3,,( ,A ,,，,uuu[,],[,],,,,,取有 00 ，,，,fxudxfxuudx(,)3,(,)3,，,,, ， 00,,AA A根据?12.3定理1，函数pufxudx()(,),在连续，当然在任意一点[,],,,a ,,,,，,,0,0,, u有也连续，即对上述同样的 u,[,],,0 AApuupufxuudxfxudx()()(,)(,)3，,,，,, ,， 0000,,aa ,,，,,,，,,,,,0(,),0,,AaAAu 有于是， 00 ，,，,,,()()(,)(,)uuufxuudxfxudx，,,，, 0000,,aa AA，,，,,，，，,,fxuudxfxuudxfxudxfxudx(,)(,)(,)(,) 0000,,,,aAaA AA，,，,,，,，，，fxuudxfxudxfxuudxfxudx(,)(,)(,)(,) 0000,,,,aaAA ,,,,，，,， ,333 即函数在连续( ,()u[,],, 定理10 若函数fxu(,)在Daxu(,),,，,,,,,连续，且无穷积分 ，,,()(,)ufxudx,[,],,,()u[,],,在一致收敛，则函数在可积，且,a ,,，,,()(,)udufxududx,， ,,,,,a,, 即 ,,，,，,fxudxdufxududx(,)(,),， ,,,,,,,,aa,, 简称积分号下可积分( 证:根据上面定理9，函数在连续，则函数在区间可,()u[,],,,()u[,],, 积(由一致收敛的定义，有,,，,,,,,,,,0,,,[,],AaAAu00 ，,fxudx(,),,( (6) ,A 根据本节定理3，有 ,,AAfxudxdufxududx(,)(,),， ,,,,,,,,aa,, 从而，，由不等式(6)，有 ,,AA0 ,,,，,，,A,()(,)(,)(,)udufxudxdufxudxfxudxdu,,， ,,,,,,,,,,aaA,,, ,,A，,,，fxudxdufxudxdu(,)(,) ,,,,,,,,aA,, A,,，,,，fxududxfxudxdu(,)(,)， ,,,,,,,,aA,, 于是，有 ,,,A，,,()(,)(,)udufxududxfxudxdu,, ,,,,,,,,,aA,,, ,,，,,,,,fxudxdudu(,)(),,,,， ,,,A,, 即 ,,,A，,,()lim(,)(,)udufxududxfxududx,,( ,,,,,,,,,aaA,，,,,, ,fxufxu(,),(,) 定理11 若函数在区域连续，且无Daxu(,),,，,,,,,u ，,，,,,()(,)ufxudx,fxudx(,)穷积分在区间收敛，而无穷积分在区间[,],,u,,aa [,],,一致收敛，则函数,()u在区间[,],,可导，且 ，,,,,()(,)ufxudx,， u,a 即 ，,，,d,fxudxfxudx(,)(,),， ,,aaduu, 简称积分号下可微分( 证明:，讨论积分 ,,u[,],, u，,,fxtdxdt(,)( t,,,,,a 根据上面定理10，有 u，,，,u，,u,,fxtdxdt(,)fxtdtdx(,),,fxtdx(,),,tt,,,,,,,,,,,,aaa ，,，,( ,,fxudxfxdx(,)(,),,,,,,()()u,,aa 所以， ，,,,,()(,)ufxudx， ,u,a 即 ，,，,d,fxudxfxudx(,)(,),( ,,aaduu, 同样地，含参变量的瑕积分也有一致收敛及其判别法，它所定义的函数也有 相似的分析性质，这里从略( 四、例(?) ,,axbx，,eea,ln,0例8 证明:dxab,,,( ,0xb ,,axbxee,x,0证:首先注意不是被积函数的瑕点( x ,yx,,,,,axbxbxaxyxbbbeeeeee,,,yx,(),,,dyedy( ,,,,y,,aaaxxxx ，,，,axyx,,,,yxaxee,edxedx已知，有，而收敛，根据本节定理6，在,,yab[,],,00 一致收敛，根据上面定理10，交换积分次序，有 [,]ab ,,axbx，,，,，,bbbeea,1,,yxyx(dxedydxedxdydy,,,,ln,,,,,,,,,,000aaaxyb ，,sinx,Idx例9 求狄利克雷积分( ,0x ，,sinx解:?12.1例11(P260)证明了无穷积分收敛(条件收敛)(dx,0x sinx因为的原函数不是初等函数，所以不能直接求此积分，为此，在被积x ,yx函数中引入一个“收敛因子”，讨论无穷积分 ey(0), ，,sinxyx,,( (7) Iyedx(),0x 显然，(无穷积分(7)的被积函数及其关于的偏导数yII,(0) sinsinxx,,,,yxyxyx eeex,()sin,,xyx,在连续(作连续开拓)(由例7知无穷积分Dxy(0,0),,，,,,，, ，,sinxyx,edx ,0x ,,,0在一致收敛(下面证明，，无穷积分 [0,)，, ，,，,,sinxyxyx,, ()sinedxexdx,,,,00,yx 在一致收敛( [,),，, ，,x,,,,,yxyxx,edxexeesin,,事实上:，有(已知收敛，由本,,，,y[,),,0 节定理6知， ，,，,,sinxyxyx,, ()sinedxexdx,,,,00,yx 在一致收敛。 [,),，, 由上面定理11，，有 ,,，,y[,), ，,，,,sinxyxyx,,, Iyedxexdx()()sin,,,,,00,yx ,yx，,eyxx(sincos)1， ， ,,,22011，，yy 从而， 1( (8)Iydyyc()arctan,,,,，2,1，y ，(8)式成立。下面确定常数(有 c,,y0 ，,，,，,sinsinxxyxyxyx,,, ,,,Iyedxedxedx(),,,000xx ,yx，,e1， ,,,,,，,0()y0yy 即(由(8)式，得 lim()0Iy,y,，, lim()limarctanIyyc,,，， yy,，,,，, ,,0,,,,，,cc即 于是， 22 ,Iyy()arctan,,，( (9) 2 下面证明在右连续(事实上，已知无穷积分(7)在区间一Iy()y,0[0,)，, 致收敛，根据上面定理9，在右连续(由(9)式，得Iy()y,0 ,lim()limarctanIyy,,，， ，，xx,,002 ，,,sinx,I(0),,,,IIdx(0)即，即( ,02x2 ，,sinyxdx例10 求无穷积分( ,0x ，,sinyx1,dx0解:时，;时，设，由例9，有y,0y,0yxtdxdt,,,,0xy ，,，,，,sinsin1sinyxtt,,,,,,， ydxdtdt0,,,,000xtyyt2 ，,,,，,sinsinsinyxtu,,,,,,,ydxdtdu0, ( ,,,000xtu2于是，有 ,2,0y,,，,sinyx,dxy,,0,0， ,,0x,,,2,0y,,从而，有 ，,2sinyx( ,sgnydx,0,x ，,pt,例11 无穷积分称为拉普拉斯()变换，它Fpedtp()(0),,laplace,0将函数变换成函数(例如，求 ft()Fp() ，,ptt,,,( Fpetedtp()(),,,,,0 ，,，,1()ptx,,，,解: Fptedtptxxedx,，,,()()2,,00p，(), 11( ,,,,,,1()p22，，()()pp,,