最小值

最小值 一、两点一对称(修石油气管道问) 1(已知:A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M( (1)如图3,8，在l上求作一点M，使得, AM,BM ,最小; 作法: 图3,8 (2)如图3,9，在l上求作一点M，使得,AM,BM,最大; 作法: 图3,9 (3)如图3,10，在l上求作一点M，使得AM，BM最小( 图3,10 2yxbxc,，，在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过A(2， 1yx,，20)、B(4，0)两点，直线交y轴于点C，且过2 点Dm(8,)( (1)求抛物线的解析式; (2)在x轴上找一点P，使的值最小，求出CPDP， 点P的坐标; 1 二、一点两对称 1:已知:如图3,13，点M在锐角?AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作 一点Q，使得ΔPMQ的周长最小; 21.已知抛物线y=ax+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点。 (1)求此抛物线的解析式; (2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式; (3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物 线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A。求使点P运动的总路径最短的点 E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。 2 3 练习 1(已知:如图3,13，点M在锐角?AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求 作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小; 三(一点一平移一对称 2y,x，mx，n1.已知:抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，B(3，0)， 且经过C(2，-3)，与y轴交于点D， (1)求此抛物线的解析式及顶点F的坐标; (2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物于E点，求线段PE长度 的最大值; (3)在(1)的条件下，在x轴上是否存在两个点G、H(G在H的左侧)，且GH=2，使得 线段GF+FC+CH+HG的长度和为最小;如果存在，求出G、,的坐标;如果不存在， 说明理由。 2y,x，mx，n(1)抛物线过点B(3，0);C(2，-3) 3m+n=-9 2m+n=-7 ?m=-2,n=-3 2 ?y=x-2x-3 2?y=(x-1)-4 …………2分 ?顶点F坐标(1，-4)…… …………3分 (2) 设AC的解析式为:y=kx+b A(-1,0) C(2,-3) ? 0= -k+b -3=2k+b 解得:k=-1,b=-1 ?AC的解析式为:y=-x-1 ………………4分 设点P的横坐标为a,则P(a, -a-1)，E的横坐标为a, 4 2 ?E在抛物线上，故E(a,a-2a-3) 19222 ?PE=-a-1,(a-2a-3)=- a+a+2= -(a- )+ 24 ?-10( (m,2),0(m,2)，4,0 2?无论m为任何实数，一元二次方程总有两不等实根( x,mx，m,2,0 ?该二次函数图象与x轴都有两个交点( 2y,x,mx，m,2(2)解:?二次函数的图象经过点(3，6), 12 ? .解得 m,. 3,3m，m,2,62 132 ?二次函数的解析式为. y,x,x,22 y,xy,x,2(3)解:将向下平移2个单位长度后得到解析式为:. 1,,,2，yxx,，,1x,1，,,2,,2O 解方程组 得 ,,,132y,,1(3,,,(yxx2,,,y,,(22,1,2, 13132y,x,2 ?直线与抛物线y,x,x,的交点为A(,,)，B(1,,1)( 2222 7 13 ?点A关于对称轴的对称点是,点B关于x轴的对称点是. B'(1,1)x,A'(0,,)42 A'B'、的直线解析式为( 设过点y,kx，b 5,k,，3,,b,,，,,2 ? 解得 2,,3,,k，b,1(b,,(,,,253A'B'y,x,?直线的解析式为. 22 3A'B'?直线与x轴的交点为. F(,0)5 117与直线的交点为. x,E(,,)448 317则点、 为所求( E(,,)F(,0)485 5B'HA',1B'H,过点做，?，. B'H',AA'的延长线于点H'2 2922A'B'H在Rt?中，. AB,BH，AH,''''2 29AE，EF，FB,A'B'?所求最短总路径的长为,. 2 五、两点一平移(架桥问题) 2y,,x，bx，c1.已知:抛物线过点A(-1，0)、B(-2,-5),与y轴交于点C，顶点为D. (1)求该抛物线的解析式; (2)某直线过点A(-1，0)，且与抛物线只有一个交点，求此直线的解析式; (3)直线l过点C,且l?x轴,E为l上一个动点，EF?x轴于F(求使DE+EF+BF的和为最小值的E、F两点的坐标，并直接写出DE+EF+BF的最小值. 30. (1)根据题意,得: ,1,b，c,0, ,,4,2b，c,,5, 8 b,2,解得: ,c,3, ?所求抛物线的解析式为 2yxx,,，，23(-- (2)?若所求直线与y轴相交，设其解 析式为y=kx+m(k?0) ?直线过A(-1，0) ?m=k ?y=kx+k ?直线y=kx+k与抛物线 2yxx,,，，23只有一个交点 2?方程有两kxkxx，,,，，23 个相等的实数根 2x，(k,2)x，k,3,0即 方程 有两个相等的实数根 2??= k,8k，16,0 k,k,4? 12 -- ?直线的解析式为y=4x+4 ?若所求直线与y轴平行，所求直线为x=-1- 综上所述，所求直线的解析式为y=4x+4或x=-1 2yxx,,，，23 (3)抛物线的顶点坐标为D(1,4)，与y轴交点C(0，3)( 把点D(1,4)向下平移3个单位，得到D’(1,1),连结BD’交x轴于点 F,过点F作FE?直线l于E，则E、F两点为所求. 设直线BD’的解析式为:y=ax+n(a?0) ,2a，n,,5a,2,, 则 解得: ,,a，n,1n,,1,, ’的解析式为:y=2x-1 ?直线BD 1 ?直线BD’与x轴的交点F(,0)- 2 ?EF?x轴，EF=3 1 ?E(,3) 2 3，35 ?DE+EF+BF的最小值是. 9 练习 12yx,，2在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过A(2，0)、B(4，0)两点，直线yxbxc,，，2 交y轴于点C，且过点( Dm(8,) (1)求抛物线的解析式; (2)在x轴上找一点P，使的值CPDP， 最小，求出点P的坐标; 2(3)将抛物线yxbxc,，，左右平移，记 A'平移后点A的对应点为， B'点B的对应点为，当四边形的ABDC'' 周长最小时，求抛物线的 解析式及此时四边形周长的最小ABDC'' 值( 25(解:(1)依题意，得 420,，，,bc, ,1640.，，,bc, b,,6,,解得 ,c,8., 2yxx,,，68?抛物线的解析式是( …………………… 2分 (2)依题意，得 C(0,2)，D(8,6)( ………………………… 3分 作点C(0,2)关于x轴的对称点C'(0,2),，求直线的解析式为yx,,2，CD' (2,0)直线与x轴的交点即为P点(因此，P点坐标为( CD' ………………………………………………………………………… 4分 222yxx,,，68(3)左右平移抛物线，因为线段A′B′=2和CD=均8445，, 是定值，所以要使四边形A′B′DC的周长最小，只要使A′C+B′D的值最 小; …………………………………………………………………… 5分 因为A′B′=2，因此将点C向右平移2个单位得C(2，2)， 1 作点C关于x轴的对称点C，C点的坐标为 (2，-2)， 122 10 设直线CD的解析式为， ykxb,，2 将点C(2，-2)、D(8，6)代入解析式，得 2 22,kb，,,, ,86.kb，,, 4,k,,,,3解得 ,14,b,,.,3, 414?直线CD的解析式为( yx,,233 73?直线CD与x轴的交点即为B′点，可求B′(，0)，因此A′(，0)( 222 所以当四边形的周长最小时， ABDC'' 37212抛物线的解析式为，即( …… 6分 yxx,,，5yxx,,,()()422 22?A′C+B′D=CD=( ………………………………… 7分 6810，,2 245101245，，,，?四边形的周长最小值为( ABDC'' 2yax,如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上( (1) 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最 短，求出点Q的坐标; 2yax, (2) 平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2， 0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点( ? 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解 析式; ? 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 y A′B′CD的周长最短,若存在，求出此时抛物线的函数解A 8 析式;若不存在，请说明理由( 6 4 B 2 C D -4 x -2 O 2 4 -2 -4 (第24题) 12a,yax,【039】(1) 将点A(-4，8)的坐标代入，解得( ……1分 2 12yx,将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)， 2 11 则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)( ……1分 54直线AP的解析式是yx,,，( ……1分 33y A 8 44x,令y=0，得(即所求点Q的坐标是(，0)( ……1分 6 55 4 414(2)? 解法1:CQ=,-2-,=， ……1分 B 2 55C D -4 x Q -2 O 2 4 1142-2 yx,故将抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短， P 25-4 1142yx,，()此时抛物线的函数解析式为( ……1分 (第24题(1)) 25 12y yx,解法2:设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的A′ 8 2 6 坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐 4 标为A′′(-4-m，-8)( B′ 2 554C D yxm,，,直线A′′B′的解析式为( 要使A′C+CB′最短，-4 x -2 O 2 4 333-2 点C应在直线A′′B′上，将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析-4 14m,式，解得( 5A′′ (第24题(2)?) 1142yx,故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物25 1142yx,，()线的函数解析式为( ……1分 25 12yx,? 左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′2 CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短; y ……1分 A′ 8 第一种情况:如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不6 存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短(……1分 4 B′′ B′ 第二种情况:设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为2 C D A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)( -4 x -2 O 2 4 -2 因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)， -4 要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短( ……1分 点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，直线A′′B′′的解析式A′′ 55(第24题(2)?) yxb,，，2为(要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上， 22 16b,将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得(故将抛物线向左平移时，存在5 某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为 1162yx,，()(……1分 25 12