下限积分求导公式[宝典]
变上、下限积分求导公式
,(x)d,f(t)dt,f(,(x)),,(x) ,adx
bd
,f(t)dtf((x))(x),,,,,, ,()xdx
,(x)d
f(t)dt,,,f(,(x)),(x),,f(,(x)),(x), ,(x),dx
一、填空题答案
121、 2、,C ln(x,1)21sin,x
,12,3、2 4、 5、 ,2xf(x)2,
二、计算题(每题2分)
11、 dx,22xx,3
11111()()dx,d,,,d解: ,,,2222xxxx,3x,3x,3
11,t,则x,令 xt
12(13)d,t111t6(),,d,,dt,,dt,,2222原式x,,,,313131/3x,,t,tt,,,21(13)d,t ,,26,13,t
12 213,,,,t,C 6
211,, 13 ,,,,C,,3x,,
23x, ,,,C3x
x2、 edx,
2解、令 x,t,x,t,dx,2tdt
tttt则原式= e,2tdt,2td(e),2(e,t,edt),,,
tt,2te,2e,,C
x ,2e(x,1),C
2xlnxdx3、 ,
13,lnx(dx)解:原式 ,3
1133,xlnx,xd(lnx)] ,33
1132ln,xx,xdx ,33
1133ln,xx,x,C 39
,
2xcosxdx4、 ,0
,2,xd(sinx)解:原式 ,0
,,22xsinx,sinxdx= ,00
,,2=,cosx 02
, ,,12
ln22x35、 xedx,0
ln2212x22解:原式,令,则 ,xed(x)t,x,02
ln2ln2211xt22() 原式=xedx,tedt ,,0022
ln2ln211tt ,te,edt,0022
ln21tln2,= 1 =ln2,e02
21x6、 dx,220(1,)x
2解:令,则 xtdxtdt,,tan,sec
,,,,24tan1cos2111tt,,,,22444secsinsin2tdttdtdttt,,,,,,4,,,,,原式=000sec22284t,,0
2,x2ecosxdx7、 ,0
解,令原积分为I,则,利用分部积分法计算积分
222,,,2,xxxx2222,,Iexdxedxexxedxcossinsinsin*2,,,, ,,,,,0000
2x,2,,2222xx,,edxexxedxcos2cos2cos*,, =2 ,,,,,,000
4, =2 (1)4eI,,
24,,(1)e 所以I= 5
22三、抛物线,,与直线y=1所围成的图形(3分) y,xy,2x
解:所求面积如右图阴影部分所示:(首先可画出图形,这样方便解题)
两部分关于x轴对称,则
11y2A=2(y,)dy,2(1,)ydy,,0022
132222 ,2(1,),y,(2,2)2330
3四、求曲线及所围成的图形(3分) y,xy,x
解:所求面积如右图阴影部分所示:则先求出交点为(1,1)
13(x,x)dxA= ,0
13121542 = x,x,034120