极坐标系的概念

极坐标系的概念 ?2极坐标系 2(1 极坐标系的概念 1.了解极坐标系的概念( 课标解读 2.理解点的极坐标的不唯一性( 3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 1(极坐标系的概念 图1,2,1 如图1,2,1所示，在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)(这样就确定了一个平面极坐标系，简称极坐标系( 2(极坐标的概念 对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ). 特别地:当点M在极点时，它的极径ρ,0，极角θ可以取任意值( 3(点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ，2kπ)(k?Z)表示同一个点，特别地:极点O的坐标为(0，θ)(θ?R)(和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示( 如果规定ρ,0，0?θ,2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示;同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的( 1(建立极坐标系需要哪几个要素, 【提示】 建立极坐标系的要素是(1)极点,(2)极轴,(3)长度单位,(4)角度单位和它的正方向～四者缺一不可(极轴是以极点为端点的一条射线～它与极轴所在的直线是有区别的,极角θ的始边是极轴～它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置,θ的正方向通常取逆时针方向～θ的值一般是以弧度为单位的量数,点M的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|～因此ρ?0.但必要时～允许ρ,0. 2(为什么点的极坐标不唯一, 【提示】 根据我们学过的任意角的概念:一是终边相同的角有无数个～它们相差2π的整数倍～所以点(ρ～θ)还可以写成(ρ～θ，2kπ)(k?Z),二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系～所以点(ρ～θ)的坐标还可以写成(,ρ～θ，2kπ，π)(k?Z)( 3(试探究M(ρ，θ)关于极轴、极点及过极点且垂直于极轴的直线的对称点坐标( 【提示】 (ρ～θ)关于极轴的对称点为(ρ～2π,θ)～关于极点的对称点为(ρ～π，θ)～关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(ρ～π,θ). 根据点的位置确定点的极坐标 π 设点A(2，)，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，3 分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,0<θ?2π)( 【思路探究】 欲写出点的极坐标～首先应确定ρ和θ的值( 【自主解答】 5如图所示～关于极轴的对称点为B(2～π)( 3 2关于直线l的对称点为C(2～π)( 3 4π关于极点O的对称点为D(2～)( 3 四个点A～B～C～D都在以极点为圆心～2为半径的圆上( 1(点的极坐标不是唯一的～但若限制ρ>0,0?θ<2π～则除极点外～点的极坐标是唯一 确定的( 2(写点的极坐标要注意顺序:极径ρ在前～极角θ在后～不能颠倒顺序( 若使正六边形的一个顶点为极点，极轴通过它的一边，试求正六边形各顶点的坐标( 【解】 建立如图所示的极坐标系～则正六边形各顶点的坐标为: πππ2A(0,0)～B(a,0)～C(3a～)～D(2a～)～E(3a～)～F(a～π). 6323 由极坐标确定点的位置 ππ7π 在极坐标系中，作出以下各点:A(4,0)，B(3，)，C(2，)，D(3，)( 424【思路探究】 建立极 极径坐标系――?作出极 极角角的终边――?以极点O为圆心， 以极径为半径 分别画弧―?点的 位置 【自主解答】 如图～A～B～C～D四个点分别是唯一确定的( 由极坐标确定点的位置的步骤: ?取定极点O, 作方向为水平向右的射线Ox为极轴, ? ?以极点O为顶点～以极轴Ox为始边～通常按逆时针方向旋转极轴Ox确定出极角的 终边, ?以极点O为圆心～以极径为半径画弧～弧与极角终边的交点即是所求点的位置( 在同一个极坐标系中，画出以下各点: π3π9A(1，)，B(2，π)，C(3，,)，D(4，π)( 4244 【解】 如图所示( 极坐标系的实际应用 某大学校园的部分平面示意图如图1,2,2所示( 图1,2,2 用点O、A、B、C、D、E、F分别表示校门、器材室、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标((限定ρ?0,0?θ,2π且极点为(0,0))( 【思路探究】 解答本题先选定极点作极轴～建立极坐标系～再求出各点的极径和极角～ 即可得出各点的极坐标( 【自主解答】 以点O为极点～OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)～建立极坐标系～如图所示( 由|OB|,600 m～?AOB,30?～?OAB,90?～得 |AB|,300 m～|OA|,3003 m～ 同样求得|OD|,2|OF|,3002m～ 所以各点的极坐标分别为 ππ(3003～0)～B(600～)～C(300～)～ O(0,0)～A62 3π3πD(3002～)～E(300～π)～F(1502～)( 44 在极坐标系中～由点的位置求极坐标时～随着极角的范围的不同～点的极坐标的表示也 会不同～只有在ρ,0～θ?[0,2π)的限定条件下～点的极坐标才是唯一的( 4ππ(1)若A(3，)，B(5，)，O为极点，求?AOB的面积; 36 37(2)在极坐标系中，A(2，π)与B(3，π)，求A、B两点间的距离( 44 【解】 14π15(1)S,×|3×5×sin(π,)|,. ?AOB2364 (2)A、B在极坐标系中的位置如图: 则|AB|,5. (教材第18页习题1—2A组第2题) 在极坐标系中，已知A(ρ，θ)，B(ρ，,θ)，C(,ρ，,θ)，D(,ρ，θ)，则点A和B、C 和D分别有怎样的相互位置关系, (2013?福州模拟)如图1,2,3，如果对点的极坐标定义如下:点 πM(ρ，θ)(ρ,0，θ?R)，关于极点O的对称点M′(,ρ，θ)(例如，M(3，)关于极点O的对3 πππ称点M′(,3，)，也就是说(3，，π)与(,3，)表示同一点( 333 图1,2,3 5π已知点A的极坐标是(6，)，分别在下列给定条件下，写出点A关于极点O的对称点3 A′的极坐标: (1)ρ,0，,π,θ?π; (2)ρ,0,0?θ,2π; 0，,2π,θ?0. (3)ρ, 【命题意图】 本题以极坐标系中点的对称为载体～主要考查极坐标系中点的极坐标的 确定～同时考查应用极坐标系解决问题的能力( 【解】 如图所示～ |OA|,|OA′|,6～ 2π?xOA′,～ 3 5π?xOA,～即A与A′关于极点O对称～由极坐标的定义知 3 2π(1)当ρ,0～,π,θ?π时～A′点的坐标为(6～), 3 5π(2)当ρ,0,0?θ,2π时～A′点的坐标为(,6～), 3 π(3)当ρ,0～,2π,θ?0时～A′点的坐标为(,6～,). 3 π1(在极坐标系中与点P(2，)表示同一点的是( ) 3 ππA((,2，) B((2，,) 33 4ππC((,2, ) D((,2，,) 33 【解析】 在极坐标系中将点P确定～再逐个验证知C正确( 【】 C π2(点P(2，)关于极轴的对称点的极坐标为( ) 3 π2πA((,2，) B((2，) 33 4π5πC((2，) D((2，) 33【解析】 在极坐标系中确定点P位置～再作出其关于极轴的对称点P′知D正确( 【答案】 D 3((2013?南阳模拟)关于极坐标系的下列叙述: ?极轴是一条射线; ?极点的极坐标是(0,0); ?点(0,0)表示极点; π5π?点M(4，)与点N(4，)表示同一个点( 44 其中，叙述正确的序号是________( 【解析】 设极点为O～极轴就是射线Ox～?正确,极点O的极径ρ,0～极角θ是任 意实数～极点的极坐标应为(0～θ)～?错误,给定极坐标(0,0)～可以在极坐标平面内确定唯 π5π一的一点～即极点～?正确,点M与点N的极角分别是θ,～θ,～二者的终边互为反1244 向延长线～?错误( 【答案】 ?? 4(已知边长为2的正方形ABCD的中心在极点，且一组对边与极轴Ox平行，求正方 形的顶点的极坐标(限定ρ?0,0?θ,2π)( 【解】 如图所示～由题意知|OA|,|OB|,|OC|,|OD|,2～ π3π?xOA,～?xOB,～ 44 5π7π?xOC,～?xOD,. 44 π3π5π7π?正方形的顶点坐标分别为A(2～)～B(2～)～C(2～)～D(2～)( 4444 一、选择题 π1(在极坐标系中，点M(,2，)的位置 ，可按如下规则确定( ) 6 πA(作射线OP，使?xOP,，再在射线OP上取点M，使|OM|,2 6 7πB(作射线OP，使?xOP,，再在射线OP上取点M，使|OM|,2 6 7πC(作射线OP，使?xOP,，再在射线OP的反向延长线上取点M，使|OM|,2 6 πD(作射线OP，使?xOP,,，再在射线OP上取点M，使|OM|,2 6 【解析】 当ρ,0时～点M(ρ～θ)的位置按下列规定确定:作射线OP～使?xOP,θ～ 在OP的反向延长线上取|OM|,|ρ|～则点M就是坐标(ρ～θ)的点～故选B. 【答案】 B 2(若ρ，ρ,0，θ，θ,π，则点M(ρ，θ)与点M(ρ，θ)的位置关系是( ) 1212111222A(关于极轴所在直线对称 B(关于极点对称 C(关于过极点垂直于极轴的直线对称 π角的直线对称 D(关于过极点与极轴成4 【解析】 因为点(ρ～θ)关于极轴所在直线对称的点为(,ρ～π,θ)～由此可知点(ρ～θ)11 和(ρ～θ)满足ρ，ρ,0～θ，θ,π～是关于极轴所在直线对称～故选A. 221212 【答案】 A ππ3((2013?商丘模拟)在极坐标系中，已知A(2，)、B(6，,)，则OA、OB的夹角为( ) 66 πA. B(0 6 π5πC. D. 36 π【解析】 如图所示～夹角为. 3 【答案】 C π5π4(在极坐标系中，若等边?ABC的两个顶点是A(2，)，B(2，)，那么顶点C的坐44 标可能是( ) 3π3πA((4，) B((23，) 44 C((23，π) D((3，π) 【解析】 如图～由题设～可知A～B两点关于极点O对称～即O是AB的中点( πππ3π5ππ7π又|AB|,4～?AOC,～C对应的极角为θ,，,或，,～即C点的极坐标可2424424 3π7π能为(23～)或(23～)～故应选B. 44 【答案】 B 二、填空题 5π5(点M(6，)到极轴所在直线的距离为________( 6 5π5π【解析】 依题意～点M(6～)到极轴所在的直线的距离为d,6×sin,3. 66【答案】 3 π6(已知极坐标系中，极点为O,0?θ,2π，M(3，)，在直线OM上与点M的距离为43 的点的极坐标为________( 【解析】 如图所示～|OM|,3～ π?xOM,～ 3 在直线OM上取点P～Q～ 使|OP|,7～|OQ|,1～ 显然有|PM|,|OP|,|OM|,7,3,4～ |QM|,|OM|，|OQ|,3，1,4. 点P～Q都满足条件( π4π且?xOP,～?xOQ,. 33 π4【答案】 (7，)或(1，π) 33 三、解答题 7(在极坐标系中作下列各点，并每组中各点的位置关系( πππ3511(1)A(2,0)、B(2，)、C(2，)、D(2，)、E(2，π)、F(2，π)、G(2，π); 642246 ππ55π(2)A(0，)、B(1，)、C(2，π)、D(3，π)、E(3，)( 44444【解】 (1)所有点都在以极点为圆心～半径为2的圆上( π(2)所有点都在与极轴的倾斜角为～且过极点的直线上( 4 π5π8(已知A、B两点的极坐标分别是(2，)、(4，)，求A、B两点间的距离和?AOB的36 面积( 【解】 求两点间的距离可用如下: 5ππ|AB|, 4，16,2×2×4×cos，,， 63 ,20,25. 1S,|ρρsin(θ,θ)| ?AOB12122 5ππ11|2×4×sin(,)|,×2×4,4. ,2632 πππ9(已知?ABC三个顶点的极坐标分别是A(5，)，B(5，)，C(,43，)，试判断?623 ABC的形状，并求出它的面积( 4ππππ【解】 ?C(43～)～?AOB,,,～ 3263 且|AO|,|BO|～所以?AOB是等边三角形～ |AB|,5～ 4ππ22|BC|, 5，，43，,2×5×43×cos，,， 32,133～ 2ππ22|AC|, 5，，43，,2×5×43cos，，， 36,133～ ?|AC|,|BC|～ ??ABC为等腰三角形～ 3133AB边上的高为43，5×,～ 22 1133653?S,×5×,. ?ABC224 教师备选 π710(在极坐标系中，B(3，)，D(3，π)，试判断点B，D的位置是否具有对称性，并求44 出B，D关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ?[0,2π))( π7π【解】 由B(3～)～D(3～)～ 44 π7π知|OB|,|OD|,3～极角与的终边关于极轴对称( 44 所以点B～D关于极轴对称( π7π设点B(3～)～D(3～)关于极点的对称点分别为E(ρ～θ)～F(ρ～θ)～ 112244 5π3π且ρ,ρ,3.当θ?[0,2π)时～θ,～θ,～ 121244 5π3π?E(3～)～F(3～)为所求. 44