【word】 矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律

【word】 矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律 矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换 律 第33卷第4期 上海理工大学 J.UniversityofShanghaiforScienceandTechnologyVo1.33No.42011 文章编号:1007—6735(2011)04—0379—05 矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律 李莹.,高 (1.上海理工大学管理学院,上海200093;2 岩,郭文彬 聊城大学数学科学学院,聊城252059) 摘要:定义了两个矩阵乘积关于广义逆的交换律与广义交换律的概念,利用矩阵秩方法及奇异值 分解分别研究了两个矩阵乘积关于{1)一逆,{1,2)一逆,{1,3)一逆与{1,4)一逆的交换律与广义交换律 成立的充要条件,并对其进行了比较. 关键词:{i,J,)一逆;群逆;广义Schur补;秩方法;奇异值分解;交换律 中图分类号:0151.21文献标志码:A Commutativelawandgdizede,,mmutativelawofommutativegeneral1Zeco utaelaWO ? -l??l?』?l-?- matrixmultipllCatl0n0ngeneral1ZetllnVerSe LIYin9.-.GAOYan.GUOWen-bin (1.BusinessSchool,UniversityofShanghaifoScienceandTechnology,Shanghai200093,China; 2.CollegeofMathematicsScience,LiaochengUniversity,Liaocheng252059,China) Abstract:Theconceptsofthecommutativelawsandgeneralizedcommutativelawsofmatrixmul- tiplicationongeneralizedinverseweredefined.UsingthematrixrankmethodandSVD,necessary andsurficientconditionsaboutthecommutativelawsandgeneralizedcommutativelawsofmatrix multiplicationon{1}一inverse,(1,2}_inverse,{1,3)一inverseand{1,4卜 inversewereestablished respectively,andtheseconditionswerecomparedbetweenthemselves. Keywords:{i,J,)一 inverse;groupinverse;generalizedSchurcomplement;matrixrank method;singularvaluedecomposition;commutativelaws 1预备知识 以C”示所有m×n复矩阵的集合.A, r(A),R(A),N(A)分别表示矩阵A的共轭转置, 秩,值域与零空间.对于A?C”,ind(A)表示A 的指标,它是指满足(A)=(A)的最小正整 数.给定矩阵A?C”,其广义逆G[卜]是满足下 列4个方程中某些方程的矩阵 (1)AGA:A;(2)GAG=G; (3)(AG)=AG;(4)(GA)=G4. 收稿日期:2010—04—12 基金项目:国家自然科学基金资助项目(11171221) 作者简介:李莹(1974一),女,博士研究生.研究方向:系统分析,矩阵理论.E-mail:liyingld@163.corn 高岩(联系人),男,教授.研究方向:混杂系统分析.E-mail:gaoyan@usst.edu.cn 上海理工大学2011年第33卷 令?77={i,J,){l,2,3,4),用A叩表示 满足以上4个方程中的(),,.),(k)方程的矩阵G 的集合,却中的任何一个矩阵G称之为矩阵A的 一 个{.,)一逆,记为A”lf.J.若={1,2,3,4), 则称G为A的M—P逆,记为A.EA=I—AA, FA=J—AA分别为A,A的零空间上的正交投 影.A?C”的群逆L1]是指满足下列方程的矩阵G, 记为A#. (1)AGA=A;(2)G4G=G;(5)AG=CA. 矩阵的各种类型的广义逆在实际中都有广泛的 应用.它们在概率统计,数学规划,控制论,测量学, 博弈论和网络理论等领域都有极其重要的作 用l_2].同时在研究最小二乘问,长方及病态线性 方程问题,马尔可夫链等统计问题中也是一种基本 的工具.广义逆应用的广泛性要求它自身理论发展 不断地充实完善. 设A?C”非奇异,则必有AA=A—A.当 A?C”为奇异矩阵时,若A存在,也有AA#= AA.但对于{i,J,k}一逆,却未必有A”.flJ? A{,J,k}使得AA”,m=A”,A,然而有时交换 律的成立会使得某些问题得以简化,因而有必要 研究关于{,J,k}一逆的交换律成立的条件.文中 将明确给出矩阵乘法关于广义逆的交换律及广义 交换律的概念,利用矩阵秩方法与奇异值分解,分 别建立了矩阵乘法关于(1},逆,{l,2}一逆, {1,3)一逆与{l,4)一逆的交换律及广义交换律成 立的充要条件. 首先,给出矩阵乘法关于广义逆的交换律及广 义交换律的定义. 定义1设A?C”,?77={.,k) {1,2,3,4).对于x?A,如果AX=XA,则称矩阵 乘法关于x满足交换律. 定义2设A?C”,?叩={,.,k) {1,2,3,4}.对于x,y?A叩,x?y,如果AX=YA, 则称矩阵乘法关于x与y满足广义交换律. 为推导需要,给出下列引理. 引理1[|设A?C,则下列各条等价: (1)ind(A)=1;(2)R(A)nN(A)={0); (3)R(A)?N(A)=C”;(4)A存在. 引理2[一设A?C,B?C,C? C”,D?C.则 彻一 r 设A,Bl,B2,C1,C2与x1,使得A—BlxlC1 一 Bx2C2有意义.则 minr(A一1X1C1一2C2)= rA,ll Ic1+r(A,B1,B2)+max{81,82}(2) lC2j 其中 fA 8l=J【 C2 s.= B1]fAJ— J 0JIC2 B2]fA【 一 rl 0JlC1 fAB]1 B1B2]1IICl0j 00,l0j fAB2] BlB2]2I o0j一0I【C20J 引理3E5]设AC-C”,B?C,c?C”, D?C.则 min(D—CA?,0B)= (]+[AA二B]一I三Jc3) min(D—CAnB)=II+ A”„IDj fAAAB1,r10ABI(4)【CDj1l 2矩阵乘法关于A(及A(,』的交换 律成立的充要条件 定理1设A?C”,则下列各条等价: a.存在A?A{1),使得AAn1_An?A; b.存在An,?A{1,2},使得AAn)_A卫A; c.(A)=(A.); d.ind(A)=1; e.R(A)nN(A)={0}; 第4期李莹,等:矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律381 f.R(A)?N(A)7--C; 昏A存在. 证明ac若存在AnEA{1}使得AAn)_ AnA,则在上式两端分别左乘A得AAn=A,因 而(A)?(A).同时(A)?(A).因此(A)= (A.). ca(A)=(A)即ind(A)=1.由引理1 知存在A且AA=AA.显然A?A{1).即存在 AEA{1}使得AA?=An?A. b?c类似于a?c.c?de?f甘g可由引理1 直接推得. 定理2设A?C.则存在A??A{1,3) 使得An?A=AAn)_AA当且仅当 fA1ll = (A) j 证明由于AAn门=AA对任意An.? A{1,3)成立,关于{1,3)一逆的交换律转化为是否 存在An?使得A.A=AA.后者等价于 rainr(a?A—AA)=0.现计算这一极小秩.由式A(1,) (1)和式(3),得 minr(A?,0A A(1,3) fI.1An..,A)一cA=lnJAn.0,A)一A= AAO 0AAA 一 JAA AO O0 0AAA 一 IAA + OA AAAA AAO — (A)= 1i—(A.) (AJ 定理3设AEC”.则存在AnEA{1,4), 使得AAn=AA=AA当且仅当 (A,A)=(A.) 证明由于AnA=AA对任意A?,?? A(1,4}成立,关于{1,4}一逆的交换律等价于是否 存在Aq,使得AAn=AA.而后者又等价于 minr(AAn?一AA)=0.现计算这一极小秩.由式 Atl,4, (1)和式(4),得 min(AA?1,一AA)= r(A):r AA1f0],l+lfAu?(o , I)}一0jlAJ/ AA0I 0AAAAA — AAA0 AAA A AA] 0J A00I 00AAAAA 0一AAO + 一 r(A)= (A,A)一(A.) 文中考虑的是对某一个A.f,J,等式AAnJ= AJA是否成立.现研究对于X,YEA{l,J}且x? Y,AX=YA成立的条件. 3矩阵乘法关于广义逆的广义交换律 成立的充要条件 定理4设A?C.则存在A一,AEA{1)使 得AA=AA当且仅当(A)7--(A). 证明存在A一,A?A{1)使得AA一=AA当 且仅当min(AA一一AA)=0.因而将计算 A.A— AA一一AA的极小秩. 假设A的奇异值分解为A:Uf(A)01v,l00J 其中,U=(U1,U2),V=(V1,V2)是两个nxn的酉 矩阵且【,1?C”,Vl?C”“,(A)=diag(口1, 2,…,M)),1?2?…?)>0为A的奇异 值.则A?:vf?)1B]【,,其中,B,c,D为具【CDJ 有适当阶数的任意矩阵.设A一,A?A{1),并且 .f(A)一Bl} lC1DlJ 三蓦 A n m A m m = ooo 上海理工大学2011年第33卷 则 』r(A) A=V1 【c2 r(A4一一AA)=r U((BIU*一 l00J fJr(A)0] V{,1V 【C20J r (:]+l=0讣 :u)= /f0一U21fU1i,(1vu0j+lvuJB1?0,I”一r?)一 CUU I. )ll2(1,2)Iln- ,l(A)J/ 因而,由式(2),得 苷 rai , nmlnr c(u10卜Ill十, , \lJ (u],BU1c.,一c一l1j?ll1(0,州A))一lI?lVJA)J 其中 , C2(y【,,V;U2)1= f0一VU2 rI 【U10 max{S1,S2} S1=r O U1 V 0 VU1 VU1 O 【,1 O VU1 一 O — I”一r(A) VU2 VUl0] l+ U1Jn—r(A)j VUl viUL 0 VU1 viU1 O 0 I一r(A 0 + 则 O v, 0 V【,1 一 „厂U2 0 一 IH—r(A) VU2 yU1 【,1 0 0 — 2+2r(A)一2r(VU1) S,=r — 【,2 O — ln-r(A) 一 VU2 O — Ir(A) 一 VU2 0 一 J一rfA) 2 0 Jn—r(A) 0 — 2n+2r(A)一2r(VU1)=S 经过计算,得 0一VU2 VU10 0一I一r(A) „厂【,1VUz f?,U1] =一(A)+1I=【U 1J 竹一(A)+r(VU1)=一A)+r(U1) f0一VU2VU101 1l= lUlOu1J一)J 一 r(A)+r(„,】-U1,U2)= 一 (A)+(V) 现计算r(VU1). 由A:u)01得 【00J A==Vf?r()01I,,A+:=Vfc一o1I,=ll【,,=llU【00I100J …,r(y= f?,lo1:r(Uv1):ILl?,二Jc00J (UV1)=r(VU1) 因而,由式(1),得 U ,??????? 』 .. 啪啪.... ,,J oooooo VVV UU owo 一 V一 第4期李莹,等:矩阵乘积关于广义逆的交换律及广义交换律 rainr(AA一一AA)= A一.A r(【,1)+r(1)一2r(„厂U1)= 2(A)一2(AA)= /fAAAA1, 2r(A)一2IIAA0J—?A)\IAA0J/ f0A] 4(A)一2rff=l( A)0J 2(A)一2(A) 在定理l中,已经说明选择A?A{1)可以使 AAn=AnA.事实上,作为一般性的证明方法,只 需在定理4的证明过程中令B=Bz,C1=c2,D1= D2即为定理1的证明. 定理5设A?C”.则存在X,YEA{1,2}使 得AX=YA当且仅当(A)=(A). 证明由A:Uo]得A(1I2:l00J v f(A),一B1*其中,B,c为具有适当阶Vlf其中,B,C为具有适当阶 【CC)BJ 数的任意矩阵.令x,YEA{1,2),且 f(A)1B11 【C1C1r(A)B1J 则 fr(A) Y=Vl lC2 minr(AX—yA) X.Y BlU*一 0J fIr(A)0], VI.ra一in?A) 因而关于{l,2)一逆的广义交换律与关于{1}一 逆的广义交换律相同. 对于{1,3)一逆,设,YEA(1,3),不论X与l, 是否相等,总有AX=AY=AA,因而关于{1,3)一 逆的广义交换律等同于关于{1,3)一逆的交换律. {1,4}一逆的情形与{1,3}一逆相同. 定理6设A?C.则存在X,YEA{l,3)使 fA] 得AX=yA当且仅当1l=(A). 1AJ 定理7设A?C.则存在x,YEA(1,4)使 得AX=YA当且仅当(A,A):(A.). 4结论 已经建立了矩阵乘法关于广义逆的交换律及广 义交换律成立的等价条件,接下来要研究满足 AAnkAnJA的AJ的结构与性质.这是一个矩 阵方程的问题.例如,寻找满足AA:An?A的 fA=A An,即为寻找或Ax=A的解.这是作 IAXXA 者下一步将要研究的课题. 参考文献: EliBEN—ISRAELA.GREVILETNE.GeneralizedInver— ses:TheoryandApplicationsFM].NewYork:JohnWi— ley&Sons.1974. [2]郭文彬,魏木生.奇异值分解及其在广义逆理论中的应 用[M].北京:科学出版社,2008. [3]王松桂,杨振海.广义逆矩阵及其应用[M].北京:北京 工业大学出版社,1996. r4]TIANYG.Moreonmaximalandminimalranksof Schurcomplementswithapplications[J].ApplMath Comput,2004,152:675—692. r-s]TIANYG.Upperandlowerboundsforranksofmatrix expressionsusinggeneralizedinverseI-J].LinearAlge braAppl,2002,355:187—214. U mO U 一