数学与应用数学专业课程教学标准集

数学与应用数学专业课程教学集 福建师范大学数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业 2007年6月 1 目录 《高等数学A》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(1) 《高等数学B》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(6) 《高等数学C》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(11) 《高等数学D》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(14) 《线性代数A》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(17) 《线性代数B》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(19) 《概率论与数理统计》课程教学标准„„„„„„„„„„(21) 《解析几何》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„„(24) 《数学分析一》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(27) 《数学分析二》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(30) 《数学分析三》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(33) 《高等代数》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„„(36) 《复变函数论》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(41) 《常微分方程》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(45) 《数学实验与数学软件》课程教学标准„„„„„„„„„(48) 《实变函数论》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(50) 《近世代数》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„„(53) 《数值计算方法》课程教学标准„„„„„„„„„„„„(56) 《概率论基础》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(60) 2 《拓扑学》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„„„(63) 《数学教育学》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(67) 《计算机辅助教学》课程教学标准„„„„„„„„„„„(69) 《初等数论》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„„(72) 《中学数学解方法》课程教学标准„„„„„„„„„„(75) 《初等数学研究》课程教学标准„„„„„„„„„„„„(77) 《数学教育实验设计》课程教学标准„„„„„„„„„„(82) 《高等代数选讲》课程教学标准„„„„„„„„„„„„(86) 《数学分析选讲》课程教学标准„„„„„„„„„„„„(90) 《最优化方法》课程教学标准„„„„„„„„„„„„„(93) 《泛函分析初步》课程教学标准„„„„„„„„„„„„(96) 《数学教育专题选讲》课程教学标准„„„„„„„„„„(99) 3 《高等数学A》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 高等数学A是理科(非数学)本科专业学生的一门必修的重要基础理论课。通过本课程的学习，要使学生获得: 1、一元函数微积分学;2、向量代数与空间解析几何;3、多元函数微积分学;4、无穷级数(包括傅立叶级数);5、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 第二部分:教材与学习参考书 教材:《高等数学》(第五版)上、下册，同济大学数学教研组主编，高等教育出版社 参考书:1. 《数学分析》(第二版)上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社 2. 《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社 3. 《高等数学例题与习题》 同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社 第三部分:教学内容纲要和课时安排 本门课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。文中用黑体字排印的属较高要求，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用。其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。非黑体字排印的，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。其中，概念理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限与连续 1. 理解函数的概念及函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 2. 理解复合函数、反函数、隐函数的概念。 3. 掌握基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单应用问题中的函数关系式。 5. 理解数列与函数的极限、左极限与右极限的概念以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6. 掌握极限的性质及四则运算法则。 7. 掌握极限存在的两个基本判别准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8. 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。 9. 理解无穷小、无穷大的概念、性质及其关系，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求 极限。 10. 理解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、 最大值最小值定理和介值定理)。 二、一元函数微分学 1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义及物理意义， 4 理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，会求反函数的导数，掌握基本初等 函数的导数公式。 3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。 4. 会求平面曲线的切线方程和法线方程，会用导数描述一些物理量。 5. 会求分段函数的一阶、二阶导数。 6. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。 7. 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性， 8. 了解微分在近似计算中的应用，会求函数的微分。 9. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数 最大值和最小值的求法及其简单应用。 10. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 11. 了解柯西中值定理，会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。 12. 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会 描绘函数的图形。 13. 了解有向弧与弧微分的概念，了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径， 会求两曲线的交角。 14. 了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1. 理解原函数、不定积分的概念;掌握不定积分性质;掌握不定积分的基本公式;掌握 换元积分法与分部积分法。 2. 会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。 3. 理解定积分的概念;理解变上限定积分定义的函数及其求导公式。 4. 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握牛顿,莱布尼茨公式。 5. 掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6. 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 7. 掌握定积分的元素法;掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面 积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、 引力、压力及函数的平均值等)。 四、空间解析几何与向量代数 1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及表示;掌握向量的运算(线性运算、数量积、 5 向量积)，掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式 进行向量运算的方法。 2. 掌握平面方程和直线方程及其求法;了解两个向量垂直、平行的条件。 3. 理解曲面方程的概念;了解常用二次曲面的方程及其图形;了解空间曲线的参数方程 和一般方程。 4. 会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。 5. 会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 6. 会求空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程。 高等数学A(二) 五、 多元函数微分法及其应用 1( 理解多元函数的概念， 2( 理解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质; 3( 理解多元函数偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全 微分形式的不变性。 4( 了解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5( 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 6( 会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 7( 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。 8( 理解多元函数极值与条件极值的概念，会求多元函数的极值。了解求条件极值的拉格 朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。了解最小二乘法。 9( 了解二元函数的泰勒公式。 10( 了解向量函数与矢端曲线的概念，了解向量函数的导向量与微分的概念。 六、多元函数积分学 1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2. 掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法，掌握三重积分(直角坐标、柱面坐 标、球面坐标)的计算方法。 3. 理解两类曲线积分的概念、性质和相互关系，掌握计算两类曲线积分的方法。 4. 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件。 5. 了解两类曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系;掌握计算两类曲面积分的方 法. 6. 了解高斯公式、斯托克斯公;会用高斯公式计算曲面积分. 6 7. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、 曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等);会计算散度与旋度。 七、无穷级数 1. 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念;掌握级数的基本性质及收敛的 必要条件。 2. 掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件。 p, 3. 了解正项级数的比较审敛法和极限审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4. 了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。 xcosx5. 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;掌握，，，和eln(1，x)sinx ,(1，x)的麦克劳林展开式。 6. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 7. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性 质。 8. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件，了解幂级数在近似计算上的简单应用。 9. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会用根值审敛法。 10. 会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，会将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 会将定义在[,l,l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0,l]上的函数展开为正弦 级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式。 八、常微分方程 1( 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 2( 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。 3( 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 4( 了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。 5( 了解微分方程的幂级数解法。 6( 会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 (n),,,,,,y,f(x)7( 会用降价法解下列方程:，y,f(x,y)和y,f(y,y)。 8( 会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程;会求自由项为多项式、指数函数、正 弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二级常系数非齐次线性微分方程的特解和通 解。 7 9( 会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 10( 会用微分方程(或方程组)解决一些简单的应用问题。 学时分配 序号 内 容 理论课 习题课 小计 一 函数、极限、连续 22 二 一元函数微分学 24 三 一元函数积分学 28 四 向量代数与空间解几 16 五 多元函数微分学 16 六 多元函数积分学 35 七 无穷级数 16 八 常微分方程 23 总计 180 第四部分:教学方案简要说明 开课学期:第一学年(第一、二学期) 学时数:180学时(其中习题课约34学时)，周学时6。 学分数:12学分 适用专业:物理、电子、计算机、化学等对数学要求较高的专业。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2 学时)由教师统一布置作业，总量达到20余次，每次作业批改一半。 本课程采用闭卷考试方式。本课程总评成绩由期末成绩和平时学习情况以及期中考试成 绩三大部分构成。成绩的评定采用百分制。期期末成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占 总评成绩的20%， 平时学习情况10,。 制定者:李学鹏 校对者: 周哲彦 审定者:张圣贵 批准者:周哲彦 8 9 《高等数学B》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 高等数学课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课。通过本课程学习要使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本运算，在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 通过本课程的学习，使学生掌握一元函数微积分、向量代数和空间解析几何、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 第二部分:教材与学习参考书 教材:《高等数学》(第四版)上、下册，同济大学数学教研组主编，高等教育出版社 参考书:1. 《数学分析》(第二版)上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社 2. 《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社 3. 《高等数学例题与习题》 同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社 4. 《高等数学》，西安交大高等数学教研室编 第三部分:教学内容纲要和课时安排 本门课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。文中用黑体字排印的属较高要求，必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用。其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。非黑体字排印的，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。其中，概念理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。 (一)函数、极限、连续 1(理解函数概念 2(了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3(理解复合函数的概念，了解反函数的概念 4(掌握基本初等函数的性质及其图形。 5，会建立简单实际问题中的函数关系式。 6(理解极限的概念(对极限的ε-N、ε-δ定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求N或δ不作过高要求。) 7(掌握极限四则运算法则 8(了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)，会用两个重要极限求极限。 10 9(了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 10(理解函数在一点连续的概念。 11(了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 12(了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大、最小值定理)。 (二)一元函数微分学 1(理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。 2(会用导数描述一些物理量。 3(掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的公 式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 4(了解高阶导数的概念。 5(掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 6(会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 7(理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理。 8(了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。 9(理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。 10(会用导数判断函数图形的凹凸性;会求拐点;会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线)。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 11(会用罗必塔(L’Hospilal)法则求不定式的极限。 12(了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 13(了解方程近似解的二分法和切线法。 (三)一元函数积分学 1(理解不定积分和定积分的概念及性质。 2(掌握不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法。 3(会求简单的有理函数的积分。 4(理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newton)一莱布尼兹(Leibniz)公式。 5(了解广义积分的概念。 6(了解定积分的近似计算法(梯形法和抛物线法)。 7(掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。 (四)向量代数与空间解析几何 1(理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2(掌握向量的运算(线性运算、点乘法、叉乘法)，了解两个向量垂直、平行的条件。 3(掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方 4. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关题。 5. 理解曲面的方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转 轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 6(了解空间曲线的参数方程和一般方程。 7(了解曲面的交线在坐标平面上的投影。 (五)多元函数微分学 1(理解多元函数的概念。 2(了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。 3(理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。 4(了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 5(掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 6(会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 7(了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。 11 8(理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉 格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 (六)多元函数积分学 1(理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。 2(掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、 柱面坐标、球面坐标)。 3(理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4(会计算两类曲线积分。 5(掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 6(了解两类曲面积分的概念及高斯(Gauss)、斯托克斯(Stoles)公式并会计算两类曲面 积分。 7(会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、 质量、重心、转动惯量引力、功等)。 ’ (七)无穷级数 1(理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2(掌握几何级数和P一级数的收敛性。 3(了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法. 4(了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。 5(了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6(了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7(掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。 8(了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9(了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 x,e,sinx,cosx,Ln(1，x)和(1，x) 10(会利用，的麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单 函数间接展开成幂级数。 11(了解幂级数在近似计算上的简单应用。 12(了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄里克莱(Dirichlet)条件，会将定义在 (-,,,)和(-l,l)上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在(0，l)上的函数展开为 正弦或余弦级数。 (八)常微分方程 1(了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。 2(掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。 3(会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程并从中领会用变量代换求解方程的思想，会 解全微分方程。 (n)"'''y,f(x),y,f(x,y)和y,f(y,y)4(会用降阶法解下列方程: 5(理解二阶线性微分方程解的结构。 6(掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的 解法。 axaxP(x)e,e(Acos,x，Bsin,x) 7(会求自由项形如:的二阶常系数非齐次线性微分方程n 的特解。 8(会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。 三、若干补充说明 12 1(对于中学已经学过的有关内容，只需给予复习提高，不必再做详细讲解。不定式求 1x极限的训练，大部分可放在罗彼塔法则中进行。公式只需证x为正整lim(1，),e,,xx 数的情况。基本初等函数的连续性不必全证。要对连续函数在闭区间的性质作几何说 明。 0 2(极值点的判定限于用一阶或二阶导数。罗彼塔法则，可只证X->a时的型。 0 3(在讲有理函数积分时，对于化有理真分式为部分分式的问题，可以只提出结论而不 加证明，但必须通过例题把方法讲清楚。 4(在定积分应用中，应把重点放在培养学生运用微元分析建立积分表达式的能力上， 定积分在物理学中应用的具体例子可根据各专业的需要选择。 5(空间解析几何应以向量为主要工具，注意培养学生对向量的运用和空间图形的想象 能力。 6(二重积分化为累次积分的公式，以及二重积分的变量从直解坐标变换为极坐标的变 换公式，作几何说明即可。三重积分可作类似处理。重积分的应用着重于运用微元分 析法，具体例子可根据各个专业需要选择。 7(曲线积分要讲平面曲线与空间曲线的两种情形，但以平面曲线情形为主。 8(绝对收敛级数的性质讲解与否可灵活掌握。 9(变量置换法解一阶微分方法，可以齐次方程和伯努力方程为例着重说明通过变量置 换求解方程的思想。 10(线性微分方程解的结构，包括齐次与非齐次两种情形。对于非齐次项为两项之和的非齐次方程，应介绍其特解等于各相应项之中非齐次特解之和的方法。 四、学时分配 教学内容 讲课 习题课 小计 函数、极限、连续 12 4 16 导数与微分 8 4 12 中值定理与导数应用 8 4 12 定积分与不定积分 12 4 16 定积分应用 4 2 6 向量代数与空间解析几何 6 2 8 多元函数微分学 8 4 12 重积分 8 4 12 曲线积分与曲面积分 8 4 12 常数项级数、幂级数、傅里叶级数 12 4 16 常微分方程 10 4 14 96 40 136 第四部分:教学方案简要说明 开课学期:第一学年(第一、二学期) 学时数:140学时(其中习题课约40学时)，周学时4。 学分数:8学分 适用专业:地理、环境工程、生物等专业。 第五部分:课程作业与考核评价 13 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2学时)由教师统一布置作业，总量达到20余次，每次作业批改一半。 本课程采用闭卷考试方式。本课程总评成绩由期末成绩和平时学习情况以及期中考试成绩三大部分构成。成绩的评定采用百分制。期期末成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的20%， 平时学习情况10,。 制定者:张圣贵 校对者: 审定者: 批准者:周哲彦 14 《高等数学C》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 高等数学(C)课程是高等学校经济管理类专业学生必修的一门重要的基础理论课。使学生获得微积分(包括无穷级数和微分方程)的基本概念、理论和方法,为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定基础。培养学生的数学素质，具体地讲，要使学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。目的在于为培养我国需要的高素质创新人才服务。 第二部分:教材与学习参考书 教材: 经济应用数学基础(一)微积分(修订本).赵树嫄主编.中国人民大学出版社.1988年出版. 参考书:微积分(上、下).同济大学应用数学系编. 高等教育出版社. 2002年出版. 第三部分:教学内容纲要和课时安排 函数(4学时); 极限与连续(12+4学时); 导数与微分(14+4学时); 微分中值定理与导数的应用(12+4学时); 不定积分(12+4学时); 定积分及其应用(14+4学时); 无穷级数 (10+4学时); 多元函数微积分学(18+8学时); 常微分方程 (6+2学时) 1. 函数(4学时) 理解函数的概念;掌握函数的表示法;会画简单的分段函数的图形;会建立简单实际问题中的函数关系式。理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;了解函数 fx()与其反 ,1fx()函数 之间的关系(定义域、值域、图形);理解复合函数的概念;掌握基本初等函数的性质及其图形;理解初等函数的概念。 2. 极限与连续(12+4学时) 理解极限的概念;理解函数的左、右极限的概念;了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 掌握极限的性质和四则运算法则;掌握判断极限存在的两个准则，会用它们求极限;掌握利用两个重要极限求极限的方法。 理解无穷小和无穷大的概念;掌握无穷小的比较方法，会利用等价无穷小代换求极限;掌握无穷小和无穷大的关系。 理解函数的连续(一点处、区间)的概念;了解一点处左、右连续的概念;了解函数在一点连续和极限存在的关系;会判断函数间断点的类型;掌握初等函数在其定义区间上连续的性质。 理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理和介值定理，会在实际问题中应用这些性质。 3.导数与微分(14+4学时) 15 理解导数的概念;了解导数的几何意义，会求平面曲线在一点处的切线、法线方程;掌握可导性和连续性的关系;掌握基本初等函数的求导公式;掌握函数的四则运算求导法则和复合函数的求导法则，会求反函数的导数;了解左、右导数的概念，会求分段函数的导数。 理解高阶导数的概念，会求简单函数的 n 阶导数;掌握隐函数求导法，会用对数求导法。 理解微分的概念;掌握微分的运算法则，会求函数的微分;掌握可微与可导的关系;了解一阶微分形式不变性。 4.微分中值定理与导数的应用(12+4学时) 理解罗尔( Rolle )定理、拉格朗日( Lagrange )中值定理;了解柯西( Cauchy )中值定理;掌握用洛必达( L ' Hospital )法则求未定式极限的方法理解函数极值的概念;掌握用导数判别函数的单调性和求极值的方法;掌握求函数最值的方法和应用;会用导数判断函数图形的凸性和求函数图形的拐点;会求平面曲线的水平渐近线和铅直渐近线;会描绘简单函数的图形;了解一元函数微分学在经济中的应用:边际、弹性。 5.不定积分(12+4学时) 理解原函数和不定积分的概念及它们之间的关系;掌握不定积分的基本公式;掌握不定积分的性质;掌握不定积分的换元积分法和分部积分法;了解求有理函数不定积分的方法。 6.定积分及其应用(14+4学时) 理解定积分的概念;掌握定积分的性质及定积分的中值定理;理解定积分的几何意义;了解函数可积的充分条件。 理解变上限定积分所定义的函数的性质，会对其求导数;掌握微积分基本定理— Newton-Leibniz 公式;掌握定积分的换元积分法和分部积分法。掌握两种广义积分的概念;会计算广义积分。掌握用定积分求一些几何量的应用(平面图形的面积、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积等)。了解一元函数积分学在经济中的应用。 7 (无穷级数 (10+4学时) 理解数项级数收敛和发散的概念;理解收敛级数和的概念;掌握级数收敛的必要条件和级数收敛的基本性质;掌握几何级数与 p- 级数收敛与发散的条件;掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法;掌握交错级数的莱布尼兹判别法;了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念。 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;掌握幂级数运算规则，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数;了解函数展开成 Taylor 级数的充分必要条件;会把某些初等函数间接展开成幂级数。 8.多元函数微积分学(18+8学时) 理解空间直角坐标系;理解曲面与曲面方程的概念;了解常用的二次曲面方程及其图形;理解多元函数的概念;理解二元函数的几何意义;了解二元函数的极限和连续性的概念;理解二元函数偏导数和全微分的概念;掌握二元函数偏导数和全微分的求法;掌握二元复合函数一阶偏导数的求法;掌握隐函数的求导法则。 理解二元函数极值和条件极值的概念;掌握二元函数极值存在的必要条件和充分条件;会求二元函数极值;会用拉格朗日乘数法求条件极值;会求二元函数的最值，并会解决一些应用问题。 了解多元函数微分学在经济中的应用。 理解二重积分的概念;掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 16 9(常微分方程 (6+2学时) 理解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念;掌握可分离变量的一阶微分 ,,,,,方程、一阶线性微分方程、齐次微分方程的解法;会用降阶法解形如 ，， yfx,()yfxy,(,),,,的二阶微分方程;了解常数变易法;了解二阶常系数线性微分方程的解法。了yfyy,(,) 解微分方程在经济中的应用。 第四部分:教学方案简要说明 开课学期:第一学年(第一、二学期) 学时数:136学时(其中习题课约40学时)，周学时4。 学分数:8学分 适用专业:经济管理类专业等等专业。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2学时)由教师统一布置作业，总量达到20余次，每次作业批改一半。 本课程采用闭卷考试方式。本课程总评成绩由期末成绩和平时学习情况以及期中考试成绩三大部分构成。成绩的评定采用百分制。期期末成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的20%， 平时学习情况10,。 制定者:张圣贵 校对者: 审定者: 批准者:周哲彦 17 《高等数学D》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 高等数学(D)课程是高等学校文科类专业学生的必修课. 其目的在于改善文科学生的知识结构，完善文科学生的思维方式，提高文科学生的数学素质。使学生获得微积分的基本概念、理论和方法，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定基础。 第二部分:教材与学习参考书 1.文科数学基础.陈吉象.高等教育出版社，2003 年出版 2.大学文科高等数学.姚孟臣主编.高等教育出版社，1997年出版 3.大学文科数学.张国楚.高等教育出版社，2001年出版 第三部分:教学内容纲要和课时安排 函数(3学时);极限与连续(5+2学时);导数与微分(6+3学时);导数的应用(5+3学时) ;不定积分(5+3学时);定积分(5+3学时);积分的应用(5+3学时) 1.函数(3学时) 要求在复习中学函数知识的基础上加深理解函数概念. 掌握由已知函数产生新函数的方法--------函数的四则运算，函数的复合，反函数, 归纳出初等函数的概念. 扩展对函数种种实例的认识, 熟悉基本初等函数的图象. 结合图象理解函数的四种性态:奇偶性，周期性，单调性，有界性. 重点是掌握复合函数、分段函数与初等函数概念. 难点是复合函数的构成、复合函数的定义域与函数有界性概念. 2.极限与连续(5+2学时) 要求在中学数列极限的基础上掌握函数极限的直观意义和运算法则, 学会运用重要极限 18 计算一些函数或数列的极限, 理解无穷小量与无穷大量及其等价的意义, 掌握运用无穷小量等价计算极限的方法, 了解初等函数的连续性(初步了解极限概念的应用( 重点是掌握极限与无穷小量概念及极限的一般计算方法. 难点是无穷小量等价与函数连续性概念. 3.导数与微分(6+3学时) 要求深刻理解导数与微分的基本概念, 学会运用求导法则熟练计算初等函数的导数与微分, 并要求学习者了解导数与微分在有关变化率实际问题中的初步应用( 重点是掌握导数与微分的基本概念及其基本计算方法. 难点是复合函数的求导法则. 4.导数的应用(5+3学时) 要求掌握运用导数分析初等函数单调性与极值的方法， 并会分析解决几何与经济学中 0,简单的最值问题;掌握洛必达法则, 会解决，等不定式的简单极限计算( 0, 重点是掌握运用导数判定函数单调性与极值的基本方法，掌握洛必达法则. 难点是如何判断不可导点成为极值点的条件，判断极值的第二充分条件及运用洛必达法则的条件. 5 .不定积分(5+3学时) 要求掌握原函数与不定积分概念，熟悉基本积分公式表，并会运用两种换元法与分部积分公式求解简单可积初等函数的积分( 重点是掌握不定积分与微分运算的互逆关系及基本计算方法. 难点是两种换元方法与分部积分公式如何灵活运用. 6. 定积分(5+3学时) 要求掌握定积分概念及与不定积分的关系—微积分基本定理，会用换元法与分部积分公式计算简单可积初等函数的定积分，了解无穷区间上广义积分的数学意义，并会计算一些简单函数的广义积分( 重点是掌握由黎曼和来定义定积分的概念及微积分基本定理. 难点是理解黎曼和的极限及广义积分概念. 7. 积分的应用(5+学时) 包括不定积分与定积分的应用(要求掌握已知变化率求原函数的应用问题解法与可分离变量微分方程的解法，了解几种有用的数学模型(指数增长、学习、逻辑斯蒂模型)，还要求 19 学习者掌握定积分计算平面图形面积的方法，了解用于一般问题的定积分微元法与函数的平均值( 重点是学会用不定积分、定积分处理简单实际问题的基本思想及解决问题的计算方法. 难点是如何建立数学模型，应该通过几种具体模型的建立到解决的全过程去体会. 第四部分:教学方案简要说明 开课学期:第一学年(第二学期) 学时数:51学时，周学时3。 学分数:3学分 适用专业:文科类专业等。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(3学时)由教师统一布置作业，总量达到10余次，每次作业批改一半。 本课程采用闭卷考试方式。本课程总评成绩由期末成绩和平时学习情况以及期中考试成绩三大部分构成。成绩的评定采用百分制。期期末成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的20%， 平时学习情况10,。 制定者:苏维钢 校对者: 审定者:张圣贵 批准者:周哲彦 20 《线性代数A》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 线性代数是代数学的一门基础课程，作为《工程数学》的重要组成部分，它也是高等学校理工科各专业的一门重要的公共基础课。随着现代科学技术，尤其是计算机科学的发展，线性代数这门课程的作用与地位显得格外重要。通过教学，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，培养学生正确运用数学知识来解决实际问题的能力，并为进一步学习后续课程及相关课程打好基础。 掌握线性代数的基础理论与基本方法，包括矩阵、行列式、有序n元数组的向量空间、线性方程组、二次型、线性空间线与性变换等概念、性质与计算。 第二部分:教材与学习参考书 教材: 《线性代数》居余马等编著，清华大学出版社(第二版) 参考书:《线性代数》同济大学数学教研室编，高等教育出版社 第三部分:教学内容纲要和课时安排 1. 矩阵 掌握矩阵的概念，加法、数乘、乘法和转置等运算及其性质，分块矩阵及其运算，矩阵的初等变换与初等阵，矩阵可逆的条件及逆矩阵的求法，矩阵的秩及其求法,矩阵等价的标准形。 2. 方阵的行列式 掌握行列式的定义、性质与行列式按行(列)展开定理，二、三、四阶行列式以及简单的n阶行列式的计算方法。 3. 有序n元数组的向量空间 掌握有序n元数组(n维向量)的概念，n维向量的加法、数乘和内积等运算及其性质。掌握n维向量组的线性相关性及其判别法则，n维向量组的最大线性无关组，n维向量组的秩及其求法，有序n元数组的向量空间及其子空间, 基与维数及其求法。 4. 线性方程组 掌握Cramer法则，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件与线性方程组有解的充分必要条件，用行初等变换解线性方程组的方法，齐次线性方程组的基础解系与通解，线性方程组的解的结构与通解。 5. 矩阵的特征值与特征向量 掌握矩阵特征值与特征向量的概念及求法，相似矩阵的概念与性质，矩阵的可对角化条件，正交矩阵的概念与性质，线性无关向量组标准正交化的Schmidt方法，实对称矩阵正交相似于对角阵的求法。了解矩阵的Jordan标准形。 6. 线性空间与线性变换 掌握抽象线性空间的定义与性质，基、维数与坐标，基变换与坐标变换，线性空间的同构，欧氏空间与标准正交基，线性变换的定义与性质，线性变换的矩阵。 7. 二次型 掌握二次型的概念及其矩阵表示，二次型的标准形的概念，用正交的变量替换化二次型为标准形，用可逆的变量替换化二次型为标准形，二次型的正定性及其判别法，二次型秩的概念。 学时分配 序号 内 容 课 时 21 1 矩阵 10学时 2 方阵的行列式 8学时 3 有序n元数组的向量空间 10学时 4 线性方程组 8学时 5 矩阵的特征值与特征向量 8学时 6 线性空间与线性变换 10学时 7 二次型 10学时 8 机动 4学时 总计 68学时 第四部分:教学方案简要说明 开课学期:第一学年第二学期 学时数:68学时，周学时4。 学分数:4学分 适用专业:物理、计算机、电子信息、化学、地理、生物等理工科专业 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2 学时)由教师统一布置作业，总量达到20余次，每次作业批改一半。 本课程采用闭卷考试方式。本课程总评成绩由期末成绩和平时学习情况以及期中考试成 绩三大部分构成。成绩的评定采用百分制。期期末成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占 总评成绩的20%， 平时学习情况10,。 制定者:张圣贵 校对者: 审定者:张圣贵 批准者:周哲彦 22 《线性代数B》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 线性代数是代数学的一门基础课程，作为《工程数学》的重要组成部分，它也是高等学校理工科各专业的一门重要的公共基础课。随着现代科学技术，尤其是计算机科学的发展，线性代数这门课程的作用与地位显得格外重要。通过教学，使学生掌握线性代数的基本理论与方法，培养学生正确运用数学知识来解决实际问题的能力，并为进一步学习后续课程及相关课程打好基础。 第二部分:教材与学习参考书 教材:《线性代数》赵树源，中国人民大学出版社 参考书:《线性代数简明教程》居余马等编著，清华大学出版社 第三部分:教学内容纲要和课时安排 1、矩阵掌握矩阵的概念，加法、数乘、乘法和转置等运算及其运算性质，分块矩阵及其运算，矩阵的初等变换与初等方阵，矩阵可逆的条以件及逆矩阵的求法，矩阵的秩及其求法。了解矩阵等价关系的概念及等价标准形。 2、方阵的行列式掌握行列式的定义、性质与行列式按行(列)展开定理，掌握二、三、四阶行列式以及简单的n阶行列式的计算。 3、有序n元数组的向量空间掌握有序n元数组(n维向量)的概念，n维向量的加法、数乘和内积等运算及其性质，掌握n维向量组的线性相关性的概念以及线性相关性的判别法则，掌握向量组的等价关系的概念、向量组与矩阵的关系、最大线性无关组和秩的概念以及它们的求法。掌握有序n元数组的向量空间及其子空间、基、维数的概念以及基、维数的求法。 4、线性方程组掌握Cramer法则、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件与非齐次线性方程组有解的充分必要条件，掌握齐次线性方程组的基础解系与通解的形式和非齐次线性方程组的解的结构与通解的形式，掌握用初等行变换解线性方程组的方法。 5、矩阵的特征值与特征向量掌握矩阵特征值与特征向量的概念及求法、相似矩阵的概念、性质、矩阵与对角阵相似的条件、正交矩阵的概念与性质、正交变换的概念与性质，掌握线性无关向量组标准正交化的Schmidt方法、实对称矩阵正交相似于对角阵的求法，了解矩阵的Jordan标准形。 6、二次型掌握二次型的概念及其矩阵表示，用正交的变量替换化二次型为标准形，二次型的正定性及其判别法。了解二次型的秩的概念，用可逆的变量替换化二次型为标准形。 学时分配 序号 内容 课时 23 1 矩阵 10学时 2 方阵的行列式 6学时 3 有序n元数组的向量空间 8学时 4 线性方程组 8学时 5 矩阵的特征值与特征向量 8学时 6 二次型 8学时 7 机动 3学时 总计 51学时 第四部分:教学方案简要说明 开课学期:第一学年第二学期 学时数:51学时，周学时3。 学分数:4学分 适用专业:经济类、管理类专业。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(3 学时)由教师统一布置作业，总量达到10余次，每次作业批改一半。 本课程采用闭卷考试方式。本课程总评成绩由期末成绩和平时学习情况以及期中考试成 绩三大部分构成。成绩的评定采用百分制。期期末成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占 总评成绩的20%， 平时学习情况10,。 制定者:张圣贵 校对者: 周哲彦 审定者:张圣贵 批准者:周哲彦 24 《概率论与数理统计》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的一门数学学科，有着广泛的应用，是理工科)经济以及管理等本科各专业的一门重要基础理论课。通过本课程教学，使学生掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，初步学会处理随机现象的基本思想和方法，培养解决实际问题的能力。 第二部分:教材与学习参考书 教材:《概率论与数理统计》，浙江大学编，高教出版社 参考书:《概率论与数理统计》，同济大学数学系编，同济大学出版社 第三部分:教学内容纲要和课时安排 (一)概率论的基本概念 1. 理解随机事件、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 2. 理解事件频率的概念，概率的统计定义。 3. 理解古典概率的定义，会计算简单的古典概率。 4. 了解概率的公理化定义。 5. 掌握概率的基本性质及概率加法定理。 6. 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式，并学会运算和计算。 7. 理解事件的独立性概念，掌握(Bernoulli)概型。 (二)随机变量及其分布 1. 理解随机变量的概念、离散型随机变量及概率分布列的概念和性质。 2. 理解分布函数的概念和性质、连续型随机变量及概率密度的概念和性质。 3. 掌握二项分布、泊松(Poisson)分布、正态分布，均匀分布与指数分布。 4. 会求简单随机变量函数的概率分布。 (三)多维随机变量及其分布 1. 了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的联合分布函数、联合分布列、联合概率密度的概念和性质。 2. 了解二维随机变量的边缘分布及条件分布。 3. 了解随机变量的独立性概念。 4. 会求两个独立随机变量的函数(和、最大值、最小值)的分布。 (四)随机变量的数字特征 1. 理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算。 2. 会计算随机变量函数的数学期望。 3. 掌握二项分布、泊松分布、正态分布的数学期望与方差。了解均匀分布与指数分布的数学期望与方差。 4. 了解矩、相关系数的概念及其性质与计算。 (五)大数定律和中心极限定理 1. 了解切比雪夫不等式、切比雪夫定理和伯努利定理。 2. 了解独立同分布的中心极限定理和棣莫弗(Demoiver)-拉普拉斯(Laplace)定理。 (六)数理统计的基本概念 1. 理解总体、个体、样本和统计量的概念。 2. 了解直方图的作法。 3. 掌握样本均值、样本方差的计算。 4. 掌握 分布、t分布、F分布的定义，并会查表计算。 5. 了解正态总体的某些常用统计量的分布。 25 (七)参数估计 1. 理解点估计的概念，掌握矩估计法与极大似然估计法。 2. 了解估计量的评选标准(无偏性，有效性，一致性)。 3. 理解区间估计的概念，掌握区间估计的计算步骤，会求单个正态总体的均值与方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差与方差比的置信区间。 (八)假设检验 1. 理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。 2. 掌握单个和两个正态总体的均值与方差的假设检验。 学时分配 学 时安 排 序小内 容 理论课实验或习题上机课号 计 时 课时 时 1 概率论的基本概念 10 10 2 随机变量及其分布 10 10 多维随机变量及其3 8 8 分布 随机变量的数字特4 8 8 征 大数定律和中心极5 4 4 限定理 数理统计的基本概6 6 6 念 7 参数估计 10 10 8 假设检验 12 12 总 计 68 68 第四部分:教学方案简要说明 开课学期:第二学年第一学期 学时数:68学时(其中习题课约17学时)，周学时4。 学分数:4学分 适用专业:理工科各专业。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2学时)由教师统一布置作业，总量达到20余次，每次作业批改一半。 本课程采用闭卷考试方式。本课程总评成绩由期末成绩和平时学习情况以及期中考试成绩三大部分构成。成绩的评定采用百分制。期期末成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占 26 总评成绩的20%， 平时学习情况10,。 制定者:陈庆华 校对者: 柯俊斌 审定者:张圣贵 批准者:周哲彦 27 《解析几何》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《解析几何》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。本课程的目的是利用代数方法研究几何空间，即在坐标系下考虑几何对象，将其看作符合某些条件的点的集合，得到其方程，通过方程研究其形状和性质，特别是在直角坐标变换下保持不变的性质。为学习其它数学理论，如数学分析、高等代数、微分几何等课程打下基础;同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决解析几何问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。 教学时间安排在第一学期。由于在学习的过程中需要用到行列式、矩阵与线性方程组的相关知识，建议与高等代数同步学习。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由苏州大学吕林根、许子道等人编写的、高等教育出版社2001年出版的《解析几何》第三版一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、解析几何，周建伟，苏州大学出版社，2005 2、解析几何习题集，四川大学数学系 第三部分:教学内容纲要和课时安排 (一)理论教学部分 第一章 矢量与坐标 主要内容:在几何空间引入矢量，并定义了矢量的各种运算;研究矢量的线性关系与分解;从而在空间中引入坐标系，并研究矢量在坐标系中的运算规律及其性质。 本章主要学习矢量的基础知识及利用矢量分解定理建立坐标系的思想方法,为后继的数学课程奠定“基”的思维方法。这是数学研究中“化繁为简”的基本方法之一。本章内容是后继课程《高等代数》中向量空间概念的背景。 本章的主要教学内容(教学时数安排:14学时): ?1.1矢量的概念、线性运算、线性关系 ?1.2矢量的分解、标架与坐标 ?1.3矢量在轴上的射影、矢量的数性积 ?1.4行列式及其性质 ?1.5矩阵与线性方程组 ?1.6矢量的矢性积与混合积 ?1.7矢量的坐标计算、复习 第二章 轨迹与方程 28 本章介绍利用矢量的知识建立平面曲线方程、曲面方程及空间曲线方程的一般方法;并介绍了母线平行于坐标轴的柱面的方程。 本章主要学习如何将“数”与“形”结合起来(建立起几何图形的方程)。是后继课程中将“形”用“数”表示的思想基础。 本章的主要教学内容(教学时数安排:6学时): ?2.1平面曲线的方程 ?2.2曲面方程及母线平行于坐标轴的柱面的方程 ?2.3空间曲线的方程 第三章 平面与空间直线 本章主要介绍了空间中平面与直线方程的形式、求法及其相互位置关系。 本章的内容既是《解析几何》的主要内容，也是《数学分析》课程必不可少的基础知识，更是工科《高等数学》的必修内容。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?3.1平面方程、点与平面、平面与平面间的位置关系 ?3.2空间直线的方程 ?3.3点与直线、直线与平面、直线与直线之间的位置关系 ?3.4平面束方程 ?3.5复习 第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 本章主要介绍了几种常见的曲面方程，包括标准二次曲面方程及其中的两种直纹面。 本章不但学习具体的曲面方程的知识，更重要的是学习分析曲面形状的方法(平面截线法)、建立曲面方程的方法(建立曲线族，消去参数，得到曲面)及分析直纹面母线族的方法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时)。 ?4.1柱面、锥面 ?4.2旋转曲面、椭球面 ?4.3双曲面、抛物面 ?4.4单叶双曲面与双曲抛物面的直母线 ?4.5复习 第六章 二次曲面的一般理论 本章主要介绍了一般二次曲面的方程形式，二次曲面与直线、平面的相关位置关系;还介绍了二次曲面的分类及用不变量的方法化简二次曲面，从而判断二次曲面的类型及在坐标系中的位置。 通过本章的学习，主要掌握解决问题的方法。掌握求交集(交线、交点)的方法;掌握特征方程、特征根的思维方法;掌握透过现象看本质(不变量)的方法。 本章内容是后继课程《高等代数》中二次型概念的背景。 本章的主要教学内容(教学时数安排:16学时): ?6.1二次曲面的表示方法、与直线的相关位置、渐近方向与中心 ?6.2二次曲面的切线与切平面、径面与奇向 ?6.3二次曲面的主径面与主方向、特征方程与特征根 ?6.4二次曲面方程的化简与分类 ?6.5应用不变量化简二次曲面的方程(一) ?6.6应用不变量化简二次曲面的方程(二) 29 ?6.7应用不变量化简二次曲面的方程(三) ?6.8复习 (半期考与总复习各2学时) (二)实验部分 结合理论教学，本课程利用数学软件《Maple》强大的数学运算能力和绘图能力，学生通过使用数学软件能加强空间想象力，并初步掌握计算机辅助解决解析几何问题的基本方法和技能，体会计算机在解决数学及其应用上的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。 第一章 矢量的计算 利用《Maple》，计算矢量的和与各种乘积(2学时) 第二章 平面曲线 利用《Maple》，画出常见的几种平面曲线。(2学时) 第三章 直线与平面 利用《Maple》，用不同的方法画出直线与平面。(2学时) 第四章 空间曲线与曲面 用不同的方法，画出常见的空间曲线、曲面及曲面与曲面的交线并学会用动画演示。(6 学时) 第四部分:教学方案简要说明 理论教学课时计划是每周5学时，总约60学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合，把数学思想方法以及科学研究的有关方法直接或间接地引入课堂教学过程。教师可以根据专业的需要以及学生的学习情况，在教学过程中设计若干研究性或应用性题目供学有余力的学生课外去完成，目的是培养学生的研究能力和创新能力。 实验教学课时计划是每周1学时，总约12学时。教学采用先介绍《Maple》使用方法，后由学生自主实验，探讨如何使用计算机实现几何图形和解决其他与解析几何有关的问题。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2学时)由教师统一布置作业，总量应达到30余次，每次作业均要批改(座号单双号)。鼓励教师布置综合性较强的作业一至二次，由学生自主或分组完成。 本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)填充题:基本概念或基本计算、分析;(2)计算题:求解各种几何图形的方程;(3)理论分析证明题;(4)上机实验编程题 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时作业完成情况、半期考。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:吴健文 执笔 校对者: 龚家骧 30 审定者:龚家骧 批准者:周哲彦 《数学分析(一)》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《数学分析(一)》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的专业基础课程之一。本课程的目的是培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。通过系统的学习与严格的训练，使学生全面掌握数学分析的基本理论知识;培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力;具备熟练的运算能力与技巧;提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。 教学时间应安排在第一学期。建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决数学分析问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由复旦大学陈纪修，於崇华，金路等人编写的、高等教育出版社2000年出版的《数学分析》(上下册)一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、复旦大学数学系陈传璋等，《数学分析》(上下册)，高等教育出版社，1983年第二版。 2、北京大学数学系方企勤等，《数学分析》(1、2、3册)，高等教育出版社，1986。 3、华东师范大学数学系，《数学分析》(上下册)，高等教育出版社，1991年第二版。 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一章集合与映射 本章介绍集合的概念、运算、有限集、无限集、可列集、Descarte 乘积集合、 函数、初函函数、函数简单特性。 通过这一章的学习，学习者要掌握集合、映射与函数的概念，熟练掌握一元函数的定义表示及初等函数的定义，掌握函数的简单特性。掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。 本章的主要教学内容(教学时数安排:6学时): ?1.集合 ?2.映射与函数 第二章数列极限 本章介绍 实数系、确界与下确界、确界存在定理——实数系连续性定理。 数列、数列极限的定义、无穷小量，数列极限和性质，数列极限的四则运算。 无穷大量的意义、穷大量与无穷小量的关系、待定型、调数列、Stolz定理。 单调有界收敛定理、闭区间套定理、子列、收敛子列定理、基本列、Cauchy收敛定理、实数系的连续性和完备性等价。 31 本章为整个课程的基础，通过这一章的学习，学习者应理解实数系的连续性理论，了解连续性、完备性、紧性、列紧性在实数系中的一致性，理解实数理论的基本定理，掌握数列极限的定义、性质、四则运算，无穷大量，无穷小量、待定型，能使用确界原理、单调有界原理、区间套定理、收敛子列定理和Cauchy收敛定理进行一般基本的分析和应用。 本章的主要教学内容(教学时数安排:24学时): ?1.实数系的连续性 ?2.数列极限 ?3.无穷大量 ?4.收敛准则 第三章函数极限与连续性 本章介绍 函数极限 定义、函数极限的性质(唯一性、局部保序性、局部有界性、夹逼性)、函数极限的四则运算、函数极限与数列极限的关系(Heine定理) 、单侧极限、函数极限定义的推广、Cauchy收敛原理。 连续函数的定义、单侧连续、连续函数的四则运算、不连续函数类型、反函数连续性定理、复合函数的连续性。无穷小量的比较、高阶、同阶、等价无穷小量、无穷大量和比较、高阶、同阶、等价无穷大理、等价量、等价量的代换。 闭区间连续函数的有界性定义、最值性定理、零点存在定理、中间值定理、一致连续的概念、闭区间上连续函数的一致连续性。 通过这一章的学习，学习者应熟练掌握函数极限的定义、性质、四则运算、与数列极限的关系、单侧极限、Cauchy收敛原理、连续函数的定义、连续函数的四则运算、不连续点的类型、反函数的连续性、复合函数的连续性、无穷小量与无穷大量的阶、闭区间上连续函数的性质、理解一致连续的概念和闭区间上连续函数性质的证明。 本章的主要教学内容(教学时数安排:24学时): ?1.函数极限 ?2.连续函数 ?3.无穷小量与无穷大量的阶 ?4.闭区间上的连续函数 第四章微分 本章介绍 微分导出背景、微分的定义、导数的定义和微分的关系。 导数产生的背景、几何意义、单侧导数。 用定义求导数、求导的四则运算、反函数求导法则、基本求导公式。 复合函数求导法则——链式法则、一阶微分形式的不变性、隐函数、参数形式的函数求导。高阶导数的定义、运算、Leibniz公式、参数方程所确定函数的高阶导数、高阶微分的概念。 通过本章内容的学习，学习者要熟练掌握微分的定义、导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用、一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则、会应用Leibniz公式、理解和掌握复合函数求高阶导数的链式法则。 本章的主要教学内容(教学时数安排:24学时)。 ?1.微分和导数 ?2.导数的意义和性质. ?3.导数四则运算和反函数求导法则 ?4.复合函数求导法则及其应用 ?5.高阶导数和高阶微分. 第五章微分中值定理及其应用 32 本章介绍 极值、Fermat引理、Rolle定理、Lagrange中值定理、凸函数、二阶导数 与凸函数的关系、Cauchy中值定理。 各种 待定型极限、 Hospital法则。 Taylor公式及 其Lagrange型余项、Peano 型余项，Maclaurin公式、Taylor公式的应用、近似计算、 求极限、求曲线的渐进线方程。 判定极大值极小值的两个定理。函数最大值与最小值的 求法。 函数作图的步骤，具体作图的实例。 通过本章的学习，学习者要掌握微分中值定理、Taylor公式及其应用。熟练掌握 Hospital法则计算极限，学会极值的判定方法，会进行函数作图。 本章的主要教学内容(教学时数安排:24学时): ?1.微分中值定理 ?2.L,Hospital法则 ?3.Taylor公式及其应用 ?4.极点的判定与函数的最值 ?5.函数作图 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周6学时，总约102学时，教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课 程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合，把数学建模以及科学研究的有关思 想方法直接或间接地引入课堂教学过程。教师可以根据专业的需要以及学生的学习情 况，在教学过程中设计若干研究性或应用性题目供学有余力的学生课外去完成，目的是 培养学生的研究能力和创新能力。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学 强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2学时)由教师统一布置作业，总量达到约50次，每次作业均会批改(座号单双号)。鼓励教师布置综合性较强的作业二至三次，由学生自主或分组完成。 本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)是非题(2)填充题(基本概念或基本计算、分析)(2)计算题(3)理论分析证明题(4)应用题 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:苏维钢 执笔 校对者: 高进寿 审定者:苏维钢 批准者:周哲彦 33 《数学分析(二)》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《数学分析(2)》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。本课程的目的是培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。通过系统的学习与严格的训练，使学生全面掌握数学分析的基本理论知识;培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力;具备熟练的运算能力与技巧;提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。 数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。 教学时间应安排在第二学期。建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决数学分析问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由复旦大学陈纪修，於崇华，金路等人编写的、高等教育出版社2000年出版的《数学分析》(上下册)一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、复旦大学数学系陈传璋等，《数学分析》(上下册)，高等教育出版社，1983年第二版。 2、北京大学数学系方企勤等，《数学分析》(1、2、3册)，高等教育出版社，1986。 3、华东师范大学数学系，《数学分析》(上下册)，高等教育出版社，1991年第二版 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第六章 不定积分 本章主要介绍如何在只知道一个函数的微分或导数的情况下，将这个函数“复原”出来，即不定积分。同时介绍不定积分的若干最基本的概念，及求不定积分的基本公式;不定积分的换元法和分部积分法;化有理真分式为部分分式的方法;以及一些简单的有理式函数积分、简单的三角函数有理式、简单的无理函数积分的计算方法。 通过这一章的学习，学习者要理解不定积分的基本概念，熟练掌握不定积的基本公式;熟练掌握不定积分的换元法和分部积分法;掌握化有理真分式为部分分式的方法;掌握简单的有理式函数积分，会作简单的三角函数有理式及简单的无理函数积分。 本章的主要教学内容(教学时数安排:18学时): ?6.1不定积分的概念及运算法则 ?6.2换元法和分部积分法 ?6.3有理函数的不定积分及其应用 第七章 定积分 定积分的概念源于求曲边梯形的面积，其思想方法为:“分割，替代，求和取极限。”本章主要介绍定积分的概念和性质，Dauboux上、下和， 函数可积性的充分必要条件， 可 34 积函数类， 定积分性质,积分第一中值定理， 变限积分，原函数存在的充分条件，微积分基本定理，定积分的换元法和分部积分法以及定积分在几何上的应用。 通过本章的学习，学习者要理解和掌握定积分的概念和性质;熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法;理解定积分存在的充分必要条件，理解Dauboux上、下和;掌握函数可积性的判断条件，准确理解微积分基本定理;熟练掌握牛顿,莱布尼兹公式;掌握利用定积分求解平面图形的面积，曲线弧长，旋转体的体积及旋转曲面的面积。 本章的主要教学内容(教学时数安排:24学时): ?7.1定积分的概念和可积条件 ?7.2定积分的基本性质 ?7.3微积分基本定理 ?7.4定积分在几何中的应用 第八章 反常积分 由上一章的定积分知，其积分区间有限且被积函数有界，但在实际中经常会碰到不满足这两个条件，却确实需要求出某种形式的积分的情况，因此有必要突破定积分的限制条件，考虑积分区间无限或被积函数无界的积分问题，即反常积分。本章主要介绍无穷限反常积分和无界反常积分的概念以及其敛散性判别法。这些判别法主要有:非负反常积分比较判别法、Cauchy判别法，一般反常积分 Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 通过本章的学习，学习者要理解和掌握无穷限反常积分和无界反常积分的概念;掌握非负反常积分比较判别法、柯西判别法，无穷限反常积分 Abel 判别法和Dirichlet 判别法，知道无界反常积分Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?8.1反常积分的概念和计算 ?8.2反常积分的收敛判别法 第九章 数项级数 我们常会遇到无限个数相加的问题，那么这种“无限个数相加”是否一定有意义,若不一定的话，那要怎么来判别,有限个数相加时的一些运算法则对于无限个数相加是否继续有效,等等，这正是本章要介绍的数项级数的一些概念。同时为了给出数项级数的一些判别法，这里还介绍了上、下极限的概念。本章介绍数项级数的判别法有:正项级数的比较判别法、Cauchy判别法、D,Alembrt判别法、积分判别法、Raabe判别法和交错级数的判别法，还有一般级数 Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 通过本章内容的学习，要准确理解上、下极限的定义，并能计算数列的上、下极限;准确理解级数收敛、发散的概念及柯西收敛准则;熟练掌握正项级数的比较判别法、Cauchy判别法、D,Alembrt判别法、积分判别法、Raabe判别法和交错级数的判别法;理解级数绝对收敛与条件收敛的概念及其性质，知道条件收敛级数的Riemann定理和绝对收敛级数的Cauchy定理;掌握级数 Abel 判别法和Dirichlet 判别法;准确理解无穷限广义积分和无界广义积分与数项级数的关系。 本章的主要教学内容(教学时数安排:22学时)。 ?9.1上极限与下极限 ?9.2数项级数的收敛性 ?9.3正项级数 ?9.4任意项级数 第十章 函数项级数 本章将上一章的级数的概念推广到函数上去，即为函数项级数。本章介绍函数项级数点 35 点收敛和一致收敛的概念函数项级数的一致收敛的Cauchy收敛准则，及一致收敛的判别法，即:优级数判别、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。介绍了一致收敛函数项级数的三大性质定理，Dini定理。同时还介绍了最简单又最重要的函数项级数——幂级数，幂级数的收敛半径、收敛域，幂级数所定义的函数的分析性质，几个基本初等函数的幂级数展开式及函数展成幂级数。 通过本章的学习，准确理解函数项级数收敛和一致收敛的概念;熟练掌握函数项级数的一致收敛的优级数判别;理解函数项级数的一致收敛的Abel 判别法和Dirichlet 判别法;准确理解一致收敛函数项级数的三大性质定理，知道Dini定理;理解掌握幂级数的性质，掌握幂级数的收敛区间的求法;掌握函数展成幂级数的条件，熟练掌握几个基本初等函数的幂级数展开式;利用幂级数的性质掌握一些级数求和，知道W-氏逼近定理。 本章的主要教学内容(教学时数安排:28学时): ?10.1函数项级数的一致收敛性 ?10.2一致收敛级数的判别与性质 ?10.3幂级数 ?10.4函数的幂级数展开 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周6学时，总约102学时，教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合，把数学建模以及科学研究的有关思想方法直接或间接地引入课堂教学过程。教师可以根据专业的需要以及学生的学习情况，在教学过程中设计若干研究性或应用性题目供学有余力的学生课外去完成，目的是培养学生的研究能力和创新能力。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2学时)由教师统一布置作业，总量达到约55次，每次作业均会批改(座号单双号)。鼓励教师布置综合性较强的作业二至三次，由学生自主或分组完成。 本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)是非题(2)填充题(基本概念或基本计算、分析)(2)计算题(3)理论分析证明题(4)应用题 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:谢碧华 执笔 校对者: 审定者:苏维钢 批准者:周哲彦 36 《数学分析(三)》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《数学分析(三)》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修的重要基础课程，是《数学分析(一)》和《数学分析(二)》课程的继续。《数学分析》是数学专业的一门最重要的基础课和必修课，本课程的目的是为后继课程提供必要的知识，同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法。本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。因为它不仅是大学数学系学生进校后首先面临的一门重要课程，而且是大学本科乃是研究生阶段的很多后继课程在本质上都可以看作它的延伸、深化或应用，至于它的基本概念、思想和方法更可以说是无处不在。同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。 教学时间应安排在第三学期。这时，学生已学完《数学分析(一)》和《数学分析(二)》，这是学习《数学分析(三)》课程必要的基础知识。 第二部分:教材与学习参考书 本课程采用复旦大学数学系陈纪修、於崇华、金路编著的《数学分析》下册为教材。本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪教材，是复旦大学数学系以近20年中陆续多次出版的《数学分析》为基础，为适应数学教学面向21世纪进行改革的需要而编写的。 《数学分析(三)》主要包括下册内容有: Euclid空间上的拓扑、多元函数的微分学、重积分、曲线积分与曲面积分、含参变量积分等五章。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、数学分析(第三版)，华东师范大学数学系，高等教育出版社，2001 2、数学分析讲义(第三版)，刘玉琏，高等教育出版社，1992 3、数学分析(第二版)，陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中，高等教育出版社，19,, 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第十一章 ,uclid空间上的极限和连续 从本章开始，主要转向研究多元函数，多元函数的分析也是极限理论，连续性，可微性，可导性，可积性等，它们与一元函数的相应性质有紧密联系，又有很大区别，同学们要注意它们的本质上的异同( 通过这一章的学习，学习者要理解平面区域上的若干基本概念，多元函数(主要二元函数)的二次极限和二重极限的区别，及二元函数的连续性。本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性;难点是二元函数极限的讨论。 本章的主要教学内容(教学时数安排:12学时): ?11.1,uclid空间上的基本定理 ?11.2多元连续函数 ?11.3连续函数的性质 第十二章 多元函数的微分学 37 本章介绍多元函数(主要是二元函数)的微分，导数及其计算方法和其应用。 通过这一章的学习，学习者掌握偏导数和高阶偏导数的概念与计算;理解方向导数)梯度)切线与法平面的概念;掌握隐函数及多元复合函数的求导法则;无条件极值与条件极值的计算方法。本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用;难点是复合函数偏导数的计算及条件极值。 本章的主要教学内容(教学时数安排:20学时): ?12.1偏导数与全微分 ?12.2多元复合函数求导法则 ?12.3 Taylor公式 ?12.4隐函数 ?12.5偏导数在几何中的应用 ?12.6无条件极值 ?12.7条件极值问题与Lagrange乘数法 第十三章 重积分 本章介绍多元函数一个重要内容重积分，这和一元函函数很大的不同，是多元函数的重点内容。 通过这一章的学习，学习者掌握重积分与反常重积分的概念;掌握二重积分、三重积分及反常重积分的算法;理解二重积分与三重积分的变量代换。其中有向面积及微分形式这作为选学内容，由任课教师处理。重点是熟练掌握二重积分、三重积分及反常重积分的计算方法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:20学时): ?13.1有界闭区域上的重积分 ?13.2重积分的性质与计算 ?13.3重积分的变量代换 ?13.4反常重积分 ?13.5微分形式(选学) 第十四章 曲线积分、曲面积分与场论 本章介绍多元函数另二类积分——曲线积分和曲面积分。 通过这一章的学习，学习者掌握主要内容是:第一、二类曲线积分与曲面积分的概念;掌握利用Green公式、Gauss公式和Stokes公式计算曲线积分与曲面积分的方法;理解曲线积分与路径无关的条件;理解梯度、通量与散度、向量线、环量与旋度的概念。其中外微分和场论作为选学内容，由任课教师处理。本章重点:第一、二类曲线积分与曲面积分的计算及利用Green公式、Gauss公式和Stokes公式来计算这二类积分的方法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:20学时)。 ?14.1第一类曲线积分与第一类曲面积分 ?14.2第二类曲线积分与第二类曲面积分 ?14.3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式 ?14.4微分形式的外微分(选学) ?14.5场论初步(选学) 第十五章 含参变量积分 38 本章介绍含参变量的常义积分和反常积分的定义及分析性质。 通过这一章的学习，学习者掌握主要内容:熟练掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质;熟练掌握含参变量的反常积分的一致收敛的判别法及一致收敛积分的分析性质;掌握Beta函数和Gamma函数的性质、递推公式及二者之间的关系。 本章的主要教学内容(教学时数安排:18学时): ?15.1含参变量的常义积分 ?15.2含参变量的反常积分 ?15.3 Euler积分 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周6学时，总约108学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合，把分析以及科学研究的有关思想方法直接或间接地引入课堂教学过程。教师可以根据专业的需要以及学生的学习情况，在教学过程中设计若干研究性或应用性题目供学有余力的学生课外去完成，目的是培养学生的研究能力和创新能力。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2学时)由教师统一布置作业，总量达到50余次，每次作业均会批改(座号单双号)。鼓励教师布置综合性较强的作业一至五次，由学生自主或分组完成。 本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)选择题(或是非题):基本概念或基本计算、分析;(2)计算题:计算偏导数、重积分、二类曲线和曲面积分、参量积分、极值和条件极值;(3)理论分析证明题。 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:叶善力 执笔 校对者: 苏维钢 审定者:苏维钢 批准者:周哲彦 39 《高等代数》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《高等代数》课程是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性总是在一定条件下可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。尤其在计算机日益普及的今天，该课程的地位与作用更显得重要。通过学习本课程，使学生掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论，培养解决实际问题的能力，并为学习相关课程如常微分方程、近世代数、泛函分析等及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作打好基础。 教学时间应安排在第二学期与第三学期两个学期。由于高等代数是重点讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性。经过第一个学期的学习，学生已初步适应大学的学习方法，这对学习《高等代数》课程有一定的好处。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由北京大学丘维声编写的、高等教育出版社2002年出版的《高等代数》第二版上下两册书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、《高等代数》(第二版)，北京大学数学系代数小组， 高等教育出版社，1988 2、《高等代数》，陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南，福建教育出版社，1991 3、《高等代数原理与方法》，黄洛生，福建人民出版社，1994 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一章 预备知识 本章主要介绍了学习高等代数所必须的一些预备知识，同时统一了以后常用的一些记号。通过这一章的学习，学习者要充分理解这些预备知识及熟练掌握常用记号的应用。特别要对“初等变换”及记号加以重点关注，为进一步学习后续内容打好基础。 本章的主要教学内容(教学时数安排:5学时): ?1.1 记号 ?1.2 数域 ?1.3 Gauss消元法与矩阵的初等变换 第二章 行列式 本章首先通过求解中学所熟悉的二元线性方程组，引进了二阶行列式的概念。进而借助n元排列的概念介绍了一般n阶行列式的定义方法。在此基础上重点讲述了n阶行列式的性质及其各种常见的计算方法。计算行列式的主要思路是降阶，用按行、列展开公式来实现，但在展开之前往往先用性质对行列式作恒等变换，化简之后再展开。公式法、三角化法、递推法、拆项法、数学归纳法等都是常用方法。将每一行(列)加到第一行(列)、将每一行(列)均减去第一行(列)、逐行(列)相加减是一些常用的计算技巧。 通过本章的学习，学习者要深入理解行列式的定义与性质，领会行列式的展开法则，熟练掌握行列式的计算。 40 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?2.1 n元排列 ?2.2阶行列式的定义与性质 n ?2.3 行列式按行(列)展开 ?2.4 行列式计算方法 第三章 线性方程组 线性方程组的理论是线性代数中最基本的内容之一，结果十分完美，方法非常适用。它在理论上解决了线性方程组有解的判定，解的个数及求法，对中学数学有直接的指导意义。此外，它在本课程及数学的其它分支、生产实践及其它学科都有广泛应用。本章首先介绍了线性方程组的一些基础知识及求一类特殊线性方程组的Cramer法则。为了进一步讨论线性 n 方程组的结构，重点讲述了n维向量空间K及其理论。在此基础上深入讨论了线性方程组有解的判定及其解的结构。 通过本章的学习，学习者要理解消元法的基本理论，理解向量的相关性与矩阵的秩的概念，掌握向量组线性相关与线性无关的判定。以及矩阵的秩的求法，熟练掌握线性方程组有解判别法以及其解的结构。 本章的主要教学内容(教学时数安排:28学时): ?3.1 线性方程组的基础知识 ?3.2 Cramer法则 n?3.3 n维向量空间K ?3.4 向量组的线性相关性 ?3.5 向量组等价 ?3.6 向量组的秩 ?3.7 矩阵的秩、子空间的基与维数 ?3.8 线性方程组有解的判定 ?3.9 齐次线性方程组解集结构 ?3.10 非齐次线性方程组解集结构 第四章 矩阵理论初步(一) 矩阵是从线性方程组和其他许多事物中抽象出来。矩阵的理论不仅贯穿于高等代数 的各个部分，而且在数学的其他学科都广泛地应用。本章主要介绍矩阵的运算及其基本性质，同时归纳了几类特殊的n阶方阵。重点讲述了初等矩阵与初等变换的关系及其应用(求可逆矩阵的逆矩阵)，在此基础上引入了矩阵的相抵关系。最后讨论了分块矩阵及其应用。 通过本章内容的学习，要掌握矩阵的相关基本概念及运算法则，理解逆矩阵定义与性质，熟练掌握矩阵的初等变换这一矩阵论的核心内容与方法，理解相抵标准形的概念，掌握分块矩阵的运算，特别是块初等变换的计算。 本章的主要教学内容(教学时数安排:15学时)。 ?4.1 矩阵的运算 ?4.2 初等矩阵与初等变换 ?4.3 矩阵的相抵关系 ?4.4 n阶方阵 ?4.5 可逆矩阵 ?4.6 可逆矩阵的计算 ?4.7 分块矩阵 第五章 矩阵理论初步(二) 41 本章主要介绍了矩阵的秩的运算性质及其应用，并归纳以此为核心建立起来的行列式、 nn维向量空间K、线性方程组及矩阵论这四块之间的联系，从而使前面所学的内容形成一 n个有机的整体。重点讲述了矩阵相抵标准形的应用，同时还介绍了欧氏空间R、Schmidt正交化及正交矩阵的概念和相关性质。 通过本章的学习，要理解矩阵秩的方法及其应用，特别要清楚它与其它各块之间的关系，能够熟练地进行互相转换;掌握初等变换、相抵关系标准形的计算方法，理解矩阵相抵的等 n价分类、化标准形的思想方法。熟悉欧氏空间R与及正交矩阵的定义与性质，掌握Schmidt正交化方法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:17学时): ?5.1 矩阵的秩 ?5.2 矩阵相抵关系的进一步应用 n?5.3 欧氏空间R ?5.4 Schmidt正交化 ?5.5 正交矩阵 ?5.6 矩阵秩方法 第6章 二次型?矩阵的合同 本章主要研究数域K上n元二次型经过非退化替换化成于只含平方项的标准形问题。 介绍矩阵的合同关系，以及矩阵的成对初等行列变换法求标准形。对于实数域上的二次 型，研究其规范形和实对称矩阵的合同规范形。特别地，讨论了正定二次型和正定矩阵。 通过本章内容的学习，要掌握二次型化标准形的方法，实二次型的规范形，正定矩 阵的判定和性质。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?1. 二次型和它的标准形 ?2. 实二次型的规范形 ?3. 正定二次型与正定矩阵 第7章 多项式环 本章以研究一元多项式环K[x]的有关加法与乘法的等式(即研究K[x]的结构)为主线，首先讲了整除的概念和性质，讲了带余除法，讲了最大公因式与互素的概念和性质;然后讲了不可约多项式的概念和性质，唯一因式分解定理，重因式的概念和判别，接着分别决定了复数域、实数域上的所有不可约多项式，讲了有理数域上不可约多项式的判别。在讲完一元多项式环K[x]后，又讲了多元多项式环，着重讲了对称多项式;最后引进了域的概念，介绍了模p剩余类域。 通过本章内容的学习，要理解多项式的一般理论，和现代数学的观点:研究结构和态射(即保持运算的映射)。掌握多项式的带余除法，辗转相除法求最大公因式;掌握唯一分解定理，重因式和不可约多项式的判别等基本思想。 本章的主要教学内容(教学时数安排:30学时): ?1(一元多项式环 ?2(整除性，带余除法 ?3(最大公因式 ?4(不可约多项式，唯一因式分解定理 ?5(重因式 ?6(多项式的根，复数域上的不可约多项式 ?7(实数域上的不可约多项式 ?8(有理数域上的不可约多项式 42 ?9(多元多项式环 ?10(对称多项式 ?11(有限域 第8章 线性空间 本章介绍线性空间的定义和性质，以及线性相关和线性无关，极大线性无关组和向量组的秩，着重研究线性空间的结构;利用子空间来刻画线性空间的结构，着重介绍子空间的直和;从数域F上n维线性空间V与Fn有相同的性质，引出线性空间的同构;讲了商空间的概念及其维数公式。 通过本章内容的学习，要理解抽象的线性空间的理论，认识维数对于研究有限维线性空间的结构的重要作用;掌握证明的基本思想和一些重要的维数公式等。 本章的主要教学内容(教学时数安排:15学时): ?1(线性空间的结构 ?2(子空间及其交与和，子空间的直和 ?3(线性空间的同构 ?4(商空间 第9章 线性映射 讲述线性映射(包括线性变换和线性函数)的理论。首先从总体上研究线性映射的结构，接着又研究单个线性映射的结构，由一个线性映射决定的两个子空间:像与核;研究了数域F上n维线性空间V上的线性变换A的矩阵表示及其简单形式，着重是Jordan标准形。 通过本章内容的学习，要掌握线性映射的结构及其矩阵表示，线性变换的特征值和特征向量，特征子空间的分解，以及线性变换的Jordan标准形等。 本章的主要教学内容(教学时数安排:20学时): ?1(线性映射及其运算 ?2(线性映射的核与象 ?3(线性映射的矩阵表示 ?4(线性变换的特征值与特征向量 ?5(线性变换的不变子空间 ?6(Hamilton-Cayley定理 ?7(线性变换的最小多项式 ?8(幂零变换的结构 ?9(线性变换的Jordan标准形 ?10(线性函数与对偶空间 第10章 具有度量的线性空间 本章讨论如何分别在实数域、复数域、任意数域上的线性空间中引进度量概念，研究具有度量的线性空间的结构，并且研究保持度量的线性变换的性质。 通过本章内容的学习，要理解度量、双线性函数的概念和性质，掌握利用有限维子空间U及其正交补来刻画实内积空间的结构。 本章的主要教学内容(教学时数安排:15学时)。 ?1. 双线性函数 ?2. 欧几里得空间 ?3. 正交补，正交投影 ?4. 正交变换与对称变换 ?5. 酉空间 43 ?6. 正交空间与辛空间 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周5学时，总约75(第一学期)，90(第二学期)学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合，在整个教学过程中要注重数学思想方法. 即在传授知识的同时体现代数中的一些基本思想方法: 如从具体对象抽象出抽象对象, 理清具体与抽象对象之间的关系; 等价关系与分类的思想, 结构化思想, 同构思想, 态射(保持运算的映射)思想等。如果条件允许，尽可能多地介绍一些历史, 人物, 应用背景, 提高学生学习本课程的兴趣. 这需要教师平时积累相关素材。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课由教师统一布置作业，总量达到60余次，每次作业均全批全改。鼓励教师布置综合性较强的作业一至二次，由学生自主或分组完成。 本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)填空题:基本概念或基本计算、分析;(2)选择题:基本概念或基本性质及其简单应用;(3)计算题:行列式的计算、线性方程组解的判定及求法、可逆矩阵的计算、Schmidt正交化等;(4)理论分析证明题。 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:李长安 周德旭 执笔 校对者: 张圣贵 审定者:张圣贵 批准者:周哲彦 44 《复变函数论》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《复变函数论》课程是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是数学与应用数学专业的专业主干课程。 复变函数(主要是单复变函数)是十九世纪数学最独特，最富有成果的创造，它差不多统治了整个十九世纪的数学。在这个领域，数学家们进行了深刻，富有成效的研究，使复变函数逐渐发展成为一门相对成熟的学科，内容丰富而完美。现在复变函数已经深入到代数学、微分方程、概率统计、拓扑学和解析数论等数学分支。并且广泛应用于理论物理、电学、流体力学、空气动力学、弹性力学和自动控制等领域。 开设本课程的基本目的是使学生掌握复变函数的基本理论和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力，扩展学生视野，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。 教学时间应安排在第四学期。作为数学分析课程的一门后继课程，在教学过程中应注意复变函数论与数学分析在概念方法上的相似与联系、区别与发展，强调知识的系统性。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由四川大学编写的、高等教育出版社2004年出版的《复变函数论》第三版一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、钟玉泉，复变函数学习指导书，高等教育出版社，1998 2、孙清华，赵德修，新编复变函数题解，华中科技大学出版社，2001 3、余家荣，复变函数，高等教育出版社(第二版)，1992 4、郑建华，复分析，清华大学出版社，2000 5、方企勤，复变函数教程，北京大学出版社，1996 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一章 复数与复变函数 本章介绍的是复变函数的一些最基本的概念，是中学学习的复数相关概念的衔接和发展。首先引入复数域与复平面的概念，其次引入复平面上的点集、区域、Jordan 曲线以及复变函数的极限与连续等概念;最后还要引入复球面与无穷远点的概念。 通过这一章的学习，学习者要掌握复数的三种表示;区别辐角与主辐角;熟练掌握复数的四则运算，乘方、开方运算;对复平面上各种点集定义能够形象理解切实掌握;充分理解复球面和无穷远点与扩充复平面的对应。 本章的主要教学内容(教学时数安排:8学时): ?1.1复数 ?1.2复平面上的点集 ?1.3复变函数 ?1.4复球面与无穷远点 第二章 解析函数 本章研究复变函数的微分法。解析函数是一类具有某种特性的可微函数，是复变函数研 45 究的主要对象。首先引入判断函数可微和解析的主要条件——柯西,黎曼方程;其次，将实数域上熟知的初等函数推广到复数域上来，并研究其性质。 通过本章的学习，学习者要充分理解解析的定义;切实掌握柯西,黎曼条件及相关定理;充分掌握解析函数的等价刻画定理;了解若干初等解析函数，并能区分数学分析中相应初等函数间的异同;切实掌握采用限制辐角或割破平面的方法，来分出根式函数和对数函数的单值解析分支。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?2.1解析函数的概念与柯西-黎蔓方程 ?2.2初等解析函数 ?2.3初等多值函数 第三章 复变函数的积分 复变函数的积分(简称复积分)是研究解析函数的一个重要工具。解析函数的许多重要性质都要利用复变函数的积分来证明，例如，要证明“解析函数的导函数连续”及“解析函数的各阶导数存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，一般均要使用复积分 本章的重点是柯西积分定理，柯西积分公式及其推论，它们是复变函数论的基本定理和基本公式，以后各章都直接地或间接地与它们有关联。 通过本章的学习，学习者应充分掌握作为整个复变函数论基础的柯西积分定理(包括等价形式和两种推广形式);充分掌握柯西积分公式和柯西高阶导数公式，并能灵活应用;切实掌握解析函数的无穷可微性;充分理解解析函数与调和函数的关系，切实掌握从已知解析函数的实部(或虚部)求出它的虚部(或实部)的方法 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?3.1复积分的概念及其简单性质 ?3.2 柯西积分定理 ?3.3柯西积分公式及其推论 ?3.4解析函数与调和函数的关系 第四章 解析函数的幂级数表示法 级数也是研究解析函数的一个重要工具，把解析函数表为级数不仅有理论上的意义，而且也有实用的意义，例如，利用级数可以计算函数的近似值;在许多带有应用性质的问题中(如解微分方程等)也常常用到级数。本章将讨论把解析函数表示为幂级数的问题，在内容与结构上与数学分析中相应部分基本平行，在学习过程中应注意对比，温故而知新。 通过本章的学习，学习者应充分掌握复数项、复函数项级数的各种收敛性及判别准则;充分掌握幂级数敛散性，熟练掌握幂级数收敛半径的求法;掌握幂级数和函数的解析性;掌握泰勒定理，理解幂级数的和函数在收敛圆周上的情况;掌握一些初等函数的泰勒展开式，会用间接法把解析函数展开为幂级数;掌握解析函数零点的概念及具有零点的解析函数的表达式;掌握解析函数零点的孤立性与解析函数的唯一性定理;熟练掌握最大模原理及其推论。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时)。 ?4.1复级数的基本性质 ?4.2幂级数 ?4.3解析函数的泰勒展式 ?4.4解析函数零点的孤立性及唯一性定理 第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 用泰勒级数来表示圆形区域内的解析函数是很方便的，但是对于有些特殊函数，如贝塞 46 尔(Bessel)函数，以圆心为奇点，就不能在奇点领域内表成泰勒级数。为此，本章将建立挖去奇点的圆环或去心圆内解析函数的级数表示，这就是推广了的幂级数——洛朗级数。孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型，洛朗级数既可以是函数在孤立奇点去心领域内的级数展式，反过来，以它为工具就便于研究解析函数在孤立奇点去心领域内的性质。泰勒级数与洛朗级数都是研究解析函数的有力工具。 通过本章的学习，学习者应理解双边幂级数的敛散性及其和函数的解析性，掌握洛朗定理，理解洛朗级数与泰勒级数的关系，会用间接法把解析函数在孤立奇点邻域内展成洛朗级数;掌握孤立奇点的三种类型及其判别法，掌握施瓦兹引理，了解关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理和皮卡(大)定理;理解解析函数在无穷远点邻域内的性态，掌握无穷远点作为孤立奇点的分类及相应的判别法;掌握整函数的概念及其分类，了解亚纯函数的概念及其与有理函数的关系。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?5.1解析函数的洛朗展式 ?5.2解析函数的孤立奇点 ?5.3解析函数在无穷远点的性质 ?5.4整函数与亚纯函数的概念 第六章 留数理论及其应用 这一章是第三章柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数及罗朗级数都是研究解析函数的有力工具。第三章的柯西积分公式描述了解析函数在围线内部点处的值可以用它在围线上是值所确定的积分来表示，反过来，通过计算解析函数的值来代替围线上积分的计算就是留数定理的思想，因此留数定理可以看作是柯西积分公式在积分计算的应用上的延伸。此外应用留数理论，就有条件去解决“大范围”的积分计算问题，可以考察区域内函数的零点分布状况。 通过本章的学习，学习者应掌握留数在有限点及无穷远点的定义与留数定理，熟练掌握留数的求法，掌握无穷远点的留数的定义及其求法;熟练掌握应用留数定理进行三种类型实积分的计算方法; 掌握关于解析函数零点与极点个数的定理，掌握幅角原理、儒歇定理及其应用。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?6.1留数 ?6.2用留数计算实积分 ?6.3辐角原理及其应用 第七章 共形映射 前几章主要是用分析的方法，也就是用微分、积分和级数等来讨论解析函数的性质和应用。内容主要涉及所谓柯西理论;这一章主要是用几何方法来揭示解析函数的特征和应用。 ,,,,()z一个复变函数从几何观点看来，可以解释为从z平面到平面之间的一个变换，本章将讨论解析函数所构成的变换(简称解析变换)的某些重要特性，它在数学本身以及在流体力学、弹性力学、电学等学科的某些实际问题中，都是一种使问题化繁为简的主要方法，尤其是线性变换具有的特性使它在处理边界为圆弧或直线的区域的变换中，起着重要的作用。 通过本章的学习，学习者应理解并掌握解析变换的保域性、保角性;理解单叶解析变换的保形性;掌握线性变换的保形性、保交比性、保圆(周)性、保对称点性;熟练掌握线性变换，掌握并牢记三个典型的线性变换，这会给解题带来很大方便。 本章的主要教学内容(教学时数安排:6学时): 47 ?7.1解析变换的特性 ?7.2分式线性变换 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周4学时，总约64学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解、分析、应用及系统性。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2学时)由教师统一布置作业，总量达到30余次，每次作业均会批改(座号单双号)。鼓励教师布置综合性较强的作业一至二次，由学生自主或分组完成。 本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)判断题:基本结论和基本;(2)填充题:基本概念或基本计算、分析;(2)计算题:初等多值函数、积分、调和函数、洛朗级数、线性变换等;(3)理论分析证明题。 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:陈剑岚 执笔 校对者:陈剑岚 审定者:苏维钢 批准者:周哲彦 48 《常微分方程》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《常微分方程》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。本课程的目的是利用微积分的思想，结合线性代数，解析几何和普通物理学的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础;同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。 教学时间应安排在第四学期或第三学期。这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析和普通物理中的力学部分，这是学习《常微分方程》课程必要的基础知识。同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决微分方程问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由中山大学等人编写的、高等教育出版社1993年出版的《常微分方程》第二版一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群，高等教育出版社，1963 2、常微分方程讲义(第二版)，叶彦谦，人民教育出版社，1982 3、常微分方程讲义，周钦德、李勇，吉林大学出版社，1995 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一章 绪论 主要介绍如何根据科学定律和原理，并利用微积分的思想，解决实际问题所导出的若干常微分方程实例，如物体冷却过程、R-L-C电路、单摆等问题微分方程模型的建立。同时介绍常微分方程的若干最基本的概念。 通过这一章的学习，学习者要理解常微分方程的若干基本概念，特别要对“积分曲线”、“等斜线”、“方向场”等与几何意义有关的概念的理解，为进一步学习后续内容打好基础;初步掌握建立常微分方程模型的一般方法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:4学时): ?1.1微分方程:某些物理过程的数学模型 ?1.2基本概念 第二章 一阶微分方程的初等解法 本章介绍利用积分的方法求解一阶微分方程，通常称为初等积分法。微分方程研究的早期是以求解为主要目的,形成了以积分为主要手段的各种技巧和方法，促进了微分方程理论及其应用的发展，因此对这些经典的求解方法进行总结归纳仍然十分必要。本章以求解方法为主线对一阶方程进行分类，主要讲述六类典型方程(变量可分离方程、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性方程、伯努利方程、恰当方程)的解法，以及可化为典型方程求解的方程(包括一阶隐方程和高阶方程);同时给出不能用初等积分法求解的例子(黎卡提方程)。 49 通过本章的学习，学习者要理解和掌握求解一阶微分方程的基本方法，能够判断给定的方程的类型并用相应的方法求解;较好地掌握变量替换的技巧，增强解题的灵活性。 本章的主要教学内容(教学时数安排:12学时): ?2.1变量分离方程与变量变换 ?2.2线性方程与常数变易法 ?2.3恰当方程与积分因子 ?2.4一阶隐方程与参数表示 第三章 一阶微分方程解的存在定理 能够用初等方法求解的微分方程十分有限，因此，通过对微分方程(或定解问题)本身的分析(而并非通过求解)深入研究它的各种属性,在微分方程的理论和应用方面都具有重要的意义,由此形成的定性分析的思想奠定了近代微分方程理论发展的基础。本章介绍常微分方程理论的一些最基本(然而也是最重要的，贯穿本课程的后续内容)的结果:主要讲述关于初值问题解的存在性和唯一性的几个基本定理，解的延展定理，解对初值与参数的连续性和可微性。 通过本章的学习，初步体会微分方程理论研究的分析方法;掌握初值问题解的存在唯一性定理的结果及证明的方法(迭代算法的思想),理解解的延拓定理和解对初值和参数的连续依赖性和可微性定理;初步学会利用这些结论和方法，分析和研究某些具体问题。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法 ?3.2解的延拓 ?3.3解对初值的连续性和可微性定理 ?3.4奇解 第四章 高阶微分方程 本章以高阶线性微分方程的一般理论以及常系数高阶线性方程的求解为主要内容。线性微分方程被研究得较为彻底，形成了完整的理论体系，是进一步学习和研究非线性微分方程的基础，因此线性微分方程(包括微分方程组)的理论是本课程最主要的内容之一。本章主要介绍高阶线性微分方程解的结构，常数变易公式，刘维尔公式和常系数微分方程的解法。 通过本章内容的学习，要理解线性方程的一般理论，掌握证明的基本思想和一些重要的公式如常数变易公式、刘维尔公式等;掌握高阶方程的降阶方法，能够熟练地求解常系数线性方程。 本章的主要教学内容(教学时数安排:8学时)。 ?4.1线性微分方程的一般理论 ?4.2常系数线性方程的解法 ?4.3高阶线性方程的降阶和幂级数解法 第五章 线性微分方程组 简言之，微分方程组是含有多个未知变量及其相互关系(方程)的系统，在实际应用中是广泛出现的，因而是微分方程理论和应用研究的主要对象。本章介绍微分方程组的若干基本概念、矩阵记号、与高阶方程的关系以及初值问题解的存在唯一性定理;线性方程组的一般理论以及常系数线性方程组的求解，后者是本章的主要内容。 通过本章的学习，要理解微分方程组的有关概念、解的存在唯一性定理，特别要熟练向量和矩阵的表达方法;掌握线性方程组的一般理论;掌握利用矩阵指数函数求解常系数线性方程组的一般方法;理解高阶方程与方程组的关系，能够将线性方程组的有关结果推论到线性方程组上面去。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?5.1存在唯一性定理 50 ?5.2线性微分方程组的一般理论 ?5.3常系数线性微分方程组 第六章 非线性微分方程和稳定性 微分方程的定性和稳定性理论是近代微分方程研究的主要方向之一，也是常微分方程其他研究方向的基础，在力学、现代控制理论、空间技术等方面有着广泛的应用。本章介绍微分方程定性、稳定性理论的初步:轨线在相平面的性态、奇点分类及其稳定性、包括李雅普诺夫第二方法的基本结果等。 通过本章的学习，初步体会研究非线性微分方程的定性分析方法;所揭示的非线性问题的复杂性;以及非线性问题线性化的基本思想。掌握微分方程定性和稳定性的基本概念，奇点、极限圈的类型及其稳定性的判别;初步掌握利用二次型构造李雅普诺夫函数的方法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?6.1引言 ?6.2相平面 ?6.3按线性近似决定微分方程组的稳定性 ?6.4李雅普诺夫第二方法 ?6.5周期解与极限圈 ?6.6二次型V函数的构造与控制系统的稳定性 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周4学时，总约64学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合，把数学建模以及科学研究的有关思想方法直接或间接地引入课堂教学过程。教师可以根据专业的需要以及学生的学习情况，在教学过程中设计若干研究性或应用性题目供学有余力的学生课外去完成(2003级数学专业已做过尝试)，目的是培养学生的研究能力和创新能力。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2学时)由教师统一布置作业，总量达到30余次，每次作业均会批改(座号单双号)。鼓励教师布置综合性较强的作业一至二次，由学生自主或分组完成。 本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)填充题:基本概念或基本计算、分析;(2)计算题:求微分方程的通解或特解;(3)理论分析证明题;(4)应用题:实际问题的建模、求解。 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:周哲彦 执笔 校对者: 李学鹏 审定者:李学鹏 批准者:周哲彦 51 《数学实验与数学软件》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《数学实验与数学软件》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。本课程的目的是使学生掌握数学实验的基本思想和方法, 即不把数学看成先验的逻辑体系, 而是把它视为一门“实验科学”, 从问题出发, 借助计算机, 通过学生亲自设计和动手, 体验解决问题的过程, 从实验中去学习、探索和发现数学规律。同时，通过这门课的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，掌握数学软件Mathematica的使用。 教学时间应安排在第四学期或第七学期。这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析和普通物理，这是学习《数学实验与数学软件》课程必要的基础知识。同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用数学软件解决数学建模竞赛的考题，使学生进一步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由华东师范大学万福永、戴浩晖等人编写的，科学出版社2003年出版的《数学实验教程》一书作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、《数学实验》(李尚志、陈发来等，高等教育出版社); 2、《高等数学实验课讲义》(郭锡伯等，中国标准出版社) 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一章 Mathematica用法简介 主要介绍Mathematica的基本命令和强大的计算功能.通过这一章的学习，学习者要能运用Mathematica软件命令进行各种计算，如求方程或方程组的解、矩阵的运算、求极限、导数、积分等，初步掌握运用Mathematica软件命令画图，编写较简单的程序解决小问题。 本章的主要教学内容(教学时数安排:6学时): 第二章 数学实验 数学实验包括两部分主要内容: 第一部分是基础部分, 围绕高等数学的基本内容, 让学生充分利用计算机及软件的数值功能和图形功能展示基本概念与结论, 去体验如何发现、总结和应用数学规律。另一部分是高级部分,以高等数学为中心向边缘学科发散, 可涉及到微分几何, 数值方法, 数理统计,图论与组合, 微分方程, 运筹与优化等, 也可涉及到现代新兴的学科和方向, 如分形、混沌等。 实验一、特殊函数与图形: 学习使用 Mathematica 的一些基本功能来验证或观察得出微积分学的一些基本结论。例如:函数图象，导数的符号与函数的递增、递减、极值的关系，泰勒逼近，傅立叶逼近，无穷乘积逼近，e 的产生，调和级数与自然对数的关系等。 实验二、定积分的近似计算 : 主要研究定积分的三种近似计算算法:矩阵法、梯形法、抛物线法。 实验三、求代数方程的近似根(解): 介绍一些求方程实根的近似根的有效方法，了解对分法、迭代法、牛顿切线法求方程近似根的基本过程。 实验四、古典密码与破译: 52 在计算机上自己尝试加密和破译的一些基本方法和原理。 实验五、数字填图问题: 通过生活中几个常见的数字填图问题的探究，谈谈这类问题的逻辑推理解法和计算机解法。 实验六、求微分方程(组)的解: 主要研究微分方程(组)的数值解法(近似解)，重点介绍Euler折线法. 实验七、概率与频率: 利用计算机产生随机数的功能，模拟各种随机现象，通过观察这些现象总结和验证概率统计知识。 实验八、迭代与分形: 利用计算机迭代过程画分形图形，在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解。: 实验九、迭代与混沌: 从一个简单的二次函数的迭代出发，认识混沌现象及其所蕴涵的规律性。 实验十、吴消元法与初等几何定理的机器证明: 尝试将几何定理代数化并利用计算机证明的过程。的技巧，增强解题的灵活性。 本章的主要教学内容(教学时数安排:42学时): 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周5学时，其中学生上机2学时，总约80学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授与学生上机并重，把数学建模以及科学研究的有关思想方法直接引入课堂教学过程。 从问题出发组织教学内容，有意识让学生通过实验学会一些基本的方法, 但是并不以这些方法为线索组织课程内容，而是设计了一些能够引起学生兴趣的问题, 这些问题的引入不需很深的数学知识，便于入门，但这些问题具有深刻的内涵，包括科学发展历史上经典的数学问题，以及具有应用价值的问题。每个实验围绕解决一个或几个问题来展开, 教学生使用若干种方法来解决所给的问题, 在解决问题中学习和熟悉这些方法, 自己观察结果, 得出结论。并激发进一步学习的兴趣。 教师的教学手段应采用多媒体。课堂基本内容用计算机幻灯片显示, 而且在课堂上演示用计算机软件作出来的部分实验的结果(包括图形和计算结果等), 使课堂更生动, 教师的讲解更贴近学生的实验过程。对实验报告评讲时应尽量鼓励学生介绍和演示自己的实验结果。 第五部分:课程作业与考核评价 实验课评定成绩的主要依据是平时的实验报告和上机考试。实验报告主要是期中和期末的两份，若实验报告做的不理想则参加期末上机考试。实验报告评分的最基本标准是要自己动手, 要写上自己观察到的现象并进行分析。实话实说, 不能造假, 哪怕观察到的现象与预计不一致, 或者与理论推导的结果不一致, 也不能在实验报告中说假话, 而应当分析其原因, 找出改进的办法, 重做实验, 重新得出结论。对实验报告的更高的标准是创造性。对于有创造性的报告, 要给以高分作为鼓励。 制定者:李永青 执笔 校对者: 李永青 审定者:李永青 批准者:周哲彦 53 《实变函数论》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《实变函数论》课程，是我院数学与应用数学本科专业的必修课程，是数学分析课程的继续和提高，也是进—步学习其他课程(例如概率论、泛函分析、傅立叶分析等)的基础,是系统地培养数学及其应用人才的重要的专业主干课程之一。本课程的目的是培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。通过系统的学习与严格的训练，使学生全面掌握实变函数论的基本理论知识,掌握实变函数论的基本方法，使学生在实分析方面具有较强的分析和解决问题的能力。 实变函数论的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。在实变函数论的教学中，应强化实变函数论与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。 教学时间应安排在第五学期。建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决数学问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由华中科技大学胡适当耕等人编写的、高等教育出版社1999年出版的《实实变函数论》一书，作为本课程的主教材。 变函数论 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1.实变函数，周民强，北京大学出版社，1996年第二版 2.实变函数论，江泽坚、吴智泉，高等教育出版社，1994年第二版 3.实变函数与泛函分析基础，程其襄、张奠宙等，高等教育出版社，1988年第二版 4.实变函数与泛函分析(上册)，夏道行、严绍宗等，高等教育出版社，1985年第二版 5.实变函数论，那汤松，高等教育出版社，1958年 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一章集与点集 本章介绍集合的概念及其运算，应用集的对等引进了集的基数的概念，在中引进几种重要类型的点，并引进几种重要类型的点集，阐明它们的本质特征以及彼此之间的区别与联系，给出开集(闭集)的结构定理. 通过这一章的学习，学习者要学会求集合列的上、下极限;判断两集合的对等，求集合 GF,,的基数，判断集合的可数性，掌握开集、闭集、完备集、稠集、疏集、型集和型集的 CantorP概念及其性质，会求一个点集的内部、导集、闭包、边界;掌握集的结构和性质. 本章的主要教学内容(教学时数安排:14学时): ?1.1集合及其运算 ?1.2映射 54 ?1.3基数与可数性 nR?1.4中的点集 ?1.5开集的结构、连续性 n?1.6关于维点集的基本定理 第二章测度与可测函数 本章引进Lebesgue测度与抽象测度的概念，给出测度的主要性质;引进可测函数的概念，讨论可测函数的性质;讨论可测函数与连续函数之间的关系，给出可测函数的结构;讨论可测函数列的几种不同类型的收敛性概念及其相互关系。 通过本章的学习，学习者要掌握可测集和测度的概念及其性质;会求一些常见可测集的测度(例如:可数集的测度，区间和区域的测度等);测度的完备性;零测度集的概念及其性质;会判断一个集合的可测性;掌握可测函数的概念及其性质;重点掌握特征函数的性质;会判断一个函数是否可测函数;掌握可测函数列几种收敛性之间的关系(包括处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、几乎一致收敛、测度收敛) 本章的主要教学内容(教学时数安排:20学时): ?2.1 Lebesgue测度 ?2.2测度空间 ?2.3可测函数 ?2.4可测函数列的收敛性 第三章 Lebesgue积分 在测度论的基础上本章引进积分概念，给出积分的主要性质，给出三大积分收敛定理:Levi定理，Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理，建立积分与积分的联系. 通过本章的学习，学习者要掌握Lebesgue积分的定义(包括非负简单函数的积分、非负可测函数的积分、一般可测函数的积分)及其性质;会判断一个函数是否L可积;掌握三大积分收敛定理及其推论;掌握R积分与L积分之间的区别和联系;掌握 Fubini定理及其应用。 本章的主要教学内容(教学时数安排:22学时): ?3.1 Lebesgue积分的引入 ?3.2 Lebesgue积分的初等性质 ?3.3积分收敛定理 ?3.4与Riemann积分的联系 ?3.5Fubini定理 第四章 微分论 55 本章讨论单调函数的连续性与可微性,引进有界变差函数的概念，讨论有界变差函数与单调函数之间的关系,给出有界变差函数的主要性质,引进绝对连续函数的概念，讨论绝对连续函数的性质,给出积分的Newton-leibniz公式. 通过本章内容的学习，学习者要理解掌握单调增函数的连续性、可积性和可微性;有界变差函数的概念及其性质;会利用全变差的可加性和单调函数全变差公式来求一个函数的全变差;绝对连续函数的概念及其性质;会利用牛顿——莱布尼兹公式判断一个函数是否绝对连续;掌握几类函数之间的关系(包括连续可微函数、Lipschitz函数、绝对连续函数、有界变差函数、单调函数、连续函数). 本章的主要教学内容(教学时数安排:12学时)。 ?4.1单调函数 ?4.2有界变差函数 ?4.3绝对连续函数 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周4学时，总约68学时。以Lebesgue积分为中心，把实变函数论中最基实变函数论中本的内容讲深讲透。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合，把科学研究的有关思想方法直接或间接地引入课堂教学过程。教师可以根据专业的需要以及学生的学习情况，在教学过程中设计若干研究性或应用性题目供学有余力的学生课外去完成，目的是培养学生的研究能力和创新能力。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2学时)由教师统一布置作业，总量达到30余次，每次作业均会批改(座号单双号)。鼓励教师布置综合性较强的作业一至二次，由学生自主或分组完成。 本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)是非题(2)填充题(基本概念或基本计算、分析)(2)计算题(3)理论分析证明题(4)应用题。 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:苏维钢 执笔 校对者: 高进寿 审定者:钟怀杰 批准者:周哲彦 56 《近世代数》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《近世代数》又名《抽象代数》，是我院数学与应用数学专业的必修课程，是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。本课程的目的是:使学生学会和掌握近世代数的基础理论和方法，获得代数方面的基本训练，为进一步学习代数学的后继课程打下基础;并使学生对抽象代数的思想和方法有较深刻的认识, 提高抽象思维和逻辑推理的能力;同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生更有效地理解和掌握从中学数学开始的代数体系，能应用抽象代数的基本知识与方法去观察和反映客观世界, 培养与提高学生应用抽象代数理论分析问题和解决问题的能力。 教学时间应安排在第五学期或第六学期。因为这时候的学生已学完高等代数，初等数论并具备一定的集合论知识，从而具备了学习《近世代数》课程必要的基础知识。建议每章结束时为学生举办专题讲座,讲座内容与高中数学新课程标准中选修课的有关内容相结合,进一步理解抽象代数的相关概念与方法，也有利于部分学生毕业后到中学任教。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由丘维声编写的、高等教育出版社2003年出版的《抽象代数基础》一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者参考阅读以下几本重要的参考书: 1、 近世代数引论，冯克勤，李尚志，查建国，章璞， 中国科技大学出版社，2003. 2、 近世代数，吴品三，高等教育出版社，1984. 3、 Algebra, T.W.Hungerford，世界图书出版公司，1998. 4、 近世代数，辛林主编，当代中国出版社，2000. 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一章 群 群是被赋予一种代数运算并满足一些条件的集合。群这个概念的提出在代数学上具有划时代的意义，导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。在群这个概念提出以前，代数学的主要任务是求解各种类型的代数方程，而群的产生使得代数学转而研究各种抽象的“对象”的运算关系。本书的研究对象是群，环，域，而环和域都是具有两种代数运算的代数体系，因此本章的内容和方法是后两章的学习基础，本章的研究路线为其他代数结构的研究提供了依据。本章的主要内容是群的定义与例子，子群与正规子群，商群，群同态，群的作用以及几种特殊群(循环群，p-群，对称群，二面体群等)的结构。 通过这一章的学习，学习者要理解和掌握群论中的若干基本概念，基本结果以及研究手法，熟悉利用群同态,群的作用等来分析群的结构的方法,善于使用严密代数语言证明问题，要对几种常见群的结构有比较清晰的认识，比如循环群，剩余类群，对称群，p-群,二面体群等等.学习过程中要借助以前许多代数和几何中一些具体的例子来理解群论的概念和定理，抓住群同态这条主线，注意归纳群论中基本方法，并逐步培养和提高抽象思维、逻辑推理能力，为进一步学习后续内容打好基础。 本章的主要教学内容(教学时数安排:28学时): ?1.1 二元代数运算 ?1.2 集合的分类与等价关系 ?1.3群的定义和基本性质 57 ?1.4 群的典型例子 ?1.5群的同构，群的直积 ?1.6 群的同态，正规子群，商群，可解群 ?1.7 群在集合上的作用，群的自同构，轨道 ?1.8 Sylow 定理 第二章 环 环是实际问题中很常见的一种代数体系，它是定义了两个代数运算并满足一些条件的非空集合。本章前两节研究环，环同态以及理想，沿用上一章的研究思路，并且主要结果是上章相关结果的延伸;本章后两节主要研究在环论中具有重要地位的两种理想(素理想与极大理想)，以及具有类似于整数环的某些性质的交换环，如唯一因子分解整环，主理想整环，欧氏环。 通过本章的学习，学习者要理解和掌握环中的一些基本概念和结论，深刻比较环论与群论中相关联的概念和结论，善于利用环同态基本定理以及环的理想来分析环的结构，掌握唯一因子分解整环，主理想整环，欧氏环的基本性质，了解一些重要定理的应用，如中国剩余定理。学习者在学习过程中要时时参照整数环的性质，比较所研究的环与整数环在性质上有哪些异同点，并籍此培养发现问题、思考问题等方面的基本能力。 本章的主要教学内容(教学时数安排:18学时): ?2.1 环的类型和性质，理想 ?2.2 商环，环的同态，环的直和 ?2.3素理想和极大理想 ?2.4唯一因子分解整环，主理想整环，欧氏环 第三章 域 域是我们所熟悉的数域的推广，是一种特殊的环，因此本章是上一章的深化。本章的许多结论在其他数学分支有重要应用，比如有限域的一些结论在代数编码中有非常重要的应用，域的扩张理论是代数数论和代数几何的理论基础。本章主要研究域的基本理论(域的定义，特征，素域，有限域，分式域)，以及域扩张的基本理论(域扩张的定义，代数扩张，分裂扩张)，其中域扩张的Galois 理论起源于代数方程求解问题，是近世代数的精华部分。。 通过本章的学习，使学生掌握域的基本概念、域扩张的两种方法及其一致性，熟悉伽罗华域(即有限域)的结构及其在代数中的重要地位，理解域扩张的基本思想及其应用(如数系的扩充)，并提高综合运用知识和分析问题的能力。 本章的主要教学内容(教学时数安排:12学时): ?3.1域的定义，域的特征，素域 ?3.2有限域的构造，代数扩域 ?3.3域的扩张，分裂域 ?3.4分式域 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周4学时，总约64学时。教师可根据教学需要适当处理教材内容与顺序。本课程教学采用课堂讲授为主，并举办几次讲座，根据专业的需要以及学生的学习情况，在教学过程中设计若干研究性或启发性题目供学有余力的学生课外去完成，目的是培养学生独立研究问题的能力。本课程应注重严密思维的训练和逻辑推理能力的培养，因此不主张以多媒体教学为主的教学模式。课程教学强调理解与分析。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程的主要特点是抽象程度很高，概念很多，必须要求学生自主完成较多的题目才能 58 较好地达到课程教学目的，一般每次课(2学时)由教师统一布置作业，总量达到30余次，每次作业均会批改(可只批改一半左右)。鼓励教师布置少量难度较高的作业，让在代数方面有专长的学生脱颖而出。 本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)填充题(2)计算题(3)证明题。 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时作业完成情况、考勤情况、半期考。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:陈正新 执笔 校对者: 辛林 审定者:张圣贵 批准者:周哲彦 59 《数值计算方法》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《数值计算方法》课程，是我院信息与计算科学、数学与应用数学及计算机本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才、计算机人才的重要的专业基础课程之一。本课程的目的是利用数值分析的思想，结合高等数学、线性代数的知识，来研究怎样结合现代计算机科学与技术为解决科学与工程中遇到的各类数学问题提供算法;通过这门课程的学习使学生掌握数值分析的基本概念和数值求解数学问题的基本方法，并通过上机实习为数值分析的进一步学习和解决科学与工程中的实际问题打好基础，且为他们学习后继课程提供必要的知识;同时，通过这门课的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些数值解决方法，也为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。 教学时间应安排在第五学期或第六学期。这时，学生已学完线性代数，学完数学分析或高等数学，这是学习《数值计算方法》课程必要的基础知识。同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件如matlab解决数值分析问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由湘潭大学傅凯新、黄云清、舒适编写的、湖南省科学技术出版社2002年6月出版的《数值计算方法》一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，拓宽视野，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、现代数值计算方法，肖筱南、赵来军、党林立，北京大学出版社，2003; 2、计算机数值方法(第二版)，施吉林、刘淑珍、陈桂芝，高等教育出版社，1999; 3、数值计算引论，白峰杉，高等教育出版社，2004; 4、数值逼近，黄友谦，李岳生，高等教育出版社，1987。 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一章 引论 主要介绍计算机中数的浮点表示，误差的基本概念，算法的数值稳定性。 通过这一章的学习，要了解计算机中数的浮点表示，掌握近似数的绝对误差、相对误差与有效数字的概念;近似数运算中应注意的问题;掌握数值稳定的算法的概念。 本章的主要教学内容(教学时数安排:4学时): ?1.1 数值计算方法和它的主要内容; ?1.2 计算机中数的浮点表示; ?1.3 误差的基本概念; ?1.4 算法的数值稳定性。 60 第二章 多项式插值 本章介绍代数多项式插值、差商、牛顿插值多项式、埃尔米特插值、分段多项式插值、样条函数插值、B-样条及其性质。 通过本章的学习，要掌握代数多项式插值的存在唯一性与误差估计问题;多项式插值的两种表示法——Lagrange插值多项式与Newton插值多项式;Hermite插值问题;样条函数的两种表示法(截断幂函数的表示和B—样条函数表示);三次样条插值的三弯矩方法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:15学时): ?2.1 代数多项式插值; ?2.2 差商、牛顿(Newton)插值多项式; ?2.3 埃尔米特(Hermite)插值; ?2.4 分段多项式插值; ?2.5 样条函数插值; ?2.6 B样条函数及其性质。 第三章 最佳逼近及其实现. 本章主要介绍最佳一致逼近多项式、内积空间的最佳逼近、最佳平方逼近与正交多项式、数据拟合的最小二乘法。 通过本章的学习，要掌握最佳一致逼近(低次)多项式的计算;切比雪夫多项式的定义和应用;最佳平方逼近多项式的计算;数据拟合的最小二乘法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?3.1 最佳逼近问题的提出; ?3.2 线性赋范空间的最佳逼近及存在性定理; ?3.3 最佳一致逼近多项式; ?3.4 最小偏差于零的多项式—Chebyshev 多项式; ?3.5 内积空间的最佳逼近 ; ?3.6 最佳平方逼近与正交多项式 ; ?3.7 数据拟合的最小二乘法; ?3.8 周期函数的最佳逼近与快速富氏变换。 第四章 数值积分方法与数值微分 本章主要介绍 Newton—Cotes求积公式、复化求积公式、基于复化求积公式的高精度求积算法、Gauss型求积公式、数值微分。本章内容是本课程的重点内容之一。 通过本章内容的学习，要掌握构造内插型求积公式的方法;数值求积公式的代数精确度问题;Gauss型求积公式的构造和性质;插值型数值微分公式 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时)。 ?4.1 引言; ?4.2 Newton-Cotes求积公式; ?4.3 复化求积公式; ?4.4 基于复化梯形公式的高精度求积算法; ?4.5 Gauss 型求积公式; ?4.6 奇异积分计算; ?4.7 数值微分。 61 第五章 线性代数方程组的解法 本章主要介绍Gauss消去法、矩阵的三角分解与Gauss消去法的变形、向量与矩阵的范数、迭代方法、共轭梯度方法。 通过本章的学习，要掌握Gauss消去法和矩阵的三角分解;解三对角方程组的追赶法;向量和矩阵的范数;Jacobi迭代法与Gauss—Seidel迭代法的收敛性问题;共轭向量系与共轭梯度法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:15学时): ?5.1 Gauss消去法、 矩阵分解; ?5.2 Gauss 消去法的变形; ?5.3 向量和矩阵的范数 ; ?5.4 扰动分析、 Gauss 消去法的舍入误差; ?5.5 迭代方法; ?5.6 共轭梯度法。 第六章 矩阵特征值问题的数值解法 本章主要介绍 求矩阵特征值的乘幂方法、矩阵的约化、求对称矩阵特征值的二分法以及QR方法。 通过本章的学习，要掌握特征值的估计问题;幂法的基本思想与计算格式;Householder矩阵及它在约化矩阵中的应用;Sturm序列与计算实对称矩阵特征值的二分法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?6.1 特征值的估计与扰动问题; ?6.2 求矩阵特征值的乘幂法; ?6.3 矩阵的约化与Householder矩阵的正交变换; ?6.4 求实对称矩阵特征值的二分法; ?6.5 QR 方法。 第七章 非线性方程数值解法 本章主要介绍 求根的闭区间套方法、简单迭代法、牛顿迭代法、割线法、高次代数方程求根。 通过本章的学习，要求掌握简单迭代法的收敛性问题;Newton迭代法及其应用;Aitken Δ2加速过程;迭代法的收敛速度问题。 本章的主要教学内容(教学时数安排:6学时): ?7.1 求根的闭区间套法; ?7.2 简单迭代法; ?7.3 牛顿(Newton)迭代方法; ?7.4 割线法; ?7.5 Aitken Δ2 加速过程; ?7.6 代数多项式方程求根; ?7.7 非线性方程组。 第八章 常微方程数值解 62 本章主要介绍Euler方法、线性多步法、Runge-Kutta方法、边值问题数值解法。 通过本章的学习，要掌握初值问题数值解法的相容性、收敛性与稳定性问题;线性多步法的构造;数值稳定性问题;Runge—Kutta方法的基本思想与构造;用差分方法求解常微分方程边值问题;常系数差分方程的解法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?1 引论; ?2 Euler 方法; ?3 线性多步法; ?4 线性多步法的进一步讨论; ?5 Runge-Kutta 方法; ?6 刚性问题简介; ?7 边值问题的数值方法。 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周4学时，总约64学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合，把数学建模以及科学计算的有关思想方法直接或间接地引入课堂教学过程。教师可以根据专业的需要以及学生的学习情况，在教学过程中设计若干应用性题目供学有余力的学生课外去上机完成，目的是培养学生的应用能力和创新能力。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2学时)由教师统一布置作业，总量达到30余次，每次作业均会批改(座号单双号)。鼓励教师布置应用性较强的作业一至二次，由学生自主或分组完成。 本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 试卷结构为计算题50%、证明题30%， 其它题20%。 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:肖 蓬 执笔 校对者:胡丽莹 审定者:张圣贵 批准者:周哲彦 63 《概率论基础》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《概率论基础》课程是数学与应用数学本科专业的基础课程，是系统地培养数学与应用数学人才的重要基础课程之一，是进一步学习诸如《数理统计》和《随机过程》等随机数学理论的前提和基础。概率论是一门从数量角度研究随机现象内在规律性的学科;而无论是自然科学还是人文科学都需要对客观世界中无时不有、无处不在的随机现象加以研究。因此，概率论在自然科学、经济学、管理科学等等许多领域有举足轻重的应用。通过对本课程的学习，使学生正确掌握概率论的基本思想和方法，培养他们运用概率与数理统计的方法去分析和解决有关实际问题的能力，并为今处理的后学习后续课程打下必要的基础。。 教学时间应安排在第五学期。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由庄兴无、林火南等编写的《概率论基础》一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下两本重要的参考书: 1、王梓坤，概率论基础及其应用, 科学出版社，1976 2、李贤平，概率论基础，人民教育出版社，1979 3、苏 淳，概率论，科学出版社，2004 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一章 随机事件与概率 从研究随机现象入手，引入样本空间和随机事件。探讨随机事件的频率稳定性，通过研究两类最简单的等可能模型:古典概型、几何概型引入概率的公理化定义，并进一步讨论概率的基本性质。 理解随机事件、基本事件和样本空间的概念。熟悉事件之间的关系及运算规律;理解随机事件的频率概念。知道概率的统计定义以及公理化定义;能正确掌握运用古典概型、几何概型知识解决实际问题。掌握概率的基本性质以及运用它们进行概率的运算; 本章的主要教学内容(教学时数安排:18学时): ?1.1 随机现象、样本空间与随机事件 ?1.2随机现象统计规律性 ?1.3 古典概型 ?1.4 几何概型 ?1.5 概率的公理化定义 第二章 条件概率与独立性 条件概率和独立性揭示了概率空间内在规律以及概率意义下随机事件之间相互关系的主要工具。利用由条件概率导出的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式是求解复杂随机事件概率的行之有效的方法。随机事件独立性是另一重要概念，在后续学习和解决具体问题时常常被涉及。 理解条件概率的概念。熟练掌握乘法公式、全概率公式及贝叶斯(Bays)公式，并能运用这些公式进行概率计算;理解事件独立性的概念。熟悉运用事件的独立性进行概率计算。 64 了解贝努利(Bernoulli)概型以及熟悉对这种概型的概率计算。本章的重点是:计算随机事件的条件概率，特别要掌握乘法公式、全概率公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算。 本章的主要教学内容(教学时数安排:12学时): ?2.1 条件概率 ?2.2 随机事件的独立性 ?2.3 Bernoulli概型与独立性 第三章 随机变量 随机变量是概率论与现代数学相联系的桥梁。用随机变量来描述随机现象是近代概率论中最重要的方法，对于随机变量，重要的是要知道它可取哪一些值以及以多大的概率取这些值。为此，必须引进分布函数，密度函数等等。分布函数完整地刻画了随机变量，而且有良好的性质，便于研究，它是研究随机变量的重要工具。离散型随机变量和连续型随机变量是两类最重要的随机变量，它们截然不同的特性，应当进行对比，找出二者的共同点和区别，从而加深理解。随机向量较之随机变量，会有一些新的本质特征。同时研究多个随机变量时，不但要研究多个随机变量自己的性质，还要考虑它们之间的关系，重点学习条件分布和独立性。 本章的主要教学内容(教学时数安排:18学时): ?3.1 随机变量及其分布 ?3.2 随机向量 ?3.3 随机变量函数及其分布 第四章 数字特征与特征函数 理解数学期望和方差的概念，了解它们的性质、熟悉它们的计算公式。能够正确计算随机变量函数的数学期望和方差;熟悉二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布和均匀分布的数学期望和方差;了解协方差和相关系数的概念，知道它们的性质。掌握协方差和相关系数以及各阶矩的计算公式。本章的重点是:理解数学期望和方差的概念及其性质，掌握数学期望和方差的求法，熟悉常用分布的数学期望和方差。 本章的主要教学内容(教学时数安排:12学时): ?3.1数字特征 ?3.2母函数 ?3.3特征函数 ?3.4多元正态函数 第五章 大数定律与中心极限定理 了解契比雪夫(Chebyshev)不等式及其在理论上的价值，会用契比雪夫不等式估计有关事件的概率;了解以概率收敛的概念及贝努利大数定律和契比雪夫大数定律;知道独立同分布的中心极限定理和德莫佛,拉普拉斯(De Moivre-Laplace)极限定理。掌握应用中心极限定理计算有关事件的概率的近似值。本章的重点是:会用契比雪夫不等式估计有关事件的概率。领会大数定律的实质。掌握用中心极限定理计算概率的近似值的方法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:8学时): ?4.1大数定律 ?4.2中心极限定理 65 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周4学时，总约68学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合，把数学建模以及科学研究的有关思想方法直接或间接地引入课堂教学过程。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2学时)由教师统一布置作业，总量达到30余次，每次作业均会批改(座号单双号)。鼓励教师布置综合性较强的作业一至二次，由学生自主或分组完成。 本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)填空题:基本概念或基本计算、分析;(2)计算题:求微分方程的通解或特解;(3)理论分析证明题;(4)应用题:实际问题的建模、求解。 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:林火南 执笔:柯俊斌 校对者: 林火南 审定者:林火南 批准者:周哲彦 66 《拓扑学》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 拓扑学是继欧氏几何、解析几何、微分几何、射影几何之后的一门较新的研究图形(或集合)在连续变形下不变的几何分支。《拓扑学》课程是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。本课程的目的是利用拓扑学的思想，结合解析几何和数学分析的知识，使学生掌握与拓扑空间有关的基本概念和拓扑空间上连续映射的性质，掌握从已知拓扑空间构造新拓扑空间的一些方法，掌握各种连通性、可数性、分离性和紧致性等拓扑性质及其应用。培养学生抽象思维，逻辑推理的能力，对学生在科学方法及科学思维上进行训练，为他们学习其它数学理论，如代数拓扑、微分拓扑、广义度量空间等后续课程打下基础;为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。 教学时间应安排在第六学期。这时，学生已学完数学分析、解析几何、实变函数，这是学习《点集拓扑学》课程必要的基础知识。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由熊金城编写的、高等教育出版社1998年第二版一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 江泽涵，拓扑学引论，上海科学技术出版社，1979年6月 2、M. A. Armstrong，(孙以丰译)，基础拓扑学，北京大学出版社，1983年1月 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一章 集合论初步 本章主要内容是介绍集合论的初步知识，介绍集合的基本概念、基本运算;引入等价关系的定义对集合进行分类;从关系来定义映射并介绍一些常见的映射;定义集族及其运算，并介绍可数集、不可数集、基数;最后介绍集合论中著名的连续统假设和选择公理。 通过这一章的学习，要求学习者掌握初步的集合论知识，特别要对映射的有关性质以及集族的运算等内容的理解，为进一步学习后续内容打好基础。 本章的主要教学内容(教学时数安排:4学时): ?1.1集合的基本概念 ?1.2集合的基本运算 ?1.3关系 ?1.4等价关系 ?1.5映射 ?1.6集族及其运算 ?1.7可数集，不可数集，基数 ?1.8选择公理。 第二章 拓扑空间与连续映射 本章首先将连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射;然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的定义;再介绍拓扑空间中的一些基本问题:邻域与邻域系、 67 导集、闭集、闭包、内部、边界、基与子基、序列等。 通过本章的学习，学习者要理解和掌握度量空间、拓扑空间的定义及其在这两个空间上的相关概念的区别和联系以及连续映射的特征;掌握邻域、基与子基、开集与闭集等的涵义;掌握构造拓扑空间常用的方法;理解拓扑空间中的序列和度量空间中的序列的区别和联系。 本章的主要教学内容(教学时数安排:16学时): ?2.1度量空间与连续映射 ?2.2拓扑空间与连续映射 ?2.3邻域与邻域系 ?2.4导集、闭包、闭集 ?2.5内部、边界 ?2.6基与子基 ?2.7拓扑空间中的序列 第三章 子空间、(有限)积空间、商空间 这一章主要介绍从已知拓扑空间构造新的拓扑空间的三种常见方法。介绍子空间、积空间、商空间上的拓扑结构。 通过本章的学习，学习者要熟练掌握构造子空间、积空间、商空间的方法以及在这三个空间上的拓扑结构;掌握投射、商射的含义;了解开、闭映射。 本章的主要教学内容(教学时数安排:6学时): ?3.1子空间 ?3.2(有限)积空间 ?3.3商空间 第四章 连通性 拓扑学的一个中心任务就是研究拓扑空间上在连续映射下保持不变的性质，即拓扑不变性质，本章讨论了拓扑空间中的几种拓扑性质，包括连通性、局部连通性、弧连通性，并介绍一些简单的应用。 通过本章的学习，学习者要掌握连通空间、局部连通空间、道路连通空间、连通分支、道路连通分支的概念，并会运用连通性来判断拓扑空间是否同胚;掌握不动点定理及其简单运用。 本章的主要教学内容(教学时数安排:8学时)。 ?4.1连通空间 ?4.2连通性的某些应用 ?4.3连通分支 ?4.4局部连通空间 ?4.5道路连通空间 第五章 有关可数性的公理 这一章里介绍第一与第二可数性公理的基本概念以及满足第一与第二可数性公理的拓扑空间的性质;介绍可分空间、Lindeloff空间的基本概念及其性质。 通过本章的学习，要掌握满足第一可数性公理的空间、满足第二可数性公理的空间、可分空间、Lindeloff空间这四个空间的特征，熟练掌握这四个空间的关系。 本章的主要教学内容(教学时数安排:5学时): ?5.1 第一与第二可数性公理 ?5.2 可分空间 ?5.3 Lindeloff空间 68 第六章 分离性公理 研究拓扑空间的可度量化条件是拓扑学的热门课题。本章主要介绍T、T、T、正则、012正规、T、T、完全正则空间和Tychonoff空间这些分离性公理的基本概念和性质并讨论分34 离性公理的遗传性、可积性和可商性;最后由可分性公理给出一个经典的拓扑空间可度量化的条件。 通过本章的学习，要熟练掌握分离性公理的特征以及他们的关系;掌握分离性公理的遗传性、可积性和可商性，了解拓扑空间可度量化的条件。 本章的主要教学内容(教学时数安排:12学时): ?6.1 T、T、Hausdoff空间 01 ?6.2 正则、正规、T、T空间 34 ?6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理 ?6.4 完全正则空间、Tychonoff空间 ?6.5 分离性公理与子空间、(有限)积空间和商空间 ?6.6 可度量化空间 第七章 紧致性 紧致性是拓扑学中十分重要的概念，这一章里介绍紧致空间的基本概念和性质以及n维欧氏空间中的紧致子集的特征;介绍几种紧致性(可数紧、列紧、序列紧)以及它们之间的关系;介绍度量空间中的紧致性的特点;最后介绍局部紧致空间和仿紧致空间的基本概念和性质。 通过本章的学习，要掌握紧致空间的基本概念和性质以及欧氏空间中的紧致子集的特征，掌握几种紧致性的关系和度量空间中的紧致性的特点，了解局部紧致空间和仿紧致空间的基本概念和性质。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?7.1 紧致空间 ?7.2 紧致性与分离性公理 ?7.3 n维欧氏空间中的紧致子集 ?7.4 几种紧致性以及它们之间的关系 ?7.5 度量空间的紧致性 ?7.6 局部紧致空间和仿紧致空间 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周4学时，总约64学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合，教师可以根据专业的需要以及学生的学习情况，在教学过程中设计若干研究性或应用性题目供学有余力的学生课外去完成，目的是培养学生的研究能力和创新能力。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(2 69 学时)由教师统一布置作业，总量达到30余次，每次作业均会批改(座号单双号)。鼓励教师布置综合性较强的作业一至二次，由学生自主或分组完成。 本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)判断题:对基本概念的理解和分析;(2)简答题;(3)理论分析证明题。 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:朱金才 执笔 校对者: 龚家骧 审定者:龚家骧 批准者:周哲彦 70 《数学教育学》课程标准 一、课程性质、课程目标与要求 《数学教育学》是高师数学教育专业的一门重要的专业基础课。其研究对象是中学数学教育，它直接为培养合格中学数学师资服务。通过学习使学生获得系统的数学教育理论的基础知识和数学教学基本技能和教学方法，提高学生对数学教育的整体认识水平和教育科学研究能力，并将理论解决实际问题，使之适应当前基础教育改革的需要。 《数学教育学》是一门理论性与实践性相结合的交叉性、综合性学科，它广泛地应用现代教育学、心理学、逻辑学、思维科学、科学方法论等方面的有关原理、思想、观点和方法，去解决数学教育本身的问题，结合国内外数学教育改革的和教训，综合研究数学教育的特殊规律、内容、过程和方法。 本课程力求理论与实践的统一，注重内容的宽、新、实相结合，力求理论观点高，结构严谨，层次分明，突出反映现代数学教育研究的新成果，具有时代特色。 二、教材与学习参考书 教材:张奠宙、宋乃庆主编，数学教育概论，高等教育出版社 2004.10 学习参考书: 曹才翰、蔡金法，数学教育学概论，江苏教育出版社 1989.5 田万海主编，数学教育学，浙江教育出版社 1992.9 孙名符等，数学教育学原理，科学出版社 1996.11 陆书环、傅海伦编著，数学教学论 科学出版社 2004.3 三、教学内容纲要和课时安排 《数学教育学》课程教学时数为72学时，教学方式以讲授为主，并组织学生到中学见习听课，观摩教学录像和教学试讲。 教学内容纲要: 绪论 数学教育学的对象、特征和方法 第一章 数学教育发展概述 1.1 数学教育的产生 1.2 国际数学教育改革的足迹 1.3 新中国数学教育改革 第二章 新一轮国家基础教育改革 2.1 新一轮国家基础教育改革的兴起 2.2 义务教育数学课程标准 2.3 普通高中数学课程标准 第三章 现代数学观和数学教学观 3.1 正确认识数学的本质 3.2 我国数学教学观的变化 3.3 数学素质教育 第四章 当代数学教育基本理论 4.1 弗赖登塔尔的数学教育理论 4.2 波利亚的数学教育理论 4.3 建构主义的数学教育理论 4.4 我国“双基”数学教育理论 71 第五章 数学教学过程与教学方法 5.1 数学教学过程 5.2 数学教学过程的优化 5.3 数学教学的基本方式 5.4 数学教学模式 第六章 数学学习的基本理论 6.1 关于学习理论 6.2 数学学习的认知过程 6.3 数学教学的情感因素 第七章 数学教学与能力培养 7.1 数学技能及其培养 7.2 数学能力结构 7.3 数学能力的培养 第八章 数学教学与思维发展 8.1 数学思维及其类型 8.2 数学思维品质 8.3 数学创新思维及其培养 第九章 数学基础知识及其教学 9.1 数学概念及其教学 9.2 数学命题及其教学 9.3 数学思想方法及其教学 第十章 数学教育的实践 10.1 数学教学设计 10.2 数学课堂教学技能 10.3 学生数学成绩的评定 第十一章 数学教师的专业化发展 11.1 数学教师素质 11.2 数学教师的教学研究和科学研究 11.3 数学教师的专业培训 四、教学方案简要说明 教学时注意理论性与实践性相结合，在适当时候安排两学时的光盘录像，和2,4节的 数学课堂教学观摩，并结合教育实习前的准备，组织学生编写教案，进行模拟教学试讲。 五、课程作业与考核评价 每章都布置一定数量的思考题，以检查巩固所学内容，并注意结合相关内容布置一定的 数学题，既达到理论的应用，又训练数学解题。 考核以半期考开卷，学期考闭形式进行，并结合模拟试教成绩，综合评定。 制定者:胡久忠 执笔 校对者: 胡久忠 审定者:张鹏程 批准者:周哲彦 72 《计算机辅助教学》课程教学标准 计算机辅助教学 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《计算机辅助教学》课程，是我院计算机科学教育本科专业的必修课程，它主要介绍如何以计算机作为教学媒体，为学生提供通过与计算机交互进行学习的学习环境的理论与方法，是师范类本科生教学实践与应用技能课程。其目的是培养学生学习计算机辅助教学的基本原理，系统地理解教学设计的基本方法，熟悉课件制作的常规步骤及注意事项，掌握应用多媒体开发平台进行课件设计与开发的基本技能。 教学时间应安排在第五学期或第六学期。这时，学生已学完教育学和心理学，这对进一步理解《计算机辅助教学》课程的计算机辅助教学的基本原理有很大帮助，同时结合专业特色使学生能使用多种多媒体创作工具来制作多媒体作品。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由方其桂等人编写的、人民邮电出版社2003年出版的书《多媒体CAI课件制作教程》，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1(《计算机辅助教学基础教程》，林士敏，浦东电子出版社，2001。 2(《多媒体技术基础》，林福宗，清华大学出版社，2000。 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一章 计算机辅助教育概述 本章主要介绍计算机辅助教育的产生和发展和CAI的发展阶段这些基础知识，对CAI在国内外的应用现状有个清楚的了解。 通过这一章的学习，学习者要了解CBE与计算机发展的紧密关系、掌握并能正确区分概念CBE、CAI、CMl;掌握教育技术的基本内容。 本章的主要教学内容(教学时数安排:3学时): ?1.1计算机辅助教育(CBE)的产生与发展; ?1.2 CBE基本概念、CBE与教育技术。 ?1.3 CAI的发展阶段 ?1.4 我国CAI的发展途径与方向 第二章 多媒体CAI课件制作和使用环境 本章介绍CAI系统的组成以及CAI系统的硬件配置方式，通过CAI教学过程的各个环节说明在CAI的使用环境CAI的课件类型及设计原则与设计过程。 通过本章的学习，学习者要通过对教学系统中各对象间交互活动的分析，得出教学设计的三大基本原理，进而掌握教学设计的三项基本内容，并能运用到具体的教学中去 本章的主要教学内容(教学时数安排:9学时): ?2.1 CAI系统的组成 ?2.2 CAI系统硬件配置方式 ?2.3 CAI的教学过程 ?2.4 CAI的使用环境 ?2.5 CAI的课件类型 ?2.6多媒体CAI课件的设计原则 73 ?2.7多媒体CAI课件的开发流程 ?2.8多媒体CAI课件系统结构的设计 ?2.9多媒体CAI课件的脚本设计 第三章 多媒体CAI课件素材的获取与编辑 本章以以计算机中常见的媒体文本、图像、声音和动画的性质以及如何利用利用相应工具软件进行各种素材的编辑处理为主要内容。通过对媒体特性的分析，正确理解媒体使用目标的确定，掌握媒体选择流程图的方法。 通过本章内容的学习，要理解计算机中媒体的分类与一些常用的媒体技术指标，解媒体数据处理的过程及其所使用的硬件与软件，了解记忆率与媒体的关系。 本章的主要教学内容(教学时数安排:9学时)。 ?3.1文本素材的获取与编辑 ?3.2 艺术字、公式和结构图的制作 ?3.3 图像素材的获取与编辑 ?3.4 声音素材的获取与编辑 ?3.5 动画视频素材的获取与编辑 第四章 PowerPoint课件制作——幻灯型课件的开发 本章介绍用PowerPoint来制作演示型课件，在幻灯片上添加文字、图片、影音、图表等多种媒体，还说明了美化课件背景，控制课件放映等技巧。 通过本章的学习，要理解幻灯型课件的开发的基本方法，了解幻灯型课件即电子板书的特点，设计、制作一个实际应用的幻灯片。 本章的主要教学内容(教学时数安排:6学时): ?4.1 PowerPoint 2000课件创建与管理 ?4.2 在课件中添加教学内容 ?4.3美化课件 ?4.4控制课件的放映 ?4.5.课件的打包与解包 ?4.6 PowerPoint课件制作实例 第五章 Authorware课件开发――交互课件开发 Authorware是功能非常强大的多媒体CAI课件制作工具软件。本章主要介绍它的静态显示效果、动画效果设计、多媒体信息的使用，并详细说明它用户交互、导航设计以及函数、变量和表达式使用特点。 通过本章的学习，学习者要掌握五种动画设计方法与步骤，在多媒体作品中插入各类媒体的方法，十一种交互的方法的综合使用，应用超媒体进行导航及判断、框架图符的设计。 本章的主要教学内容(教学时数安排:21学时): ?5.1 Authorware 7.0简介 ?5.2各种媒体素材的引入 ?5.3二维动画的实现 74 ?5.4交互控制的实现 ?5.5分支、导航的设置 ?5.6知识对象的使用 ?5.7函数的使用 ?5.8课件的发布 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周3学时，总约48学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与实验教学相结合，教师可以根据专业的需要以及学生的学习情况，在教学过程中设计若干应用性或综合性的题目供学生去完成目的是培养学生的动手能力和创新能力。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学和实例教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的上机练习才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(3学时)由教师安排一次上机，总量达到30余次，每次上机均会辅导与检查。 本课程的期末考试采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)填充题;(2)计算题;(3)简答题(4)应用设计题:。 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时上机出勤情况、课件设计结果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:陈丽萍 执笔 校对者: 审定者: 批准者:周哲彦 75 《初等数论》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与教学要求 《初等数论》是数学与应用数学本科专业的一门专业选修课，该课程是综合应用近现代数学的工具，来处理与整数相关的问题。在计算方法、代数编码、组合论、信息安全与密码学等方面有着广泛的应用。同时由于数论问题的丰富性、多样性及解题所具有的高度技巧，对培养灵活创新的思维品质，逻辑思维、发散思维能力，系统地掌握各种数学思维方法都是不可缺少的。本课程对培养中学数学教师和从事数学研究都具有特殊重要的作用。 通过对《初等数论》的学习，使学生了解数论中的一些著名问题，比如哥德巴赫猜想、费尔马大定理等;了解数论在计算方法、代数编码、组合论、信息安全与密码学等方面的广泛应用;熟练掌握初等数论的基本内容、基本思想与基本方法;加深对整数的理解，更深入地理解某些相邻学科;培养学生的数学思维，从而提高分析问题解、决问题的能力。 第二部分:关于教材与学习参考书的建议 本课程拟采用高等教育出版社2003年7月第三版、由闵嗣鹤,严士健主编的《初等数论》一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、《初等数论》 潘承洞，潘承彪，北京大学出版社1992。 2、《初等数论》 周显，华东师大出版社1984。 3、《初等数论》 冯克勤，余红兵，合肥、中国科学技术出版社 4、《数论基础》 王杰官，福建科学技术出版社。 第三部分:课程教学内容纲要 《初等数论》主要内容有:整数整除性理论、不定方程 、同余、同余式 、 平方剩余与 二次同余式等内容。其中整除性理论、同余式理论是初等数论课程的基本内容，解不定 方程、解同余式是这些理论的最基本的应用。其各章节内容、要求及学时数可参考如下: 章 节 内容 总体说明与具体内容要求 周次 备注 整除的概念、带余除法定理 掌握整数整除的概念及相关性质，探讨 1 1 整数整除的规律。 数的整除特征 第2 最大公因数与辗转相除法 熟练掌握求最大公约数、最小公倍数 2 一的方法、它们之间的关系及其证明。 3 最小公倍数 章 熟练掌握素数、算术基本定理的基本性4 素数、算术基本定理 质，掌握高斯函数并运用它们解决一些3 5 高斯函数及其应用 中学数学竞赛问题。 1 二元一次不定方程 熟练掌握一次不定方程有整数解的条第 件、解法、解结构及一些简单方程组的4 二2 多元一次不定方程 解(整数解，正整数解等) 章 3 勾股数 掌握二次不定方程解法及其应用 5、6 76 4 整数的平方和 了解哪些整数可以表成几个整数的平方 7 和及具体的表达形式。 5 费马问题的介绍 熟练掌握整数同余的概念、基本性质以1 同余的概念与基本性质 及讨论算术中的整除规律;熟练掌握剩 余类、剩余系的基本概念与基本性质、8 2 完全剩余系与简化剩余系 形成剩余系的充要条件及在中学数学竞 赛中的应用。 第 3 欧拉函数 三掌握欧拉函数的结构及基本性质;熟练章 掌握Euler定理应用及其证明，掌握Euler定理、Fermat定理及 9、10 Fermat、willson定理及对循环小数的应4 willson定理及对循环小数 用。 的应用 以RSA体制为例，探讨数论在信息安全 5 公开密钥,RSA体制 11 讨论课 与密码中的应用。 掌握同余、同余式的概念及基本性质， 同余式的基本概念、一次同余 1 掌握一次同余式有解的条件，熟练掌握12 式 第 求解一次同余式。 四 掌握中国剩余定理及其应用，熟练掌握章 2 一次同余式组 13 求解简单同余式组的方法。 3 高次同余式组 掌握较简单的高次同余方程的解法。 14 复习课 15 各章的重点与难点 第一章 整数的整除性理论 重点:整除的基本性整数质及其应用，最大公约数与最小公倍数、素数、算术基本定理。 难点:有关素数问题的探讨及整除性理论在中学数学竞赛问题中的应用。 第二章 不定方程 重点:二元一次不定方程、多元一次不定方程的有整数解的条件、解法、解结构，了解勾股数及费尔马问题。 难点:二次不定方程解法、应用;有关整数的平方和的证明。 第三章 同余 重点:同余的基本性质，完全剩余系、简化剩余系，Euler定理证明、Fermat、willson定理。它们在循环小数、信息安全与密码中的应用。 难点:同余的基本性质，完全剩余系、简化剩余系在中学数学竞赛中的应用;Euler定理、Fermat 、willson定理在循环小数、信息安全与密码中的应用。 第四章 同余式 77 重点:解一次同余式(组)解法，高次同余式的一般理论。 难点:高次同余方程的解法。 第四部分:教学方案简要说明 《初等数论》是一门选修课，课程在大学四年级第二学期开课，每周三课时， 15周，共45学时。教师根据课时适当调整部分教学内容。 由于数论问题的丰富性、多样性及解题所具有的高度技巧，通过对《初等数论》的学习，一方面可以了解数论中的一些著名问题，比如哥德巴赫猜想、费尔马大定理等;了解数论在计算方法、代数编码、组合论、信息安全与密码学等方面的广泛应用;从中学到研究数论中一些问题的基本方法。加深对整数的理解，更深入地理解某些相邻学科，对中学数学教学具有指导作用。另一方面它可以训练学生的数学思维。对培养学生灵活创新的思维品质，逻辑思维、发散思维能力，系统地掌握各种数学思维方法都是不可缺少的，从而提高分析问题解、决问题的能力。经过多年的教学实践证明:这是一门深受学生喜爱，对帮助和指导中学教学起着巨大作用的数学课程。虽然《初等数论》是一门选修课，但是随着计算机科学的发展以及《初等数论》已成为高中的数学内容的一个模块，使得《初等数论》在近期内必将成为数学专业的一门基础课。 在教学过程中，要求教师对于经典结论力图介绍其证明的思路及近代发展;对于隐含的数学思想方法(主要有带余除法、同余、方程的思想等)力图介绍其其形成过程及应用。凡涉及到其他相邻学科的相关问题时，特别是《初等数论》在计算机密码学中的应用，尽可能作一些介绍;对于中学数学竞赛所涉及到的内容尽可能给出实例。采用讲解、组织学生讨论等方式授课。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价的说明 在学习过程中，除要求学生完成一定量的课后作业，了解并掌握《初等数论》的基本理论与方法外，还必须阅读有关的参考资料。特别关注《初等数论》在信息安全与密码、中学数学竞赛等方面的应用。通过阅读，要求学生按专题整理资料、参与讨论，并按一定比例记入期末成绩。 本课程考试评价方式采用终结性评价与过程性评价相结合的方式。终结性试卷基本覆盖所讲的主要内容，既科学地反映教学要求，又能测量出学生的实际水平。平时成绩占20%，期终成绩占80%。其中平时成绩包括平时作业、课堂提问等。 考试题型:填空题、计算题及证明题 期终试卷结构: 第一章 整数的整除性理论 占30, 第二章不定方程 占 25, 第三章 同余 占 30, 第四章 同余式 占 15, 制定者:裘晓岚 校对者:裘晓岚 审定者:张鹏程 批准者:周哲彦 78 《中学数学解题方法》课程教学标准 第一部分 课程性质、课程目标与要求 《中学数学解题方法》是我院数学与应用数学本科专业选修课程，是高师院校培养数学教育专业师范生的专业课之一。本课程的目标是:通过本课程的教学，学生能较好地掌握中数解题的一些基本原则和思想方法，提高分析问题、解决问题的能力。本课程教学时间安排在第四学年下期，此时学生已学过专业基础课和数学教育学等课程，并经过教育实习，对提升中数解题能力 有迫切的要求，通过学习本课程，可为他们今后从事中学数学教学打好基础。 第二部分 教材与学习参考书 本课程采用教材为梅向明主编的《数学奥林匹克解题研究》(高中册)，北京师院出版社1991出版。 主要参考书:(1)《数学解题方法论》，王振鸣主编，南海出版公司1990年出版;(2)《怎样解题》，乔治?波利亚著，阎育苏译，科学出版社1982年出版;(3)《数学中的问题探究》张广祥著，华东师大出版社，2003年出版。 第三部分 教学内容纲要和课时安排 第一章 几个基本原则 本章主要介绍解决数学问题一些常用的基本原则——“极端性”原则、分类讨论原则、重迭原则。学生通过本章学习，应理解“极端性原则”是根据事物普遍性与特殊性之间的辩证关系，利用极端性要素寻找数学问题解决的突破口;“分类讨论原则”是分解组合思想在解题中的具体应用;“重迭原则”是“抽屉原则”进一步推广到连续量方面的研究，掌握这些原则的解题要点，并能灵活运用于解题之中。 本章主要教学内容(安排9课时):?1.1“极端性”原则;?1.2分类讨论原则;?1.3重迭原则。 第二章 归纳递推方法 本章介绍了皮亚诺自然数序数理论，最小数原理和第一、第二数学归纳法及其在数学解题中的运用;介绍无穷递降法和递推方法在中数解题中的应用。学生通过本章学习，应掌握最小数原理，理解数学归纳法的理论依据，掌握第一、第二数学归纳法及其在解题中的应用;会用无穷递降法解题，能用递推方法解决递归数列的有关问题。 本章主要内容(安排9课时):?2.1数学归纳法;?2.2无穷递降法;?2.3递推方法。 第三章 几何组合研究 本章介绍了有限点组的一些性质，凸图形、凸包的若干定理、海莱定理以及几何中的组合计数方法。学生通过本章学习，应理解有限点组性质，凸图形、凸包的若干定理、海莱定理，掌握几何中的组合计数方法。 本章主要内容(安排9课时):?3.1有限点组;?3.2凸图形与非凸图形;?3.3几何中的组合计数。 第四章 不等式的证明 不等式是中学数学里的一项重要内容，本章重点研究几个重要不等式之间的联系及其应用，在凸函数琴生不等式的高度达到进一步的统一，最后研究了一些重要的几何不等式，其中有些是二十世纪发现的新结果。通过本章学习，学生应理解几个重要不等式之间的联系及其在解题中的应用，掌握几个重要的几何不等式的解题方法。 本章主要内容(安排6课时):?4.1几个重要不等式;?4.2凸函数与不等式;?4.3几何不等式。 第五章 染色问题研究 染色问题是图论中重要的一部分，在数学与计算机科学中都有重要应用。学生通过本章学习，应掌握染色基本问题，染色问题中的构造法，并能解决数学竞赛中的一些染色问题。 本章主要内容(安排9课时):?5.1基本问题;?5.2染色问题中的构造法;?5.3数 79 学竞赛中的染色问题。 第四部分 教学方案简要说明 教学计划每周3课时，总共45课时，其中总复习3课时，本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合，有些数学问题，可启发学生讨论，共同探究问题解决的方法。 第五部分 课程作业与考核评价 本课程需学生自主来完成一定量的习题才能较好达到课程目标，一般每次课(3课时) 统一布置一次课外作业，总量达14次，每次作业均予批改(分单双号)。 本课程期末考试采用闭卷考试方式，考题一般类型:(1)填充题;(2)计算题;(3)理论-分析证明题;(4)应用题探究题。 课程总评成绩由期末考试成绩与平时成绩综合评定，期末考试成绩占70%，平时成绩占30%，平时成绩根据上课情况，作业完成情况和研究性学习情况综合评估。 制定者:陈石夫 校对者:陈石夫 审定者:张鹏程 批准者:周哲彦 80 《初等数学研究》课程标准 初等数学研究是高等师范类数学教育专业的一门专业基础课，它是在学员掌握了一定的数学理论知识的基础上开设的。本课程的教学目的是使学员掌握中学数学教学所需的初等数学的基础理论、 基本知识和基本技能;了解中学数学的内容和知识结构;在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步培训，为教好初中数学打下较坚实的基础。 本课程分为初等代数(包括初等函数、排列与组合)和初等几何(包括制图 基本知识)两部分，其基本要求是: 一、从中学数学的教学需要出发，并根据中学数学的内容和知识结构，把初 等数学的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高。 二、对各专题的教学，都要着重基本思维方法的培养和基本技能技巧的训练。 三、要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。 教学内容和教学要求 第一部分 初等代数 绪言 1.关于代数的几个历史观点 2.作为教学科目的中学代数 一、数系 (一) 教学要求 1.了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则。 2.掌握自然数的序数理论及整数环的构造。 3.确切理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的 概念及其算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数集的性质。 4.明确绝对误差、相对误差、有效数字与可靠数字等概念，掌握近似值四则 运算的经验法则。 5.确切理解无理数、实数概念、掌握实数大小比较的法则、实数的运算和实 数集的性质。 6.确切理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数集的性 质。 (二) 主要内容 1.数的概念的扩展 2.自然数集 序数理论*。 3.整数环 4.有理数域 有理数的概念、有理数的大小比较、有理数的运算、有理数集的性质。 5.近似计算初步 近似值的截取方法、绝对误差和相对误差、有效数字和可靠数字、近似值四 则运算的经验法则、预定精确度的计算方法。 6.实数域 无理数的引入、实数的概念及其大小比较、退缩有理闭区间序列、实数的运 算、实数集的性质。 7.复数域 81 复数、复数的代数形式、复数的几何表示、复数的三角形式、复数的运算、 复数集的 性质。 二、解析式 (一)教学要求 1.理解解析式的概念及其分类。 2.确切理解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法。 3.理解分工的概念和代数延拓原理 4.掌握根式的运算法则和变形 5.理解指数概念的扩展，掌握指数式和对数式的性质。 6.理解三角式和反三角式，掌握最基本的三角式与反三角式的恒等变形。 (二) 主要内容 1.解析式及其分类 2.多项式 基本概念、多项式的恒等、待定系数法、多项式的因式分解方法。 3.分式 基本概念、分式恒等的充要条件、分式的基本性质、代数延拓原理、部分分 式。 4.根式 根式的运算法则和变形、复合二次根式、共轭根式。 5.指数式与对数式 指数概念的扩展、对数及其性质、常用对数。 6.三角式与反三角式 三角式的概念、三角式的恒等变形、反三角式的概念、三角式的反三角运算、 反三角 式的恒等变形。 三、初等函数 (一)教学要求 1.理解函数概念的发展与几种定义方式。 2.掌握用初等方法讨论函数。 3.掌握基本初等函数的性质和图象。 (二)主要内容 1.函数概念的发展 2.函数的定义 函数的三种定义方式、函数的相等、函数的几种表示方式、函数的一般定义。 3.用初等方法讨论函数 函数的定义域与值域、函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性。 4.基本初等函数 四、方程 (一)教学要求 1.确切理解方程(组)的基本概念。 2.掌握方程(组)的同解性，会解一些特殊类型的方程(组)。 (二)主要内容 1.方程的基本概念 2.方程的同解性 3.一元代数方程(特殊类型)的解法 方程的变换、一元三次方程的解法、倒数方程的解法、二项方程的解法、解 含有参数 的方程、二元一次不定方程。 4.初等超越方程 82 指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程。 5.方程组 基本概念、方程组的同解性、方程组的解法(特殊类型方程组的解法举例)。 五、不等式 (一)教学要求 1.掌握不等式的基本性质 2.掌握证明不等式的常用方法 3.熟悉几个著名的不等式 4.确切理解解不等式的概念和理论，会解一元一次不等式(组)，一元二次 不等式(组)， 一元分式不等式，一元无理不等式和一元绝对值不等式。 5.运用不等式求函数的最大(小)值。 (二) 主要内容 1.不等式及其基本性质 2.证明不等式的常用方法 分析法、综合法、比较法、反证法、传递法、数学归纳法、利用已知不等式。 3.几个著名不等式 4.解不等式(组) 同解不等式、一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)、一元高次不 等式、一元 分式不等式、一元无理不等式、绝对值不等式、指数不等式* 、•对 指数不等式*、三角不 等式。 5.不等式的应用 六、排列与组合 (一)教学要求 1.掌握加法原理和乘法原理。 2.掌握排列与组合的概念及公式推导。 3.掌握几个组合恒等式及其在多项式定理中的应用。 (二)主要内容 1.加法原理与乘法原理 2.排列 相异元素的不重复排列、相异元素的重复排列、相异元素的环状排列、不相 异元素的 全排列。 3. 组合 相异元素的不重复组合、组合的性质、组合恒等式相异元素的重复组合、组 合公式在 多项式定理中的应用*。 第二部分 初等几何 绪言 1.初等几何研究的对象和目的。 2.中学几何的逻辑结构。 一、几何的证明 (一)教学要求 熟悉常用的证题方法和技巧。 (二)主要内容 1.证度量关系 证两线段或两角相等、和差倍分与不等、证成比例线段间的关系、证定值问 题。 2.证位置关系 83 证线段的垂直与平行、证共点线与线共点、证共点圆与圆共点。 二、几何量的计算 (一)教学要求 1.掌握勾股定理推广和斯蒂瓦尔特定理及其应用。 2.会面积的计算和解三角形。 (二)主要内容 1.线段度量 线段度量的概念、勾股定理推广、斯蒂瓦尔特定理及其应用。 2.面积计算 面积概念、面积的计算。 3.解三角形 三、初等变换 (一)教学要求 1.理解合同变换、位似变换和相似变换等概念。 2.能利用初等变换解题。 (二)主要内容 1.合同变换及其间的关系 2.位似变换和相似变换 3.初等变换的应用(解题) 四、轨迹 (一)教学要求 1.确切理解轨迹的概念，并掌握轨迹命题的证明方法。 2.掌握常用的几个轨迹命题。 (二)主要内容 1.基本概念 轨迹的概念与证明方法、轨迹命题的类型。 2.常用轨迹命题及其证明 3.轨迹的探求与检查 五、作图 (一)教学要求 掌握作图的基本知识和常用的方法。 (二)主要内容 1.作图的基本知识 尺规作图与作图公法、作图成法。 2.常见的作图方法 *3.尺规作图不可能问题简介 六、立体图形的一些性质 (一)教学要求 1.掌握空间直线与平面的各种位置关系 2.掌握三面角、四面体的性质 3.会计算体积 (二)主要内容 1.直线与平面 直线与平面的各种位置关系、空间作图公法、简单作图题。 2.三面角 三面角及其性质、三面角的相等、多面角及其性质。 84 3.多面体 四面体的一些性质、凸多面体的欧拉定理*、正多面体*、截面图的画法。 4.体积计算 体积概念、拟柱体体积公式、体积计算。 七、制图基本知识 (一)教学要求 理解投影法基础，掌握正投影、轴测投影和三视图的画法。 (二)主要内容 1.投影法基础 2.正投影 3.轴测投影 4.三视图 制定者:潘 飚 执笔 校对者: 潘 飚 审定者:张鹏程 批准者:周哲彦 85 《数学教育实验设计》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与教学要求 《数学教育实验设计》是数学与应用数学本科专业的一门专业选修课，是学习数学教育科学研究方法的课程之一。该课程对于培养师范生的数学教育科学研究意识、提高从事数学教育研究的能力都具有特殊重要的作用。在基础数学教育改革日益深入的今天，新的数学教育观念、数学教育理论和数学教学方法与传统的教学内容、教学过程的基本架构产生冲突，一大批围绕新的数学教学体系、教学内容和教育理论的新问题、新课题也将大量出现，培养师范生的数学教育科学研究意识以及学习从事数学教育研究的方法是培养新时代数学教师的需要，进一步推进基础数学教育改革的需要。 通过《数学教育实验设计》课程的学习，使学生掌握数学教育研究基本知识、基本方法，了解数学教育研究的全过程。增强科研意识，为他们将来从事数学教育科研打下一定的理论基础。 第二部分:关于教材与学习参考书的建议 本课程拟采用上海教育出版社 由张君达、郭春彦主编的《数学教育实验设计》一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、《新课程下的教育研究方法与策略》 谢春分、时俊卿 首都师范大学出版社 2004。 2、《实验研究指导》 李伟胜 教育科学出版社 2003。 3、《数学教育学导论》 张奠宙、李士绮 李俊 高等教育出版社 4、《教育研究方法导论》[美]梅雷迪斯?D.高尔 沃尔特?R.博格 乔伊斯?P.高尔 江苏教育出版社。 第三部分:课程教学内容纲要 《数学教育实验设计》主要内容有:数学教学实验典型案例介绍及评析;数学教育实验——探索数学教育现象内在的因果关系(结合案例阐述因果关系理论，实验基本特征、结构、实验程序以及所要遵循的原则。);确定课题(如何形成实验假设、如何界定变量);数学实验设计基础;数学实验设计;实施计划——搜集因果论证的材料(实验进程的控制，实验资料的收集);总结整理——做出因果关系的结论(材料的归类整理、理论的总结探索、实验报告的撰写)等。 第一章 数学教育实验的特点、结构和过程 本章主要探讨数学教育实验的本质特点、数学教育实验的逻辑结构、数学教育实验的基本过程和原则三个基本问题。学生在学完本章后,应当能够:了解数学教育实验的本质特点是要揭示教育现象或教育行为之间的因果关系，对因果关系的预先设想以假说形式表现出来，实验过程围绕假说展开操纵、控制等一系列干预活动，经观察、分析，最后检验假说。明确数学教育实验中各变量间的逻辑关系，对数学教育实验的基本过程和原则有一个整体的了解。了解基础教育课程改革精神及对数学教育实验要求;认识数学教育实验对数学教师自身成长的重要性。 (一)数学教育实验的本质特点 通过一个案例(上海市青浦县“大面积提高数学教学质量”的研究)以及与自然科学实验、与“教学调查”的比较中让学生进一步了解数学教育实验的一些本质特点。数学教育实验具有的特点主要是:要揭示教育现象或教育行为之间的因果关系，对因果关系的预先设想以假说形式表现出来，实验过程围绕假说展开操纵、控制等一系列干预活动，经观察、分析， 86 最后检验假说。 (二)数学教育实验的逻辑结构 介绍自变量、因变量和无关变量的定义、特征以及它们之间的内在联系。 自变量、因变量和无关变量之间的逻辑关系，也就是数学教育实验的逻辑结构，可以表述如下图: 操纵 控制 观测 自变量——无关变量 因变量 (三)教育实验的基本过程和原则 一个相对完整的数学教育实验全程应该包括准备阶段、实施阶段和总结阶段这三个数学教育实验的准备。 1、数学教育实验的准备:(1)发现问题，确定实验的课题和研究目的。(2)提出假说，界定实验的变量，确定实验内容。(3)选择实验模式和实验对象。(4)制定实验方案。 2、数学教育实验的实施。其主要工作有:根据实验方案的要求，有计划地操纵自变量、控制无关变量。根据实验规范，对研究进程及时进行调控，发现问题、解决问题。根据研究需要，系统地观测和记录因变量变化情况和其他相关实验情况，积累尽量详尽的原始资料。 3、数学教育实验的总结。包括:(1)(评价实验结果(2)撰写实验报告 4、数学教育实验应遵循的原则有客观性原则、教育性原则、控制性原则。 第二章确定课题 开展数学教育实验研究，首先就要确定研究内容。这就需要研究者从大量的数学教育现象中发现问题、选择问题，并将这种问题转化为假说，界定其因变量、自变量和无关变量，从而为进一步的实验设计和实施提供良好的开端。 (一)如何选择问题 1、问题来自哪里。主要有两个来源:数学教育改革实践和已有理论认识。已有的理论认识可以从几个方面为数学教育实验研究提供问题: (1)当我们借鉴已有的理论认识进行新的教育活动时，我们可能会在具有动态生成性的实践中发现已有理论尚未解决的问题。 (2)当我们比较不同的理论成果时，也可能发现它们之间有些不一致甚至矛盾的地方，这也向我们揭示了已有理论认识中存在的一些不够清晰或不够有说服力的方面，这些方面就可能成为新的问题。 (3)已有的理论认识可能预示着某些解决教育实际问题或理论问题的方向，从而为研究者提供发现新问题的思路。这些问题，大都受已有理论认识的启发，有的实际上就是从已有理论认识中推论出来的，因而可以视为从已有理论认识中产生的新问题。 2、如何发现问题 (1)深入了解数学教育改革实践:从典型的数学教育活动中发现问题;将已有的经验迁移到新的情境。 (2)结合自己的教育实践，系统了解相关文献中反映的理论认识:从相关文献反映的数学教学理论认识中发现问题，可以从三个几个方面考虑:从历史的角度审视对立的观点，从中发现新的问题;从已有数学教育理论认识演绎出新的观点，再用这种新观点审视数学教育实践，发现问题;对不同学科、不同阶段教育工作的认识进行类比，发现新问题。 3、如何选择问题 选择问题时需要考虑三个标准。是否具有研究的价值,是否具有独创性,是否具有现实可行性, 87 (二)如何形成假说 掌握数学实验假说的四个特征。第一，假说仅仅是一种推测、设想，尚需经过实验研究来检验。第二，在假说中，研究者所设想的是自变量与因变量之间可能存在的因果联系。第三，假说是研究者设想的、用以解决所选问题的答案。研究者提出这种设想必须有一定的根据，这些根据可能是有关的理论认识、数学教育实践经验或对数学教育活动的日常观察。第四，作为对一个科学问题可能存在的答案的推测，假说要满足三个条件:?它能合理解释原有理论认识所能解释的事实和现象;?它能够解释新发现的、但原有理论不能解释的那些事实和现象;?它能明确地预言尚未发现的新事实，从而为进一步检验假说提供可能性。 怎样表述假说: 实验假说的表述应该符合的标准:假说应表明实验的自变量和因变量;假说必须以陈述句的形式简洁、明了地表述变量之间的因果关系;假说必须是可以检验的。 如何形成假说:通常采用了两种思维方式:演绎法和归纳法。 第三章实验设计的基础 本章主要介绍实验设计的意义、变量界定、无关变量的控制、被试的选择、以及实验设计中的逻辑关系等基础问题。 什么是实验设计:实验设计就是制订关于实验进程的计划。它所要解决的核心问题，就是怎样把研究范围内的各种变量加以合理的安排，高效地搜集验证假设所需要的材料、数据，在客观有效、经济的原则下解决所要解决的问题。 实验设计的内容包含五个方面:实验自变量的操作与控制;因变量的观测;无关变量的控制;研究总体的规定与被试的选择和分组;数据处理方法的确定。 (二)如何界定变量 1、如何确立和分解因变量:因变量的确立与分解，主要有确定因变量和分解因变量。 2、如何选择和设计自变量:(1)寻找共变关系，探求因果关系。(2)改组或创设自变量。 拟订操作规范 (三)被试的选择 首先要考虑抽样方法，使样本具有一定质的规定;其次要考虑样本容量(即样本所包含的个体数)的大小，使之具有适中的量，既保证样本具有一定的代表性，又不浪费人力、物力和时间，最后我们还可以通过抽样误差的估算来检验样本的代表性如何。 分别介绍简单随机抽样、机械抽样、分层抽样和整群抽样的定义，样本容量的估算以及各种群抽样法的使用。 (四)控制的无关变量 无关变量的主要来源:选择误差、实验程序、参与实验的人员(教师、学生)的自身因素的差异或变化、实验过程中的副效应。 2、控制无关变量的基本策略:排除法、纳入法、平衡法。 3、控制无关变量的具体技术:选取有代表性的被试、合理分配被试，设置对照组进行等组实验、合理安排实验程序、控制实验中的心理副效应、运用正确的观测手段和统计方法。 (五)实验设计中的一些逻辑问题 演绎法与归纳法在实验中的综合运用。 实验归因的逻辑: 首先介绍因果关系的三大特点:(1)因果关系是事物内在的必然联系。(2)原因和结果的关系是引起和被引起的关系，所以原因在先、结果在后;原因和结果是先行后续关系。(3)一种原因可能有多种结果，一种结果也常常来自多种原因;因此事物之间具体的因果联系要受具体的条件制约。 其次通过归纳法认识因果关系常用的五种方法:求同法、求异法、共变法、剩余法、求 88 同--差异法。 选择实验模式的主要依据:自变量的数量、自变量的水平、被试的分配 (六)实验设计的评鉴 实验设计的优劣可用实验效度来衡量。实验效度由内部效度和外部效度构成。内部效度决定了对实验结果的解释能力，外部效度直接影响实验结果的推广能力。根据实验目的，综合考虑实验内部效度与外部效度的平衡，取得比较满意的解释力和推广力，应该根据实验目的不同阶段、不周设计类型，把实验效度的追求重点从内部效度向外部效度推进，从基础效度向最佳效度逼近。 第四章实验设计 在这一章中主要通过案例的方式介绍单组实验设计、等组实验设计、时间序列设计、方差分析型实验设计、要因实验设计等实验设计的概念、基本模式、数据处理方法以及各种模式实验设计的适用的范围等。特别对单组实验设计、等组实验设计、时间序列设计、方差分析型实验设计进行详细的介绍。 第四部分:教学方案简要说明 《数学教育实验设计》是一门选修课，课程在大学四年级第一学期开课，每周三课时。13周，共39学时。其中讲授33学时，讨论3学时，期终复习3学时。教师根据课时适当调整部分教学内容。 本课程教学采用课堂讲授讨论与研究性教学相结合，把科学研究的有关思想方法直接或间接地引入课堂教学过程。本课程特别强调研究性教学，教材中设计了多个研究性题目和课堂讨论题目。目的是启发学生思考教育改革问题，培养学生的研究能力和思辩能力以及创新能力。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价的说明 在学习过程中，除要求学生完成一定量的课后作业，除要求学生了解并掌握数学教育科研的基本理论与方法外，还必须阅读有关的数学教育、教学理论书刊。还必须阅读有关的参考资料。特别关注数学教育实验在高中数学新课程改革中的应用。通过阅读，要求学生按专题整理资料、参与讨论，并按一定比例记入期末成绩。 本课程考试评价方式采用终结性评价与过程性评价相结合的方式。期末考试方式采用开卷考试。开卷考试的题目主要是开放性试题、研究设计性试题以及论述题等。其内容基本覆盖所讲的主要内容，既科学地反映教学要求，又能测量出学生的实际水平。考试设计基于教学内容，但又不局限于教学内容，适当关注当前教育改革问题。平时成绩占20%，期终成绩占80%。其中平时成绩包括平时作业、课堂提问等。 制定者:裘晓岚 校对者:裘晓岚 审定者:张鹏程 批准者:周哲彦 89 《高等代数选讲》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《高等代数选讲》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的课程之一。本课程的目一是利用近世代数的思想，统领高等代数的原理和方法，二是为报考硕士研究生提供一个好的复习高等代数的平台，三是为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。 教学时间应安排在第六学期或第七学期。这时，学生已学完高等代数，近世代数，这是学习《高等代数选讲》课程必要的基础知识。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用自编讲义作为主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、高等代数(上，下)，陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南，福建教育出版社，1991 2、高等代数选讲，林亚南，厦门大学讲义，2003 3、高等代数原理和方法，黄洛生，福建人民出版社，1994 4、各相关学校的高等代数教材 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一讲 多项式 多项式理论自成一体，内容丰富。首先要把握多项式代数与多项式函数两个不同的角度和联系。多项式的代数运算(包括带余除法)及其引导出的概念性质是多项式代数的内容，而多项式的根及其分部的角度的讨论，是多项式函数的内容。两个多项式相等的充分必要条件是它们作为函数相等的。其次要掌握多项式理论中与数域扩充无关的整除，带余除法，最大公因式，互质等;而不可约多项式，因式分解等与数域扩充有关 。 本讲的主要教学内容(教学时数安排:8学时): 一 多项式代数与多项式函数 二 最大公因式和互质(与数域扩充无关的性质) 三 因式分解(与数域扩充有关的性质) 第二讲 行列式 学习行列式理论，应重点掌握行列式的性质并用以计算行列式，熟练掌握一些基本的计算方法。 本讲的主要教学内容(教学时数安排:4学时): 一 行列式的定义与性质 二 行列式的计算 第三讲 矩阵初步 掌握矩阵的运算(包括转置，方阵的迹)。矩阵的初等变换是矩阵论的核心和精髓，必须很好地领会理解并应用。方块矩阵的初等变换是矩阵的初等变换的延伸，是解决矩阵问题的很好工具。本讲将介绍Benit-Cauchy公式，它在证明和计算一些行列式的子式，不等式时特别有用。 本讲的主要教学内容(教学时数安排:4学时): 一 矩阵代数 90 二 矩阵的初等变换 三 方块矩阵的初等变换 第四讲 线性空间 线性空间是高等代数的主要研究对象。它体现了代数学中研究其它代数结构的基本思路。元素之间的研究---线性关系，包括线性表出，线性相关和线性无关，空间的基和坐标，基之间的过渡矩阵。子结构的研究---子空间和子空间的直和。这是从内部来研究代数结构。下一讲将从外部结构来研究代数结构，这就是线性映射和线性变换。要掌握子空间的和与交的维数公式在讨论子空间分解中的作用。 本讲的主要教学内容(教学时数安排:4学时)。 一 线性空间的定义 二 向量的线性关系 三 子空间与空间直和分解 第五讲 线性变换 把握用线性映射(变换)的观点来研究线性空间这条主线。掌握空间线性映射(变换)与线性相关性和子空间的关系，特别是由线性映射(变换)导出的两个最重要的子空间---象空间和核空间。掌握由空间的基的象决定线性映射(变换)的办法。掌握用同构的观点讨论线性映射(变换)与矩阵的本质联系。掌握关于Im(f)和Ker(f)的维数公式在子空间分解中的应用。 本讲的主要教学内容(教学时数安排:4学时): 一 线性映射 二 线性变换 三 同构对应 第六讲 线性方程组 从线性表出和矩阵的秩的观点来讨论线性方程解的存在和解的个数，用子空间的观点来讨论线性解的结构。关注线性方程组的反问题和矩阵方程问题。 本讲的主要教学内容(教学时数安排:4学时): 一 齐次线性方程组 二 非齐次线性方程组 三 线性方程组的反问题和矩阵方程 第七讲 矩阵的秩 掌握从行列式，相抵标准形，向量，线性空间，线性方程组，线性变换，矩阵分解等各个角度来理解矩阵的秩。学会从各个角度来证明矩阵秩的命题以及矩阵的秩命题在各个方面的应用。 本讲的主要教学内容(教学时数安排:4学时): 一 矩阵的秩的等价刻划 二 关于矩阵秩的命题(1) 三 关于矩阵秩的命题(2) 第八讲 线性空间同构 同构是代数学的基本思想方法。利用同构的思想方法掌握矩阵命题和线性变换命题的互相转化。 本讲的主要教学内容(教学时数安排:4学时): 91 一 线性空间的同构 二 三种重要的同构 三 命题的互相转化及应用 第九讲 特征值与特征向量 掌握相关概念，命题，定理中线性变换和矩阵的对应。 本讲的主要教学内容(教学时数安排:4学时): 一 矩阵的特征值与特征向量 特征多项式 最小多项式 二 线性变换的特征值与特征向量 特征多项式 最小多项式 三 可对角化的矩阵(线性变换) 第十讲 空间分解定理和Jordan标准形 掌握空间分解为特殊的f-不变子空间:根子空间，循环子空间的直和与Jordan标准形的对应，掌握矩阵的特征多项式，最小多项式，行列式因子，不变因子，初等因子与Jordan 标准形的关系。掌握用Jordan标准形考虑和解决问题的方法。 本讲的主要教学内容(教学时数安排:8学时): 一 空间分解定理 二 Jordan标准形 三 Jordan标准形的求法 四 Jordan标准形应用举例 第十一讲 欧氏空间 欧氏空间有内积，因而具有度量性质:向量的长度，夹角，正交。进一步有标准正交基， Schmidt正交化，正交矩阵和正交补空间。掌握欧氏空间的度量性质，掌握正交变换，对称变换及与实数域上正交矩阵，对称矩阵的对应关系。 本讲的主要教学内容(教学时数安排:4学时): 一 欧氏空间的正交向量 二 欧氏空间的子空间的正交补 三 n维欧氏空间的线性变换 第十二讲 二次形 掌握二次形化成标准形和矩阵合同关系的对应结论。正定二次形重要的，典型的一类二次形。对于实对称矩阵，不但要掌握在合同关系下的标准形，还要掌握正交相似关系的标准形。 本讲的主要教学内容(教学时数安排:4学时): 一 二次形的标准形 二 正定二次形 第十三讲 等价关系与矩阵标准形 掌握等价分类取代表元的思想方法，并用于讨论矩阵在各种等价分类的标准形。同时要注意在同构意义下矩阵命题和线性变换命题的对应。 本讲的主要教学内容(教学时数安排:4学时): 一 等价关系与分类 二 矩阵中的几种等价关系 第四部分:教学方案简要说明 92 课时计划是每周4学时，总约64学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合。教师可以根据专业的需要以及学生的学习情况，在教学过程中设计若干研究性或应用性题目供学有余力的学生课外去完成，目的是培养学生的研究能力和创新能力。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成大量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(4学时)由教师统一布置作业，总量达到15余次。每次作业均会批改(座号单双号)。教师应布置综合性较强的作业，由学生自主或分组完成。 本课程的半期考试和期末考试均采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)填充题:基本概念或基本计算、分析;(2)计算题:典型计算题;(3)理论分析证明题;(4)验证题:应用基本概念或基本结论验证。 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:平时作业完成情况、半期考以及研究性学习成果。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的60%，平时学习情况占总评成绩的40%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:陈清华 执笔 校对者: 陈清华 审定者:陈清华 批准者:周哲彦 93 《数学分析选讲》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《数学分析选讲》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是为报考数学专业硕士研究生及对分析感兴趣的学生所开的一门选修课。本课程的目的是通过本课程的学习，使学生对已学过的数学分析的知识进行巩固、加深、提高，并扩大所学的知识，更好地掌握分析的基本思想、基本方法，使对所学的数学分析知识能做到触类旁通。 教学时间应安排在第五学期或第六学期。这时，学生已学完《数学分析》的课程，正准备硕士研究生的入学考试，且为了学生更好地利用时间，因此可把这门课安排在第四学期至第五学期的暑假及第六学期至第七学期的暑假。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由裴礼文编写的、高等教育出版社1993年出版的《数学分析中的典型问题与方法》第一版一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、数学分析讲义，陈纪修、於崇华、金路，高等教育出版社，1999 2、数学分析解题方法600例，李世金、赵洁，东北师范大学出版社，1992 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一章 一元函数的极限 复习数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，通过例子总结求数列、函数极限的方法，及用定义证明极限存在性。 通过这一章的学习，学习者要准确理解数列极限和无穷大量、函数极限、数列的上、下极限的概念和性质，进一步熟练掌握求数列、函数极限的方法，及用定义证明极限存在性，理解数列的上、下极限的概念和性质。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?1.1数列极限和无穷大量 ?1.2函数极限 ?1.3数列的上、下极限 第二章 实数的基本定理及函数的连续性 对实数的基本定理——七大定理(确界存在定理、单调有界定理、闭区间套定理、Weierstress定理、Cauchy收敛原理、有限覆盖定理、聚点定理)的内容加以复习及没证明过的定理给予补充证明，及给出例子加以说明它们的应用，同时本章介绍连续性的证明，连续性的应用，一致连续，半连续与函数方程等方面的内容。 通过本章的学习，学习者要理解实数的基本定理及其应用，掌握连续，一致连续概念及性质，掌握连续性的应用及一致连续的证明，同时理解用连续模来描述一致连续性，理解半连续。 本章的主要教学内容(教学时数安排:12学时): ?2.1实数的基本定理 ?2.2一元函数的连续性 ?2.3一致连续 ?2.4上、下半连续 94 第三章 一元微分学 复习一元函数导数的基本概念、微分中值定理、Taylor公式、函数的凸性。给出例子讨论微分中值定理的应用、讨论带Lagrange余项与带Peano余项的Taylor公式在解题中的若干应用、以及用微分方法讨论不等式、以及与不等式密切相关函数的凸性的问题。 通过本章的学习，学习者要熟练掌握微分导数的定义;进一步掌握微分中值定理、Taylor公式及其应用;掌握用微分方法讨论不等式、以及与不等式密切相关函数的凸性的问题。 本章的主要教学内容(教学时数安排:18学时): ?3.1导数与微分 ?3.2微分学基本定理 ?3.3Taylor公式 ?3.4导数在研究函数上的应用 ?3.5函数的凸性 第四章 一元函数的积分学 本章在复习已学过的一元函数的积分学的基本知识后，主要讨论如下几方面的内容:积分与极限、可积性、积分值的估计、积分不等式与定积分的若干综合性问题、若干著名的不等式、反常积分。 通过本章内容的学习，学习者进一步熟练掌握一元函数的积分学的基本概念及基本性质;掌握利用积分求极限及求积分的极限;初步掌握定积分的可积性的证明;掌握利用变形求估计及积分估计的应用;掌握证明积分不等式的若干基本方法;掌握几个著名的不等式的变形与应用;掌握反常积分的计算及其收敛性的判定。 本章的主要教学内容(教学时数安排:14学时)。 ?4.1不定积分 ?4.2定积分 ?4.3反常积分 第五章 级数 本章复习归纳数项级数敛散性的判别法，函数列、函数项级数一致收敛的概念及其判别法，求幂级数收敛半径、收敛域、级数和的方法，以及级数和的分析性质。并用有一定难度的例子来加深这些方面的训练，使得学生能够更好地掌握这一章节的内容。 通过本章的学习，学习者进一步熟练掌握数项级数的判别法;准确理解函数项级数收敛和一致收敛的概念;熟练掌握函数项级数的一致收敛的判别法;准确理解一致收敛函数项级数的三大性质定理;理解掌握幂级数的性质，掌握幂级数的收敛区间的求法;掌握函数展成幂级数的条件，熟练掌握几个基本初等函数的幂级数展开式;利用幂级数的性质掌握一些级数求和。 本章的主要教学内容(教学时数安排:10学时): ?5.1数项级数 ?5.2函数项级数 ?5.3幂级数 第六章 多元函数的微分学 复习平面点集、二元函数极限、连续的定义、及偏导数、全微分的定义。归纳二元函数极限的计算方法、证明二元极限不存在的常用方法;二元函数连续性的证明及应用;二元函数偏导数的计算及可微、不可微的证明。 通过本章的学习，准确理解平面点集、二元函数极限、连续的定义、及偏导数、全微分 95 的定义。掌握二元函数极限的计算方法、证明二元极限不存在的常用方法;掌握二元函数连续性的证明及应用;掌握二元函数偏导数的计算及可微、不可微的证明。 本章的主要教学内容(教学时数安排:8学时): ?6.1多元函数的极限与连续 ?6.2多元函数的偏导数 第七章 多元积分学 复习广义积分、含参量积分的各种敛散性判别法及含参量广义积分的一致收敛性判别法;含参量积分及含参量广义积分的连续性、可微性、可积性及其它们的应用;二重积分、三重积分的计算;第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分、第二类曲面积分的计算;格林公式、高斯公式、斯托克司公式的应用。 通过本章的学习，掌握广义积分、含参量积分的各种敛散性判别法及含参量广义积分的一致收敛性判别法;掌握含参量积分及含参量广义积分的连续性、可微性、可积性及其它们的应用;掌握二重积分、三重积分的计算;掌握第一类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲线积分、第二类曲面积分的计算;掌握格林公式、高斯公式、斯托克司公式的应用。 本章的主要教学内容(教学时数安排:8学时): ?7.1含参量积分 ?7.2含参量的反常积分 ?7.5重积分 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周4学时，总约80学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，由于这门课是在已学完数学分析的基础上开设的选修课，因此需要学生课后复习已学过的知识，同时根据学生在论证题比较薄弱的特点，课堂上讲授大量有一定难度的论证例题，拓宽学生的解题思路。本课程可以采用多媒体辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(4学时)由教师统一布置一些思考作业，总量达到20余次，由于这些思考题有一定的难度，鼓励学生互相讨论完成。 本课程的半期考试采用写小的形式，期末考试采用闭卷考试方式。 考试题目的一般类型:(1)是非题或选择题:基本概念或基本计算、分析;(2)计算题:求极限、级数和等等;(3)理论分析证明题。 本课程总评成绩由期末考试和平时学习情况两大部分构成，平时学习情况包括:课堂表现、平时作业完成情况、半期考。成绩的评定采用百分制。期末考试成绩占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:谢碧华 执笔 校对者: 审定者:苏维钢 批准者:周哲彦 96 《最优化方法》课程教学标准 第一部分:课程性质、课程目标与要求 《最优化方法》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的选修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的课程之一，它与工农业生产等实际问题紧密联系。本课程的目的是利用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等其他数学科学的知识，来对各种实际问题建立优化模型，并构造优化算法，使学生学会和掌握本课程的基本优化模型、基础理论和方法，为他们解决实际问题提供思想与方法;同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本优化方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣，做好准备。 教学时间应安排在第六学期或第七学期。这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析等课程，这是学习《最优化方法》课程必要的基础知识。同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决优化问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。 第二部分:教材与学习参考书 本课程拟采用由孙文瑜、徐成贤和朱德通编写的、高等教育出版社2004年出版的《最优化方法》一书，作为本课程的主教材。 为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下几本重要的参考书: 1、最优化方法，施光燕、董加礼，高等教育出版社，1999 2、最优化理论与算法，陈宝林，清华大学出版社，1989 第三部分:教学内容纲要和课时安排 第一章 基本概念 主要介绍优化问题的基本模型、凸集和凸函数的概念和性质、最优性条件及最优化方法概述。 本章的主要教学内容(教学时数安排:6学时): ?1.1最优化问题简介 ?1.2凸集和凸函数 ?1.3 最优性条件 ?1.4 最优化方法概述 第二章 线性规划 本章介绍线性规划的基本性质及其对偶理论，求解线性规划的单纯形方法和对偶单纯形方法以及内点算法。通过本章的学习，学习者要理解和掌握线性规划的对偶理论，并能用数学软件Matlab编程实现求解线性规划的单纯形方法和对偶单纯形方法以及内点算法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:9学时): ?2.1基本性质 ?2.2单纯形方法 ?2.3线性规划的对偶与单纯形方法 ?2.4线性规划的内点算法 第三章 线性搜索与信赖域方法 本章介绍各种常用的线性搜索方法及其收敛性和信赖域方法的思想及其收敛性。通过本 97 章的学习，掌握线性搜索的常用方法和信赖域方法及其收敛性的证明方法，理解迭代算法的思想, 并能用数学软件Matlab编程实现所学的线性搜索的常用方法和信赖域方法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:6学时): ?3.1线性搜索 ?3.2 0.618法和Fibonacci法 ?3.3逐次插值逼近法 ?3.4精确线性搜索方法的收敛性 ?3.5不精确线性搜索方法 ?3.6信赖域方法的思想和算法框架 ?3.7信赖域方法的收敛性 ?3.8解信赖域子问题 第四章 无约束最优化方法 本章介绍无约束最优化方法——最速下降法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法，及其收敛性讨论。通过本章内容的学习，要理解各种常用无约束最优化方法的思想，并能够用数学软件Matlab编程实现这些算法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:6学时)。 ?4.1最速下降法 ?4.2牛顿法 ?4.3共轭梯度法 ?4.4拟牛顿法 第五章 线性与非线性最小二乘问题 本章介绍线性和非线性最小二乘问题的常用算法的设计思想及收敛性问题。通过本章内容的学习，要理解线性和非线性最小二乘问题的常用算法的设计思想，并能够用数学软件Matlab编程实现这些算法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:6学时): ?5.1线性最小二乘问题解法 ?5.2非线性最小二乘的Gauss-Newton法 ?5.3信赖域方法 ?5.4对Gauss-Newton矩阵的拟牛顿修正 第六章 二次规划 二次规划是最简单的非线性规划，它的求解算法的设计思路对更复杂的非线性规划的解法有一定的指导作用。通过本章的学习，要理解二次规划求解算法的设计思想，并能够用数学软件Matlab编程实现这些算法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:3学时): ?6.1二次规划 ?6.2等式约束二次规划问题 ?6.3凸二次规划的有效集方法 第七章 约束最优化理论与方法 本章介绍约束最优化的理论与常用算法。通过本章的学习，要理解约束最优化问题的最 优性条件，及约束最优化问题求解算法的设计思想，并能够用数学软件Matlab编程实现 这些算法。 本章的主要教学内容(教学时数安排:3学时): 98 ?7.1约束最优化问题与最优性条件 ?7.2二次罚函数方法 ?7.3内点障碍罚函数法 ?7.4序列二次规划方法 第四部分:教学方案简要说明 课时计划是每周3学时，总约39学时。教师可根据课时适当调整部分教学内容。本课程教学采用课堂讲授为主，并与研究性教学相结合，把数学建模以及科学研究的有关思想方法直接或间接地引入课堂教学过程。教师可以根据专业的需要以及学生的学习情况，在教学过程中设计若干研究性或应用性题目供学有余力的学生课外去完成(2001级数学专业已做过尝试)，目的是培养学生的研究能力和创新能力。本课程可以采用多媒体技术手段辅助教学。课程教学强调理解与分析，也强调应用和技能。 第五部分:课程作业与考核评价 本课程需要学生自主完成一定量的题目才能较好地达到课程教学目的，一般每次课(3学时)由教师统一布置作业，总量达到10余次，每次作业要求学生用数学软件编程实现本次所讲的算法，并通过算例检验。 本课程采用开卷考试方式。对一个复杂的实际优化问题，进行建模，编程，计算，完成一篇论文。 本课程总评成绩由期末论文和平时学习情况两大部分构成。成绩的评定采用百分制。期期末论文占总评成绩的70%，平时学习情况占总评成绩的30%。因此科任教师要重视学生平时学习情况的跟踪、检查和评价。 制定者:张圣贵 执笔 校对者: 张圣贵 审定者:张圣贵 批准者:周哲彦 99 100