构造可导函数证明函数不等式

构造可导函数证明函数不等式 构造可导函数证明不等式 ◎李思阳 本溪市机电工程学校 117022 【内容简要】构造辅助函数，把不等式证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等 式。而如何构造一个可导函数，是用导数证明不等式的关键。本文从热门的高考及模拟题中选出四种类 型题供师生们参考。 【关键词】构造辅助函数;导数;不等式。 一(直接作差 21(2011?辽宁文科)设函数，曲线过(1，0)，且在y,f(x)Pf(x),x，ax，blnx 点处的切线斜率为2. P (1) 求，的值; ab (2) 证明:。 f(x),2x,2 1，a,0,b,,2ax，(1)解:=1+.由已知条件得，=2，即 f(1),0f(1)f(x),x1，2a，b,2, a,,1,解得。 ,b,3, 2(2)证明:因为的定义域为(0，+?)，由(1)知。 f(x)f(x),x,x，3lnx 2设=， g(x),f(x),(2x,2)2,x,x，3lnx 3(x,1)(2x，3),,1,2x，则==。 g(x)xx ,,当0,,1时，,0，当,1时，,0。 xxg(x)g(x) 所以在(0，1)内单调递增，在(1，+?)内单调递减。而=0，故当,0g(x)g(1)x 时，?0，即。 g(x)f(x),2x,2 总结:直接作差，用导数得=0，从而得证。直g(x),f(x),(2x,2)g(x),g(1)max 接作差是证这类题最常用的。 二(分离函数 alnxbf(x),，2.(2011?课标全国卷文科)已知函数，曲线y,f(x)在点(1，f(1))x，1x处的切线方程为。 x，2y,3,0 (1)求a，b的值; lnx(2)证明:当x,1f(x)x,0，且时，,。 x,1 a,1b,1 (1) 解:略，。 2x,11lnx1lnxf(x),，f(x),(2lnx,)(2)证明:由(1)知，所以=。 2x，1xx,1x,x1 2,x1,考虑函数=2(,0)，则 lnxh(x)xx 22222x,(x,1)(x,1),,==。 h(x)22xxx ,所以当时，,0，而，故 x,1h(1),0h(x) 1h(x)当?(0，1)时，,0，可得,0; h(x)x21,x 1h(x)当?(1，+?)时，,0，可得,0。 h(x)x21,x lnx从而当,0，且时，,。 x,1f(x)xx,1 总结:作差后的函数如可分为两个函数的积，直接求导很繁，可取其中一个函数求导，再讨 论证明。 三(巧妙变形 23.(2010?辽宁文科)已知函数。 f(x),(a，1)lnx，ax，1(1)讨论函数的单调性; f(x) f(x),f(x),4x,xxx(2)设，证明:对任意，?(0，+?)，。 a,,2121212 解:(1)略。 xx(2) 不妨设?，由于a,,2，故f(x)在(0，+?)减少。所以12 f(x),f(x),4x,xf(x),f(x)xf(x)，xx等价于?-，即?1212211222 f(x)，x。 11 22ax，4x，a，1a，1,，2ax，4令g(x),f(x)，x，则==。于是 g(x)xx 22xxx,4，4,1,(2,1),,g(x)??0。 xx g(x)g(x)f(x)，xf(x)，x从而g(x)在(0，+?)单调减少，故?。即?， 121122 f(x),f(x),4x,xxx故，对任意，?(0，+?)，。 121212 总结:通过等价变形，构造函数g(x)，利用的单调性得证。 g(x) 四(作函数积 12，4.(2011?本溪一中模拟)对任意的(0，，?)，求证:,。 lnx，1x,xexe 1212，，证明: 对任意的(0，，?)，,,>() lnx，1x(lnx，1)x,xxxexexee x2 设函数=，=+。 f(x)xlnx，xg(x)xee 111,,()ff(x)=，=0，得，易知==—。 f(x)lnx，2x,f(x)min222eee xx,exe1,,,=，=0，得1，易知==。 x,g(1)g(x)g(x)g(x)max2xee 11,,,f(x)?，?,，?。 f(x),g(x)g(x)minmax2ee x212?+。因此,，。 xlnx，xlnx，1,xxeexee 总结:直接做不好做，不等式两边同乘以一个函数，先进行证明，得到结果后再同除以这个函数，从而证得。