正则，正规，T3，T4 空间　

　正则，正规，T3，T4 空间　 正则，正规，空间 定义6.2.1 设X是一个拓扑空间，A，UX(如果A包含于U的内部，即A，则称集合U是集合A的一个邻域(如果U是A的一个邻域，并且还是一个开集(闭集)，则称U是A的一个开(闭)邻域( 定义6.2.2 设X是一个拓扑空间(如果X中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域，它们互不相交(即如果x?X和AX是一个闭集，使得xA，则存在x的一个开邻域U和A的一个开邻域V使得)，则称拓扑空间X是一个正则空间( 定理6.2.1 设X是一个拓扑空间(则X是一个正则空间当且仅当对于任何点x?X和x的任何一个开邻域U，存在x的一个开邻域V使得( 必要性设X是一个正则空间(如果x?X，集合U是x的一个开邻域，则U的补集便是一个不包含点x的闭集(于是x和分别有开邻域使得(从而，所以 充分性 设x?X和A是一个不包含x的闭集(这时A的补集是x的一个开邻域，根据定理中所陈述的条件可见，有x的开邻域U使得(令，所以V是A的一个开邻域，并且易见 (这证明X是一个正则空间( 定义6.2.3 设X是一个拓扑空间(如果X中的任何两个互不相交的闭集各有一个开邻域并且这两个邻域互不相交(即如果A，BX都是闭集，则存在A的一个开邻域U和B的一个开邻域V使得)，则称拓扑空间X是一个正规空间( 定理6.2.2 设X是一个拓扑空间(则X是一个正规空间当且仅当对于任何一个闭集A X和A的任何一个开邻域U，存在A的一个开邻域V使得( 正则、正规性质与?6.l中定义的以及Hausdorff诸性质之间并无必然的蕴涵关系( 例6.2.1 正则且正规的空间但非空间(因而也是非，非Hausdorff空间)的例 子( 令X={1,2,3}和T={{1},{2,3},{1,2,3},}(容易验证(X，T)是一个拓扑空间，并且是一个正则且正规的空间(留意点2和点3立即可见它不是一个 空间( 例6.2.2 Hausdorff空间(因而也是空间)但非正则空间、也非正规空间的例子( 拓扑空间的正则性和正规性之间也没有必然的蕴涵关系( 例6.2.3 正规空间而非正则空间的简单例子是(X，T)，其中X={1,2,3}和T ={,{1},{2},{1,2},{1,2,3}} 定义6.2.4 正则的空间称为空间，正规的空间称为空间( 由于空间中的每一个单点集都是闭集，因此空间一定是空间，空间一定是Hausdorff空间(而非空间的一个例子(它自然也是正则而非正规空间的例子)可见于习题第6题( 最后，我们证明度量空间满足本章中在此之前所有我们引进的那些定义(指至，以及正则正规等)(为此，我们只要证明: 定理6.2.3 每一个度量空间都是空间( 证明 设(X，d)是一个度量空间(如果x，y?X，x?y，则d(x，y),0.令ε=d(x，y)，则球形邻域B(x，ε/2)和B(y,ε/2)分别是x和y的开邻域，并且易见它们无交(因此X是一个Hausdorff空间，自然它也是 空间( 现在设A和B是X中的两个无交的闭集(假如A和B中有一个是空集，例如B= (这时我们可以取X为A的开邻域，为B的开邻域，它们的交当然是空集(以下假定A和B都不是空集(根据定理2(4(9可见，对于x，y?X，如果xB，则d(x，B),0;如果yA，则d(y，A),0(记 ε(x)=d(x,B)/2,δ(x)=d(x,A)/2 并且令 显然U和V分别是A和B的开邻域(以下证明 (若不然设 , 不失一般性，设(于是我们有 这与d(，B)的定义(d(，B),inf{(，y)|y?B})矛盾(这就证明了X 是一个正规空间(