小球与圆环的

小球与圆环的 小球不圆环的“不解之缘” 摘要:小球不圆环的搭配是一种典型的运动模型,对于题目的难度更是难以把握,可易可难,变动性较大。?对于难度适中的题目即单纯的小球不圆环的构造模型,多利用动能定理、机械能守恒、以及向心运动等理论知识的题目,大多是求解是否能达到最高点,最高点的运动速度,最低点的运动速度亦或是能达到的最高高度。?对于难度较大的题目即在小球不圆环之上为小球加上电荷、在模型上加匀强电场,使小球受到电场力和重力的共同作用;亦或是在小球不圆环上不只加匀强电场还可以加以磁场,而此类题目更在高考中以“高分大题”的姿态出现。 关键词:小球 圆环 最高点 最低点 动能定理 机械能守恒 向心运动 速度 高度 正文:不论是在考场上还是在平时的习题训练上,小球不圆环的身影比比皆是,而他们也在某种程度上对一批批高中学子关上了大学之门,笔者亦然。为此笔者做了此篇。 一 单圆环小球模型，如右图， 1、小球的最高点问题 ?当小球恰好达到最高点处时: 值得同学注意的是要学会“审题”发觉题目中的隐藏含义,物理题目中总喜欢玩“恰好”“刚好”等类文字游戏。当小球恰好达到最高点时即为此时只有重力充当向心力,也就是说圆环此时对小球无压力,利用动能定理和向心运动可解的: 设小球在最高点初速度为V,在最高点时速度为V t0 1122mv,mv,,2mgR?动能定理 : t022 2mvt,mg向心运动: R v,gR?0 ?当小球达到最高点时仍受到圆环对其的压力，则可解 1122mv,mv,,2mgR?动能定理: t022 2mvt,mg，F向心运动: R 1122mv,mv,,2mgR? t022 mgFR，，，2即 ,vtm mgFR，，，gR, ,4，5gRv0m 综上述??情况总结得小球能通过最高点时的初速度? 5gRv0 ?当小球不能通过最高点时,，此时小球运动还没到最高点时就脱离5gRv0 了圆环轨道而做斜抛运动。 ?以上模型与“轻绳类”模型完全相同(如右图)，值得注意的是，绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，即只能沿某一个方向给物体力的作用，同圆环轨道一样可分为以上三种情况且结论相同即: ?小球恰好达到最高点时, 5gRv0 ?当小球通过最高点且绳存在拉力时, 5gRv0 , ?小球不能通过最高点时5gRv0 2、小球的最高高度，h， 【例如】如图所示,半径为R的竖直光滑圆环轨道内侧底部静止着一个光滑小球,现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度V,若V大小不同,则小球能够上升00 到的最大高度，距离底部，也不同,下列说法正确的是，， A, 如果= ,则小球能够上升的最大高度等于R/2 gRv0 B, 如果= ,则小球能够上升的最大高度小于3R/2 3gRv0 C, 如果V= ,则小球能够上升的最大高度等于2R 4gR0 D, 如果V= ,则小球能够上升的最大高度等于2R 5gR0 对以上题目进行分析?若小球能上升至最高点由以上对“小球的最高点问题”分析可得知V? 5gR0 ?当V,5gR 时,小球无法上升至圆环最高点,此时设小球在最低点速度为V时00能够上升的最大高度h,根据机械能守恒定理可得 12,mgh mv02 2 mv0? h,2g R当V= 时 h= ; 当V= 时h=3R/2 gR3gR002 由以上结论貌似题目中的A项正确B项是错误的;但是必须注意的因小球沿圆环轨道上升高度大于R时,由于轨道对小球产生压力,是小球具有了水平分速度即此时为 1122 mv,mv,,mght022 222,33Rvvv0tt,,,h ?当=时, hR, 3gRv022g22g ?综述B项正确 ?该题目选择ABD 总结可得?小球沿圆环运动,当小球上升高度小于R时,此时小球末速度为0,可根 12,mv,,mgh据动能定理 计算。 02 ?小球沿圆环运动,当小球上升高度大于R时,此时小球末速度不为0,可 1122mv,mv,,mgh根据动能定理 计算。 t022 ?小球能上升至圆环最高处时,其初速度一定大于或等于 5gR 事实上,不论小球在圆环上的何种运动,求解何值都是围绕动能定理、机械能守恒、牛顿第二定律和圆周运动的理论知识进行展开。 二 双圆环小球 1. 小球在最高点处问题，此类问题大多以小球初速度为0为主， ?当内侧圆环对小球提供支持力N 且N=0时,此时由向心运动可知 2mvt,mg R ,gR vt ?当内侧圆环对小球提供支持力N 且0,N,mg时,此时由向心运动可知 2mvt-N ,mgR mgNR(,) ,vtm ?当内侧圆环对小球提供支持力N 且N=mg时,此时由向心运动可知 2mvt-N ,mgR ,0vt 该状态意味着小球恰好到达最高点时停止 ?当外侧圆环提供压力时即由向心运动可知 2mvt,mg+N R mgNR(，), vtm 2、上述模型可类比于“轻杆类”模型，如右图， 小球过最高点时,轻杆对小球的弹力情冴: v,0N?当时,轻杆对小球有竖直向上的支持力,其大小等于小球的重力,即Nmg,; 22 vvNmgm,,gRrR?当0,v,时,因mg-N=m,则. N轻杆对小球支持力竖直向上其大小随速度的增大而减小,其取值范围是mg,N,0, v,gRN,0?当时, ; 22 vm，,N,m,mgmgNmgRRR?当v,时,则,即, 杆对小球有指向圆心的拉力,其大小随速度的增大而增大,注意 杆不绳不同,在最高点,杆对球既能产生拉力,也能对球产生支持力,还可对球的作用力为零. mL如图所示,杆长为,一端固定一质量为的小球,杆的质量忽略不计,整个系统 mg,102s绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动,求: vA(1)小球在最高点A的速度为多少时,才能使杆和小球,的作用力为零? AF，2，小球在最高点时,杆对小球的作用力为拉力和推力时的临界速度分别是多少? ,0.4msvA(3)若m=0.5kg,L=0.5m,,则在最高点A和最低点B,杆对小球m的作用力多大? m【解析】此题属于“轻杆类”,若杆和小球之间无相互作用力,那么小球做圆周运 2 vAmgm,mgL动的向心力仅由重力提供,根据牛顿第二定律,有: ,gLvA解得 mAF(2)若小球在最高点时,受拉力,受力如图11所示,由牛顿第二定律,有: 2 v1Fmgm,,L FL,gL，,gLv1m解得 mAF 若小球在最高点时,受推力,受力如图12所示,由牛顿第二定律,有: 2 v2mgFm,,L FL,gL,,gLv2m解得: ,gLvA由此可见是杆对小球m的作用力F在推力和拉力之间突变的临界速度, mgL,,2.2v0s(3)杆长L=0.5m时,临界速度, 2 vAmmgm,,,0.4,FAvvFF,4.84NA0sLAA,杆对小球有推力,有,则,由A至B只有重力做功,机械能守恒,设B点所处水平面为参考平面,则 1122，2,mgLmvmvAB22 2mgL,，4,4.5vvBAs解得, 2 mvB在最低点B,小球m受拉力,由 FmgF,,BBL2 vB解得, F,mg，m,25.3NBL 总结:小球不圆环类题目在平时的联系中我们将会常见,同时此类题目的难度并不小,甚至会出现过难现象,但笔者再次提醒各位同学,千万不要见到此类题目就退避三舍,要试着尽力学会分析。值得注意的是解决此类题目的关键仍是能够灵活运用机械能守恒、动能定理和向心运动的知识,并能够分析小球在圆环特殊点的运动状态,并分清楚题目属于“轻杆类”模型还是“轻绳类”模型,“轻杆类”模型对小球即可以产生拉力也可以产生支持力,类似于“双圆环小球”模型,“轻绳类”模型只能对小球产生沿绳收缩方向的拉力,类似于“单圆环小球”模型。 最后,笔者希望该篇文章对于解决小球类题目能够给读者提供帮助。