】因数与倍数6

】因数与倍数6 因數與倍數 五年級 4 節 因數、公因數 適用年級 教學節數 單元 倍數、公倍數 劉哲瑄、陳蒔萱、林品聿、李端華 名稱 設 計 者 1.第一節,因數 2.第二節,公因數 教學 節數 3.第三節,倍數 4.第四節,公倍數 能力指標 具體目標 2-n-8 能理解九九乘法。 1. 應用除法概念,瞭解兩數相除若能整除時,除數則為被除數 的因數 3-n-04 能理解除法的意義,運用2. 能找出某一整數的所有因數,並正確應用因數解決問題。 ?、,作橫式紀錄,包括有3. 能找出某一整數的所有因數,並正確應用因數解決問題。 餘數的情況,,並解決生4. 認識公因數,能夠列出二個不同整數間的公因數。 活中的問題。 5. 認識最大公因數,並能正確應用公因數和最大公因數解決問 題。 3-a-01 能解釋式子與原問題情境6. 運用乘法概念,引導學生能夠找出一個整數可以形成哪些倍 的關係。 數。 7. 能找出某一整數的倍數,並正確應用倍數解決問題。 5-n-3 能理解因數、倍數、公因8. 能了解倍數關係為簡單整數比。 數與公倍數。 9. 可以從限定的範圍中找出一整數的倍數有幾個。 1 10. 認識公倍數,能夠列出二個不同整數間的公倍數。 11. 能夠找出二個整數間的最小公倍數。 12. 認識最小公倍數,並能正確應用解決問題。 教材 一. 先備知識 ※概數部分 1.(三)上,第五冊 單元5,幾的幾倍(概數活動、估算活動) ※因數與倍數部分 1.乘法的意義與乘號(十十乘法、倍數活動、幾的幾倍) 2.認識除式,能解除法問題 (等分除、包含除的問題) 二. 相關教材 ※因數與倍數部分 1.(五)下,第十冊 單元6認識公因數、最大公因數和互質的意義。(活動7.8.9.10.) 2.(五)下,第十冊 單元6認識公倍數的最小公倍數的意義。(活動11.12.13.) 3.(五)下,第十冊 單元10在量的情境中,利用找出(最小)公倍數的方法,解決問題。(活動1.) 三. 發展教材 2 ※因數與倍數部分 1.(六)上,第十一冊 單元1 認識「因數分解」與「質因數分解」的意義。(活動5.6.7.8) 2.(六)上,第十一冊 單元3 求兩數的最大公因數或最小公倍數,再利用短除法表現其 (質)因數連乘積。(活動1.2.3.4) 3.應用於約分(公因數)與擴分(公倍數)活動。 本質概念 1、 因數與倍數, 當除數可以整除被除數(即被除數=除數×商),則除數叫做被除數的因數,被除數叫做除數的倍數。 ,所以什麼是因數, 因數就是A數被B數整除時,B數就是A數的因數。 ,什麼是倍數, 倍數就是A數被B數整除時,B數就是A數的因數。 2、 因數的判別, 利用「試除法」。在除法運算中,如果餘數=0時,則除數是被除數的因數,被除數是除數的倍數。 3 3、 公因數與最大公因數, 一整數A同為兩個以上整數的因數時,則A為這些數的公因數。 公因數中最大者即為最大公因數。 我們要判斷一個數是不是另外兩數的公因數時,我們也會用除法來檢驗。 4、 公倍數與最小公倍數, 一整數乙同為兩個以上整數的倍數時,則乙稱為這些數的公倍數。公倍數中最小者即為最小公倍數。 迷思概念 (一) 最大公因數與最小公倍數問題, 遇到此問題時,學生常會搞混最大公因數與最小公倍數。 例, 3 12 18 21 2 4 6 7 2 3 7 學生會誤認為最大公因數是252,最小公倍數則是3。會有這樣的問題最大的原因是「不 了解最大公因數與最小公倍數的意義」,因此應先將其定義向學生再次釐清。 (三) 因數、倍數、公因數與公倍數易混淆 這些名詞很容易混淆。所以,除了從理解著手,還得配合多練習及記憶。例如填充及選擇 題中,會考到因數倍數相當於除式中的被除數或除數,可利用「同音」的方法,「倍」? 「被」除數,相對的,因數?除數。在教學中要用「歸納」及「邏輯」的方式來幫助學生 學習,而且,必須要有系統,其次,你應該常看到許多坊間幫助記憶的補習班,他們的策 4 略是可行的。 (四) 倍數 數本身相當抽象,由於學生測量運思尚未發展完全,對於因、倍數間的相對關係常無法掌 握且不能理解。尤其是做應用題時,學生容易誤解題意而將因數和倍數混淆。再者,最大 公因數與最小公倍數也常搞混。因為在日常生活中學生很少會去運用到公因數、公倍數。 在國小階段,討論倍數時,並不包含0,因為在日常生活中,不易找到例子讓學童接受任 何正整數都可以當做單位量來組成0,也就是說學童不易接受0是任意正整數的倍數。因 此教師宜注意,當討論甲是乙的倍數時,指的是甲、乙兩個正整數滿足甲數除以乙數的商 數也是整數的關係,與日常生活中談論的甲量是乙量的幾倍有些不同,日常生活中的幾倍 指的是數量上的多少倍,甲量或乙量並不一定是整數,兩者間也不一定要滿足整數倍的關 係,例如我們常說1公斤的甲物是2公斤乙物的0.5倍,但是1不是2的倍數,我們也常 說2是0.5的4倍,但是2也不是0.5的倍數,因為0.5不是整數。 (四) 公倍數、最小公倍數 第十冊第四單元的活動協助學童進行公倍數的探討,在列出某個範圍內所有的公倍數的情 境下,討論何者為最小公倍數,並且討論下列兩個現象,1.一個正整數是其所有因數的公小公倍數 倍數,2.兩個正整數相乘的積數為這兩個正整數的公倍數。 (五) 教學注意事項, 直接由數的情境進入討論因數的意義,對學生而言,可能並不恰當,因為數本身相當抽象, 當學生測量運思尚未發展完全,無法將等分除與包含除視為相同的問題時,無法彈性地互 換單位量與單位數的角色,,可能混淆除數的雙重意義,不易掌握由單位量,因數,組成 5 總數的意義。此外短除法很多學生本身在安親班很早就有學到,因此經常會出現學生會覺得學校所教的方式對她們來說太簡單了,老師此時應尊重每一位學生不同的特性。 教 學 活 動 流 程 第一節課 活動主題及 具體 主要活動與問話 教學資源 目標 進行方式 6 一、關係洞察 ,美空小學六年一班要出去郊遊了,老師說為小白板、白板筆 了方便管理秩序,要將班上同學進行分組。 個人思考 ? 小組討論 ? 全班分享 應用除法,全班小朋友共有30人,若每一組的人數都 概念,瞭要一樣,可以怎麼分組, 解兩數相 除若能整,分組討論可能的方法,並把討論結果記錄在除時,除小白板上。 數則為被 ,揭示小白板於黑板上,並比較各組之異同。 除數的因 ,老師把小組的答案統整在黑板上。 數 , 老師歸納出30的因數, 30?1,30,30個人若分成1組,每組有30人, 30?2,15,30個人若分成2組,每組有15人, 30?3,10,30個人若分成3組,每組有10人, 30?5,6,30個人若分成5組,每組有6人, 30?6,5,30個人若分成6組,每組有5人, 30?10,3,30個人若分成10組,每組有3人, 7 30?15,2,30個人若分成15組,每組有2人, 30?30,1,30個人若分成30組,每組有1人, 由以上得知30可以被1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 整除,所以稱1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30是30的 二、正誤區辨 ,隔壁的六年二班聽說了這件事,非常羨慕,小白板、白板筆 也決定要在同一天出去郊遊。 個人思考 ? ,六年二班共有32個人,請問他們分組的方 小組分享 式跟六年一班會一樣嗎, ? 全班分享 DoReMi說,「30跟32的因數應該差 能找出某不多吧,那分組方式可能也不會差太多。」 一整數的 小愛說,「不對,30跟32的因數不同,所有因 所以分組方式當然不一樣啊。」 數,並正 確應用因 請問誰說的對, ?DoReMi ?小愛 數解決問 為什麼, 題 , 學生在小組中分享想法,並記錄在小白板上 ,揭示小白板於黑板上,並比較各組之異同。 , 老師把小組的答案統整在黑板上 , 老師歸納出32的因數共有1,2,4,8,16,32, 與30的因數並不一樣,所以分組方式不完 8 全一樣 三、概念確認 ,在效遊途中,老師拿出36包餅乾要請小朋小白板、白板筆 友吃。 個人思考 ? 小組分享 , 全班要分成幾組才能將36包餅乾平分,而 ? 且不會有剩下的, 全班分享 DoReMi說,「可以分成3組、4組或能找出某 6組。」 一整數的 所有因 小愛說,「可以分成9組、12組或18數,並正組。」 確應用因 數解決問請問誰說的對, ?DoReMi ?小愛 題 為什麼, , 學生在小組中分享想法,並記錄在小白板上 ,揭示小白板於黑板上,並比較各組之異同。 , 老師把小組的答案統整在黑板上 , 老師歸納出36的因數共有1, 2, 3, 4, 6, 9, 9 12, 18, 36 四、概念再製 ,羽月的媽媽也很細心地為全班準備了點心, 小白板、白板筆 她自己烤了60個精緻的小蛋糕。 個人思考 ? 小組討論 ? 全班分享 ,60個小蛋糕要裝進紙盒裏,要怎麼裝才能能找出某 讓每個紙盒裏的蛋糕數量都一樣呢, 一整數的 所有因 ,分組討論可能的方法,並把討論結果記錄在數,並正 小白板上 確應用因 , 將小白板揭示於黑板,並比較各組方法的異數解決問 同。 題 , 老師歸納出60的因數共有1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 ,第一節結束, 10 11 第二節課 活動主題及 具體 主要活動與問話 教學資源 目標 進行方式 12 一、關係洞察 ,為了顧慮玩遊戲時的公平性,老師決定要男小白板、白板筆 女生混合分組,而且每組的男生數量都一樣, 個人思考 每組的女生數量也一樣。 ? 小組討論 ,六年一班的男生有18人,女生有12人,要 ? 怎麼分才能把全班的男女生平分到各組去, 全班分享 , 學生分組討論可能的方法,並把討論結果記 錄在小白板上 認識公因 ,分組討論可能的方法,並把討論結果記錄在數,能夠 小白板上 列出二個 , 將小白板揭示於黑板,並比較各組方法的異不同整數 同。 間的公因 , 全班與老師共同歸納出, 數。 18的因數有1, 2, 3, 6, 18 12的因數有1, 2, 3, 4, 6, 12 為了要把全班的男女生平分到各組去,所以 男女生分的組數要相同,也就是找出一樣的 因數,亦即可以分成2組、3組、6組,老 師在此也說明公因數的概念 13 二、正誤區辨 ,在遊覽區中,六年一班的小朋友參加了「創小白板、白板筆 意水果粽子DIY體驗活動」,要把24顆草莓 個人思考 和30顆櫻桃全部包完。 ? 小組分享 ? 全班分享 ,若每顆水果粽子中的草莓數量要一樣,櫻桃 數量也要一樣,請問可以包幾顆水果粽子, 小花說,「可以包1顆、2顆、3顆、 4顆、6顆、8顆、12顆、24顆。」 認識公因 音符說,「可以包1顆、2顆、3顆、數,能夠 5顆、6顆、10顆、15顆、30顆。」 列出二個 不同整數 小桃子說,「可以包1顆、2顆、3間的公因 顆、6顆。」 數。 14 請問誰說的對, ?小花 ?音符 ?小桃子 為什麼, , 學生在小組中分享想法,並記錄在小白板上 三、概念確認 ,午餐時,班長提議用班費買了16包薯條和小白板、白板筆 12包王子麵來幫大家加菜。 個人思考 ? 小組討論 ? 全班分享 認識最大 ,若不管之前的分組,要把薯條和王子麵平均公因數, 分給每一組,最多可以分為幾組, 並能正確 應用公因 , 小組中分享想法,並記錄在小白板上分組討數和最大 論可能的方法,並把討論結果記錄在小白板公因數解 上 決問題 , 將小白板揭示於黑板,並比較各組方法的異 同。 , 全班與老師共同歸納出, 12的因數有1, 2, 3, 4, 6, 12 16的因數有1, 2, 4, 8, 16 15 兩數共同的因數為1, 2, 4,其中最大的共同 因數為4,老師藉此說明最大公因數的概念 四、概念再製 ,歡樂的時光總是過得特別快,老師在此次效小白板、白板筆 遊即將結束時,拿出16本筆記本、24枝鉛筆、個人思考 32個橡皮擦,要送給表現良好的小朋友當禮 ? 物。 小組討論 ? 全班分享 ,這些禮物要怎麼分才能讓每個人拿到的筆 記本一樣多、鉛筆一樣多,橡皮擦也一樣多,認識最大 最多可以分給幾個人, 公因數, 並能正確 , 小組中分享想法,並記錄在小白板上分組討應用公因 論可能的方法,並把討論結果記錄在小白板數和最大 上。 公因數解 決問題 , 將小白板揭示於黑板,並比較各組方法的異 16 同。 , 全班與老師共同歸納出, 教 學 活 動 流 程 第三節課 活動主題及 具體 主要活動與問話 教學資源 目標 進行方式 17 一、關係洞察 ,美空小學六年一班到了動物園中戶外教小白板、白板筆 學,他們第一站先到了兩棲爬蟲動物館,聽到 個人思考 青蛙呱呱叫的聲音。大家都瞪大眼睛搜尋著樹 ? 蛙的美麗身影,老師想到了一首兒歌 小組討論 『一隻青蛙1張嘴,2個眼睛,4條腿,撲通一 ? 聲跳下水。 全班分享 兩隻青蛙2張嘴,4個眼睛,8條腿,撲通、撲 通兩聲跳下水。 三隻青蛙3張嘴,6個眼睛,12條腿,撲通、撲 通、撲通三聲跳下水。 運用乘法 四隻青蛙4張嘴,8個眼睛,16條腿,撲通、撲概念,引 通、撲通、撲通四聲跳下水。……』 導學生能 ,青蛙的數目和嘴巴、眼睛、腿的數目有什麼夠找出一 關係, 個整數可 教師揭示下表, 以形成哪 些倍數。 青蛙 嘴 眼睛 腿 1隻 1×1=1 2×1=2 4×1=4 2隻 1×2=2 2×2=4 4×2=8 3隻 1×3=3 2×3=6 4×3=12 4隻 1×4=4 2×4=8 4×4=16 ………… ………… 乘2代表什麼? 乘4代表什麼? 18 , 將答案記錄在小白板上。 , 舉牌 二、正誤區辨(複,DoReMi看到了8隻健壯的青蛙,一共會有小白板、白板筆 習) 多少張嘴,多少眼睛,幾隻腳呢, DoReMi說,「8隻青蛙,8張嘴,一 個人思考 隻青蛙有兩個眼睛,所以眼睛共有8×2=16。 ? 腳也是這樣8×4=32」 小組分享 ? 小愛說,「8張嘴沒錯,但是眼睛應該 全班分享 是2×8=16才對,腳則是4×8=32。」 (3-a-01) 請問誰說的對, ?DoReMi ?小愛 能解釋式 為什麼, 子與原問 , 將自己的想法說給小組的同學聽,看看說的題情境的 合不合理。 關係。 , 老師澄清乘數與被乘數代表意義,並說明8 倍的概念。 ,研究人員仔細的登記了青蛙王子、青蛙公主 的資料卻不小心把登記好的資料弄混了,他 只記得園裡共有18隻青蛙,有1隻少了一 隻眼睛,有2隻受傷斷了一條腿,請問下列 數目中哪個是園內青蛙眼睛的數目?哪個是能找出某 19 腿的數目, 一整數的 眼睛的數目 腿的數目 倍數,並 三、概念確認 , 小愛拿到了一份問卷,填寫所有資料就會小白板、白板筆 送動物園的贈品,其中爸爸的年齡一欄小愛忘 個人思考 記了,只記得爸爸的年紀剛好是她的3倍,小 ? 愛今年12歲,請問爸爸今年幾歲,明年爸爸 小組分享 的年紀還是小愛的三倍嗎, ? 全班分享 DoReMi說,「小愛爸爸今年36歲, 明年小愛爸爸的年紀不會是小愛的三倍。」 小愛說,「我爸爸今年36歲,明年爸 爸年紀還是我的三倍。」 請問誰說的對, ?DoReMi ?小愛 能找出某為什麼, 一整數的 倍數,並, 小組中分享想法,看看說的合不合理, 正確應用 倍數解決 問題 ,小愛也忘了弟弟的年齡,只記得小愛的年齡 是弟弟的1.5倍,弟弟今年幾歲,小愛今年的 20 年齡與弟弟的年齡是倍數關係嗎, 能了解倍, 小組中分享想法,看看說的合不合理, 四、概念再製 ,羽月想買紀念品回去送給朋友和家人。 小白板、白板筆 個人思考 ? 小組討論 ? ,羽月還有150元,一個青蛙磁鐵10元,羽全班分享 月可以送給幾個人, , 將答案記錄在小白板上 , 舉牌 , 學生與老師歸納出150的數以內,10的倍 數有, 青蛙磁鐵個數 花費 1個 1×10=10 可以從限 2個 2×10=20 定的範圍 3個 3×10=30 中找出一 4個 4×10=40 整數的倍 5個 5×10=50 數有幾個 6個 6×10=60 21 7個 7×10=70 8個 8×10=80 9個 9×10=90 第四節課 活動主題及 具體 主要活動與問話 教學資源 目標 進行方式 22 一、關係洞察 ,六年一班來到了昆蟲館,館內正在舉辦機智小白板、白板筆 問答活動。 個人思考 ,蝴蝶館內的蝴蝶7隻一數可以數盡、9隻一 ? 數也可以數盡,蝴蝶館裡可能有幾隻蝴蝶,最 小組討論 少有幾隻, ? 全班分享 , 小組分享想法,並記錄在小白板上 , 將小白板揭示於黑板,並比較各組方法的異 同。 , 全班與老師共同歸納出, 認識公倍7×1,7 9×1,9 數,能夠7×2,14 9×2,18 列出二個7×3,21 9×3,27 不同整數7×4,28 9×4,36 間的公倍7×5,35 9×5,45 數。 7×6,42 9×6,54 7×7,49 9×7,63 7×8,56 7×9,63 23 蝴蝶館內的蝴蝶可能是7×9=63, 二、正誤區辨 , 小朋友們在沙漠動物區內碰到了一個穿著小白板、白板筆 醫生袍的研究人員,正在照顧生病的駱駝和鈴個人思考 羊。大家都很好奇,於是老師特別請動物醫生 ? 和大家分享他的經驗。 小組分享 ,DoReMi說,「生病的駱駝和鈴羊 ? 多久打一次針阿,」 全班分享 醫生說,「駱駝六天要打1次營養針、 羚羊只要四天打1次就夠了。」 老師說,「大家幫醫生算算看,如果以 今天是第一次為駱駝和鈴羊一起打針來算,醫 生幾天後會再同時幫駱駝和鈴羊,」 能夠找出 二個整數 羽月說,「第2天時」 間的最小 DoReMi說,「第10天時」 公倍數。 小桃子說,「第12天時」 音符說,「第16天時」 請問誰說的對, ?羽月 ?DoReMi ?小桃子? 音符為什麼, 24 , 小組分享想法,並記錄在小白板上 , 將小白板揭示於黑板,並比較各組方法的異 三、概念確認 ,終於到了令人期待的午餐 小白板、白板筆 ,老師準備了很多的三明治,老師說這些三 個人思考 明治6個一籃可以裝完,10個一籃也可以裝完。 ? DoReMi說,「老師最少準備了16個 小組討論 三明治。」 ? 全班分享 小愛說,「才不是呢，老師最少準備了 60個三明治。」 能夠找出 二個整數 羽月說,「老師應該最少準備30個吧!」 間的最小 請問誰說的對,為什麼? 公倍數。 , 小組分享想法,並記錄在小白板上 , 將小白板揭示於黑板,並比較各組方法的異 同。 , 全班與老師共同歸納出, 6、10的最小公倍數是30 25 四、概念再製 ,到了離別前,老師又出了一道題目來考大小白板、白板筆 家,只有過關的人才能上車。 個人思考 ,如果601班所有人搭機車(2人)、汽車(5 ? 人)、小巴士(25人)都會剩下1個人,我們班最 小組討論 少應該會有幾人呢, ? 全班分享 , 小組分享想法,並記錄在小白板上 認識最小, 將小白板揭示於黑板,並比較各組方法的異 公倍數,同。 並能正確 , 全班與老師共同歸納出, 應用解決 2、5、25的最小公倍數是50 問題 會剩下一人50+1=51人 最少有51人 ,第四節結束, 26 27