有关椭圆焦点弦的高考题的探究

有关椭圆焦点弦的高考题的探究 上海市育才中学 龚新平 201801 (发在《中学生数学》杂志2007-9上) 刚结束的2007年重庆市高考第22题是关于椭圆的焦点弦一类问题，给我留下了深刻的印象和许多思考，本文将对该问题加以分析和探究。 问题:中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为:。 F(30)，Ox,12l ???PFPPFPPFP,,PPP(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三点，，，使，122331123 111，，证明:为定值，并求此定值。 y lFPFPFP123P 1P Q 2122xyx FO A，,1解:(I)易得所求椭圆方程为; 3627P 3 ，,AFP,(2)记椭圆的右顶点为，并设(1，2，3)， Ai,ii 2,2,4,不失一般性，假设，且，。 ,,,,,0?,,，,，12131333 c1PQ又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有e,,liia2 2,,1a,,FP,PQ,e,,c,FPcos,,e(123)i,，，,,FP,。 (9cos)iiiiiii,,c2,, 33121121,,,,1cos,？,，变形得: (123)i,，，。， ,,,,，1cosi,,i,,92FP,,FP92i,,i,1i,1i 3，，1212,4,,,？,3，cos，cos(，)，cos(，)，而 ,,,,,,,111,9233FP,,，，ii,1 ,,,,,24222cos，cos(，)，cos(，),2cos(，)cos，cos(，),0， ,,,,,1111133333 1112，，,故为定值( FPFPFP3123 探究一: 对于一般的椭圆方程，是否也有类似的定值呢,由上述证明，不难得到: 22yx???PFPPFPPFP,,PPP(1)焦点为F的椭圆，,1上三点，，，且，12233112322ab 1113a，，则有=。 2FPFPFPb123 证明:这里也可以采用极坐标的方法来证明。(由椭圆的对称性知:不妨设点F为左焦点) 1,ecos,ep1i,,由圆锥曲线的极坐标方程，得。 ,(i,1,2,3)1,ecos,ep,i ,2,4,2,,,，,，0不失一般性，设，且，，则有: ,,,,,12131333 24,,1ecos()1ecos(),，,，,,111ecos,111,331，，,，，epepep,,,123 24,,3,e(cos，cos(，)，cos(，)),,,11111133，，, ep,,,123 111111333a3a3a，，，即:=。 ？，，,,,,22222,,,epFPFPFPbcaa,cb123123(,c)ac22yx???PFPPFPPFP,,(2)焦点为F的双曲线同支上三点，且，,,1P,P,P12312233122ab 3a则有倒数的代数和为定值。(允许极径为负值，证明同(1)) FP,FP,FP,1232b 2???PFPPFPPFP,,y,2px(3)焦点为F的抛物线上三点，且，则有P,P,P1231223311113，，=。(证明同(1)) pFPFPFP123 n探究二:前面的问题均限于三点，能否推广到个点呢,由上面的证明，我们不难得到: 22yxn(1)焦点为F的椭圆上依次有个不同的点，,122ab ，且满足，则有P,P,？P，PFP,，PFP,？,，PFP12n1223n1111na，，？，=。 2FPFPFPb12n 1,ecos,ep1i,,证明:由圆锥曲线极坐标方程，得,(i,1,2,？n)。 1,ecos,ep,i 2(,1),n2,,20,,,，,？,，不失一般性，设，且，，则有: ,,,,,121n1nnn n2(,1),,2ee1cos()1cos(),，,，,,11e1cos,111,nn1，，？，,，，？，epepep,,,n12 n2(,1),,2ne(coscos()cos()),，，，？，，,,,111111nn，，？，, ep,,,n12 ,2(n,1),2cos，cos(，)，？，cos(，),0n由复数次单位根的知识，易得: ,,,111nn111nnnana？，，？，,,,,。 2222ep,,,caacb,n12(c),ac 特别的，当及时，就是我们常见的椭圆中过焦点作直线的焦点弦问题。 n,2n,4 22yx(2)焦点为F的双曲线同支上有个不同点，且满足n,,1P,P,？P12n22ab 3a，则有FP,FP,？FP倒数的代数和为定值。(允许，PFP,，PFP,？,，PFP12n1223n12b 极径为负值，证明同(1)) , 2(3)焦点为F的抛物线y,2px上顺次有n个不同点，且满足P,P,？P12n 111n，则有=。 ，，？，，PFP,，PFP,？,，PFP1223n1pFPFPFP12n 特别的，当及时，就是我们常见的抛物线中过焦点作直线的焦点弦问题。 n,2n,4 OP(i,1,2,？n)探究三:如果研究对象不是焦点弦，而是中心距，是否也有类似的结论呢, i 22yx中心为O的椭圆上依次有n个不同点，且满足 ，,1P,P,？P，PFP,，PFP12n122322ab 22n(a，b)111，，？，，则有=。 ,？,，PFPn1222222abOPOPOP12n 2,P(rcos,,rsin,),i,1,2,？n0,,证明:设，不失一般性，设，且,iiiii1n 2222(rcos)(rsin),,2(,1),ny,2xiiii,，,？,，，,1，，代入方程，得，，,1,,,,21n12222nnabab nnn2222，,cos,sin,cos,sin,1cos2,1cos2,11iiiiii，,()(),，,，，所以 ,,,22222222ababab22rr,,,111iiiii nn2222,,1cos21cos2，,n(ab)n(ab)，，11ii()()cos2,,，,，,,。从而有: i,,222222222a2b2ab2a2b2ab,,10ii 22n(a，b)111，，？，=。 222222abOPOPOP12n n探究四:如果我们将椭圆的长轴分成等份，结果会怎样呢, 于是有: 22yxxn将椭圆，,1的长轴分成等份，过每个分点作轴AB22ab P,P,？P的垂线交椭圆的上半部分于共个点，是Fn,112n,1 FP，FP，？，FP,(n,1)a椭圆的一个焦点，则。 12n,1 n,1n,1ccFP，FP，？，FP,(a，x),(n,1)a，xP(x,y),i,1,2,？n证明:设，， 12n,1iiiii,,aai,1i,1 n,1 x,0FP，FP，？，FP,(n,1)a由椭圆的对称性可知:，所以。 i12n,1,i,1 特别地，当时，即是2006年四川省高考题: n,8 22xy，,1x将椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于AB82516 七个点，是椭圆的一个焦点，则FP，FP，？，FP, 35 。 P,P,？PF127127 FP，FP，？FP,0探究五:若变换成条件,是否有类似结论呢,我们继续如下探究: 12n 22yx(1)焦点为F的椭圆上依次有n个不同点，若满足，,1P,P,？P12n22ab 2nbFP，FP，？FP,0FP，FP，？，FP，则有=。 12n12na n FP，FP，？FP,0(x,c),0证明:设，由得，得: P(x,y),i,1,2,？n12niiii,i,1nnn22,,cccnb,,x,nc，从而:。 FPFPFPaxnaxna，，？，,(,),,,(,),i,12nii,,,,aaaai,1,,i1i1,,同理，双曲线也有与(1)几乎完全一样的结论～ 2y,2pxn(2)焦点为F的抛物线上依次有个不同点，若满足P,P,？P12n FP，FP，？FP,0FP，FP，？，FP，则有=。 np12n12n npFP，FP，？FP,0x(,),0证明:设P(x,y),i,1,2,？n，由得，得: 12niiii,2i,1nnnnppnpx,FP，FP，？，FP,(x，),，x,np，从而:。 i12nii,,,222i,1,1,1ii 2yx,4特别地，当时，即为2007年全国高考题:设为抛物线的焦点，FABC，，n,3 FAFBFC，，,0为该抛物线上三点，若，则 6 。 FAFBFC，，, 参考文献: 2007年重庆市高考试卷(理科)