高数积分总结

高数积分总结 1.二重积分 形式: f(x,y)为面密度，dxdy为面积元素。 f(x,y)dxdy,,D b(x)f2dxf(x,y)dy解法:?直角坐标 首先是化为X型或Y型区域，如化为X型的则可写成= f(x,y)d,,,,,a(x)f1D 22?极坐标(使用范围:D为圆或圆的一部分，f(x,y)中含有+项)极坐标下二重积分可化为: xy = f(x,y)dxdyf(,cos,,,sin,),d,d,,,,,DD 2.三重积分 形式: f(x,y,z)表示点(x,y,z)处的密度，dv表示体积元素 f(x,y,z)dv,,,, 解法:?直角坐标 如往xoy面投影，Dxy为X型区域，y的范围由平行于y轴的直线穿过Dxy，穿入的是下限，穿 出的上限;z的范围沿平行于z轴的直线穿过立体，穿入的下限，穿出的上限，则有: by(x)z(x,y)22dxdyf(x,y,z)dz=; f(x,y,z)dxdy,,,,,,ay(x)z(x,y)11, 22x?柱面坐标(范围:投影区域为圆或圆的一部分，(fx，y，z)中含有+项) 直角坐标与极坐标的关系:x= cos,,y , ,(,)z(,,,)221d,,d,F(,,,,z)dzy= z=z。 == ,sin,f(x,y,z)dxdydzF(,,,,z),d,,,,,,,,,,() z(,),,,,,011,, ,? 球面坐标 (范围:立体为球体或球体的一部分) 22,,,,zz,,22,,3.重积分的应用:? 求曲面面积:A= 1，f(x,y)，f(x,y)d,,1，，dxdy,,xy,,,,,,,,xy,,,,DxyDxy 可以类似的推出区域为Dxy,Dyz时对应的公式。 ,,,,x(x,y)dy(x,y)d,,,,MMyDxD,,,,xy? 求质心: 类似的可推广到空间直角坐标系。 MM,(x,y)d,,(x,y)d,,,,,DD 22I? 求转动惯量: = 推广到空间坐标系有: y,(x,y)d,I,x,(x,y)d,xy,,,,DD 222222 I,(z，y),(x,y,z)dvI,(z，x),(x,y,z)dvI,(x，y),(x,y.z)dvxyz,,,,,,,,,,,, n f(x,y)ds4.曲线积分:?对弧长的曲线积分 形式: 当L为闭曲线是又记为: f(x,y)ds,f(，),s,,,iii,,LL,,,,0 算法:关键是化为参数方程，注意积分的上限一定大于积分下限～ 直角坐标系下的公式: t2'2'2f(x,y)ds,f,[(t),,(t)],，,dtt,t()极坐标系下的公式:(t)(t)21,,Lt1 ,22'2f(x,y)ds,f,(cos,,,sin,),，,d,,,, () 21()(),,,,L,1 P(x,y)dxQ(x,y)dy?对坐标的曲线积分 形式:P(x,y)对坐标x的积分记为;Q(x，y)对坐标y的积分记为 ,,LL t2''tt12P(x,y)dx，Q(x,y)dy,{P,[(t),,(t)],，Q[,(t),,(t)],}dt算法: 注意对应L的起点对应L的终点～ (t)(t),,Lt1 ,Pdx，Qdy,,(Pcos,，Qcos,)ds?两类曲线积分的关系:平面曲线L 空间曲线 ,,LL Pdx，Qdy，Rdz,,(Pcos,，Qcos,，Rcos,)ds 起点对应的参数小于终点对应的时取“+”，反之取“-”。 ,,,, n5.曲面积分 ?对面积的曲面积分 形式: f(x.,y,z)表示面密度ds表f(x,y,z)dS,limf(,,),s,,,,iiii,,,,,,0,1i, 面积 ,d22算法:若曲面往xoy面投影则有 f(x,y,z)dS,f[x,y,z(x,y)],f[x,y,z(x,y)]1，z，zdxdy xy,,,,,,,,cos,DxyDxy ,,dd(,,),[,(,),],[(,),,]同理可有 为曲面的方fxyzdSfxyxzzfxyzyzcos,,cos,,cos,,,,,,,,cos,cos,,,DzxDyz F(x,y,z),0,,,n,(F,F,F),,,e,(cos,,cos,,cos,)向余弦，求解的大致步骤:先将积分曲面函数化为 nxyz注意:曲面投影不能是一条曲线，积分曲面是由不同曲面组成的要分割～ ?对坐标的曲面积分 形式 对坐标x，y的积分 类似的还有对坐标z，x和对坐标y，z的积分。R(x,y,z)dxdy,,, ,为光滑有向曲面 ,算法:往xoy面上投影有R(x,y,z)dxdy,,R[x,y,z(x,y)]dxdy 取“+”时上侧，取“-”时为下侧，同理还,,,,,Dxy 有往zox面投影右侧取“+”，往yoz面投影前侧取“+”。注意:曲面的投影为曲线时积分为零～ ?两类曲面积分的联系 Pdx，Qdy，Rdz,(Pcos,，Qcos,，Rcos,)dS,,,,,, 6.三个公式 ?格林公式(二重积分曲线积分)条件:P Q具有一阶连续偏导数，D是有L围城的闭区域，,,,P202 ,Q,PL取正向。 内容: (,)dxdy,Pdx，Qdy,,,L,x,yD ,P,Q1xdy,ydx,应用:i)A为区域D的面积 A=;ii)曲线积分在一个单连通区域与路径无关的充要条件; ,L,y,x2 (x,y),P,Q,u(x,y),Pdx，Qdyiii)Pdx+Qdy在一单连通域内某一函数的全微分的充要条件是，有。选u(x,y),(x,y)oo,y,x择起点应尽量选择原点或x轴上的点，然后用折线法求出u(x，y)。 ,?高斯公式(三重积分曲面积分)条件:,是由围成的闭区域外侧，P Q R有一阶连续偏导数。 ,,,P229 ,P,Q,R内容: (，，)dv,Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,(Pcos,，Qcos,，Rcos,)dS,,,,,,,,x,y,z,,, ,,,?斯托克斯公式(曲面积分曲线积分)条件:为分段光滑空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑,,,P237 有向曲面，右手规则，P Q R具有一阶连续偏导数。 ,R,Q,P,R,Q,P内容: (,)dydz，(,)dzdx，(,)dxdy,Pdx，Qdy，Rdz,,,,,y,z,z,x,x,y, ,Q,Q,P,P,R,R dxdy,dydz,Qdydzdx,dxdy,Pdxdydz,dzdx,Rdz,,,,,,,,,,,,,z,y,y,x,x,z,,,