[最新]几何概率定义

[最新]几何概率定义 几何概型的解法归纳 卢小云 (曙光双语学校) 指导老师:陈以云 摘要:我们知道如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，其中每个等可能的基本结果可以用平面(或直线、空间)中的点来示，而所有的基本结果对应于一个区域，这时与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.事实上, 从某种意义上来说几何概型是古典概型的补充和推广.本文中将几何概型的问题分为两大类来解决. 关键词:几何概型 ，概率，蒲丰投针 引言 :几何概率定义:设是某一有界区域，(可以是一维空间的，也可, 以是二维、三维空间的)向中随机投掷一点，如果点落在中任一点是,MM,等可能的(或说是均匀分布的)，则说这个试验是几何概型. ,,,对于几个可行试验，事件A=“点落在区域中”的概率，定义为M A的测度P，，A, ,的测度 这里的测度指长度 、面积 、体积等 . 1 一般问题 y1.1 直接解题法 1这类问题中，样本空间具有明显的几何意义，样 本点所在的区域题中已经直接给出.这类问题结构比 较简单，易于求解.下面举例说明. 0x11/3 图(1) 例1 设一个质点落在平面上由轴，轴及直线所围成的三角xoyxx，y,1y 1形内，而且落在这个三角形内每一点处的可能性都相等.求此质点落在直线x,3 的左边的概率. 解 由题意得出图(1)，可知影阴部分即为题中所要求的样本点 ，A 大三角形即为样本空间. , 11,，1，1, s,22 11225,,，，, s,223318 根据概率的几何定义， 5 5s18,可得所求概率为: . P,,,19s, 2 2例2 随即地向半圆(为正常数)内掷一点，点落在半a0,y,2ax,x 圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与轴的的夹角x ,小于的概率. 4 2解 以表示半圆 由题可知: 02,,,yaxx, 点，，应落在图(2)所示的影阴部分(记为区域)由于在极坐标下，图形Ax,yA的面积: ,2cosa,4sdrdr,, ,,,00 ,12,,a2cos,4 = d,0,,r,02,, y ,2242cosad,, = ,0 a ,2A4ad1cos2，,, = ，，,0,/4 ox图(2) ,,1224 = a，asin2,042 1,,,2 = ，a,,42,, 12a ,, s,2 ,1,,2，a,,1142,,s,应用几何概率公式得到所求的概率: .P,,,，1s22,,a,2 1.2 间接解题法 这一类几何概率问题中，样本空间所对应的几何区域题中没有直接指明，需 要对问题作深入的，才能把样本空间归结为几何空间的某个区域.这一类结 构比较复杂，解答富有技巧性，下面举例说明. 例3 把长度为10的木棒任意分为三段，求这三段可以构成一个三角形的率. 解 设其中两段的长度分别为与则第三段的长度为，显然有x10,x,yy 0,x,10, ,0,y,10 , ,0,10,x,y,10, 0,x,10, ,0,y,10y也就是 , ,0,x，y,10,10 5，，x,y把看作平面上的直角坐标中的点， x 1005 图(3) 则区域可以用图(3)中的大三角形表示出来. , 为了使分成的三段能构成三角形，必须满足 x，y,10,x,y, ,，，x，10,x,y,y角形任意两边之和大于第三边所以有: 也就是 , ,，，y，10,x,y,x,0,x,5, ,0,y,5 ， , ,x，y,5, 于是区域可以用图(3)中的影阴部分表示，因此，所求概率为 A 1，，551S,2 . ,,,P14S,，，10102 1例 4 从区间内任意取两个数，求这两个数的积小于的概率.，，0,14 解 以x,y表示从内任意取的两个数，那么和的变化范围为:，，0,1xy 0,x,1，,即样本空间是边长为1的正方形， 0,y,1, 110,x,1xy,两数的积小于，，的充要条件为:，， ，即当样本点x,y0,y,144 1yx,0x,1xy,落在由双曲线及四条直线:，， ，y,04 y,1 1 1所围成的区域(如图(4))内时，两数的积小于，因AA4 1/4为区域的面积大小为1，而区域的面积大小为: ,Ax11/4011111,，,， . dxln21图(4)s,,4424x4 11，ln211s,24于是，所求的概率为: . ,,,，Pln2124s, 例5 在线段上任取三点，，求，，能构成三角概率.ABxAxxxAxAx331212 解 设线段AB的长为1则 ，0,x,11 ， 把看作空间一，，0,x,1x,x,x0,x,131232X3点的坐标系，则区域可以用图(5)中的正方, 1CB体表示出来.要使 能构成三角形，AxAxAx312 DA x，x,x,F123O,1X2x，x,xODEBA当且仅当 ，即六面体为,132 ,x，x,xH231, 1图(5)所要求的样本点，所以所要求的概率为:AEX1 11,，，131,A32P,,,. 12,, 2 典型问题 2.1 会面问题 例6 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面并约定先到者应等另一人一刻钟，过时即可离去.求两人会面的概率. y x 解 以和分别表示甲 乙两人到达约会地点的时间y60 y-x=15 xy,,15则两人能够会面的充要条件是: ，在平面上建立x-y=1515 ，，x,y直角坐标系，则的所有可能结果是边长为60的正方形，x06015图(6) 而可能会面的时间由图(6)中的影阴部分所表示，因此所求概率为: 2260457,s, . P,,,26016s, 例7 甲、乙两艘轮船使向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.如果甲船的停泊时间是1小时，乙船是2小时求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率.y 24 y-x=1解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别是及，则xy x-y=2 024,,x及均可能取区间0,24内的任意一值，即 ，xy,, 1 x224而要求它们中的任何一艘都不需要等待码头空024,,y0 h出，也就是要求两船不可能会面，那么必须甲比乙早到1图(7) h以上，或乙比甲早到2以上，即要，或 在平面上建立直角yx,,1xy,,2 xy,坐标系如图(7)，则的所以可能结果是边长为24的正方形，而两艘船不，， 可能会面的时间由图(7)中影阴部分表示,则所求概率 1122241242,，,，，，，22为:. P,,0.897224 2.2 蒲丰投针问题 蒲丰投针问题是一个著名的几何概型问题，它是法国科学家蒲丰在1777年提出的，在蒲丰投针问题中，投掷物针可以看作是一条线段，而针的落点是一组平行线构成的平面.蒲丰应用几何概型的一般方法，利用等可能性，巧妙地解了这个问题. l 例8 平面上画有等距离的平行线，每两条平行线之间的距离为，向平面任意投掷一枚长为aal(),的针，试求针与平行线相交的概率. La ,xx解 设表示针落下后针的中点到最近的一条平Mx行线的距离，表示针与平行线所成的角(如图(8)a)，,图(8)aL/2 x=(a/2n)is, ,0, 图(8)b la则: ，而针与一直线相交的充要条件是: . 0,,xx,sin,0,,,,22 我们把和表示为平面上一点的直角坐标，则所有基本事件可以用边长为x, l及的矩形内的点表示出来，而“针与直线相交”这一事件所包含的基本事件,2 可以用上图(8)b中影阴部分内的点表示出来，因而所求概 ,asin,,d,2a0s,2率为: . ,,,Pll,s,，,2 例9 把针替换成三角形的蒲丰问题. l平面上画有等距离的平行线，每二条平行线之间的距离为,向平面任意投掷一个三角形，该三角形的边长分别为均小于，求三角形与平行线相交的概(l)a,b,c 率. 分析 三角形与平行线相交，只可能有三种情况:第一种情况是三角形的一个顶点与平行线相合如图9(1));第二种情况是三角形的一条边与平行线相合( 图9(3)图9(2)图9(1) 如图9(2));第三种情况是三角形的两条边与平行线相交如图9(3)).(( 由于三角形的三个顶点及三条边所占有的区域的面积为零，在几何概率中，其概率也为零.所以上面叙述中第一种情况和第二种情况可以省略，仅考虑第三种情况即可，因此，三角形与平行线相交的概率可转化为三角形中有两条边与平行线相交时的概率. bac而假设当三角形的边与平行线相交时，必须导致边或边与平行线相交，这 a两个事件是两两互斥的，且这两个事件的和事件恰好是边长为的边与平行线相 交这个事件，与平行线相交的概率符合蒲丰投针问题. a 解 分别用 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线A,A,A123 相合，两条边与平行线相交，显然，所求概率为.P(A)P(A),P(A),0312 分别用 表示边，二边 与平行线相交，A,A,A,A,A,Aa,b,cab,ac,bcabcabacbc 则 P(A),P(A)，P(A)，P(A)3abacbc 显然 P(A),P(A)，P(A)aabac P(A),P(A)，P(A)babbc P(A),P(A)，P(A)cacbc 1P(A),,,P(A)，P(A)，P(A)所以 3abc2 abc1222，， ,，，,,,,,lll2，， abc，，, . ,l 2.3 贝特朗奇论问题 几何概率在现代概率概念的发展中曾经起过重大作用，十九世纪时，不少人相信，只要找到适当的等可能性描述，就可以给概率问题以唯一的解答，后来人们对这种观点提出异议，并且具出许多反例. 3 例10 在单位圆上任作一弦，求弦长大于的概率. 分析 在这个几何概率问题中，对于术语“随机地” 的含 BO义解释不同，这个问题存在多种不同的.下面为其 M中的种. AN解法一 如图10(1)，不妨设弦的一端点已取定，AE问题化为在圆上任取另一端点，故样本空间为整B,图10(1) AOAMN个圆周， 因为单位圆的内接正三角形的边长恰 F B N 图10(2) MNMN为，故弦长大于，当且仅当端点落在弧上，由于弧的长为33ABB 11圆周长的，故所求概率= . P33 MN解法二 如图10(2)，不妨直考虑与直径垂直的弦，当且仅当弦心距小11于，即所作弦的中心在上时弦长大于3，因此所求概率=. EFP22 3 解法三 如图10(3)，弦由其中点位置确定，而弦长大于的充要条件是， 11弦的中点落在半径为的同心圆内，故所求概率为:= .P24 AO认真分析上述解题过程可知究其原因，主要是在取弦时 采用了不同的等可能性假设，理解为在圆周上任取两点连成B1一弦，则所求= ;理解为在固定直线上任取一点作弦与P3图10(3)1此直径垂直的弦则= ;理解为在圆内任取一点作弦的中P2 1点而作弦，则= .这三种答案是针对不同的随机试验，对于各自的随机试验P4 而言，它们都是正确的. 结论 从某种意义上说，几何概型是古典概型的补充和推广.几何概型在概率问题中占有重要的地位.几何概型在本文中被分为两大类来，一是一般性的问题，另一类是典型的问题.通过归纳我们发现几何概型的解题的一般步骤为:首先选择一定的观察角度(必要时可以辅之图形);再把基本事件转化为与之对应的区域，并把随机事件A转化为与之对应的区域;最后利用概率公式计算. 参考文献 [1]姚孟臣编.概率与数理统计习题集[M].北京:机械工业出版社, 2002. [2]魏宗舒等编. 概率论与数理统计教程 [M].北京:高等教育出版社， 1983. [3 ]程依明、张新生、周纪芗编.概率统计习题精解[M].北京:科学出版社， 2002. [4]杨振明著. 概率论习题集 [M].北京:南京大学出版社，2003. [5]周概容主编.概率统计习题集[M].天津:南开大学出版社， 2003. [6]上海交通大学数学系编. 概率论与数理统计习题与精解[M].上海:上海交通大学出 版，2004. Induce Geometric Probability Model solution LU XiaoYun (The dawn of Bilingual School) Abstract :As we know if a radom experiment has infinite basic results with each result having the same probability,we can use a point in a plane (or straight line ,or space) to stand for a basic result.And so all the results correspond to a region.Then the problems about this kind of radom experiment can be solved by geometry model of probabitity. In the paper we divide geometry model of probability into two classes to solve some corresponding problems . Key words : geometry probability ，probability， problem of buffon’s needle