运用母函数求解递推数列通项公式

运用母数求解递推数列通项公式 四川内江师范学院数学与信息科学学院641112 摘要:在教学中， 教师应充分认识递推数列在初等数学与高等数学中的本质联系，从高等数学的高度进行教学，这有利于培养学生创造性的思维和探究问题的能力( 本文利用母函数求解相关的一阶递推数列、二阶递推数列的通项问题. 关键词:母函数;递推数列;应用 在日常教学中，教师一般从初等数学的角度进行教学，采用“化归”的思想，引入辅助数列把问题转化为等差数列或等比数列来解决，但求解过程较烦琐，技巧性也不强( 有些教师认识到递推数列问题在高等数学中的背景，从高等数学的高度进行教学，如采用“特征根法”“不动点法”等( 本文主要利用母函数知识来研究递推数列问题( 定义对数列,an,中的各项a0，a1，a2，…，构造函数G(x)=a0+a1x+a2x2+…，称G(x)为数列,an,的母函数( 规定G(x)可以像多项式那样进行四则运算，不用考虑敛、散性( 用母函数求解递推数列通项问题时一般有4步. (1)构造数列,an,的母函数G(x)=anxn=a0+a1x+a2x2+a3x3+…; (2)将关于an的递推关系式转化为关于数列,an,的母函数G(x)的方程式; (3)解出G(x)=++…，并根据=xn=1+x+x2+x3+…及=(px)n=1+px+(px)2+(px) 3+…， =Cxn，将母函数的函数达式展开成G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…的形式; (4)根据母函数G(x)=a0+a1x+a2x2+…中xn的系数an，求出数列,an,的通项. [⇩]一阶线性递推数列 an+1=p(n)an+q(n)，a1=a(a为常数，p(n)?0)，其中p(n)，q(n)是关于n的函数. 例1 (2008四川)设数列,an,的前n项和为Sn，已知ban,2n=(b-1)Sn . (1)证明:当b=2时，数列,an-n?2n-1,是等比数列; (2)求数列,an,的通项公式( 解析 由题意知a1=2，且an+1=ban+2n( (1)略. (2)当b?2时，an+1=ban+2n，且有a0=( 设数列,an,的母函数为 G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…， 所以 x?a1=ba0+20， x2?a2=ba1+21， x3?a3=ba2+22， … 以上等式相加得G(x)=,(b-2)x?(1-2x)(1-bx),. 令G(x)= +，则an=?(A?2n+B?bn). 所以A+B=1， (2A+bB)=2 .解得A=，B=( 因此an=,2n+(2-2b)bn-1,( 综上所述，当b=2时，an=(n+1)2n-1;当b?2时， an=2，n=1， ,2n+(2-2b)bn-1,，n?2 . ，q?0，p?q)，且a1=a，则 评注经研究，如果数列,an,满足an+1=pan+qn(p?0，1an=apn-1+,( [⇩]二阶线性递推数列 an+2=pan+1+qan，a1=a，a2=b(a，b为常数，pq?0)( 例2(2008广东)设p，q为实数，α，β是方程x2,px+q=0的两个实根，数列,xn, 满足x1=p，x2=p2,q，xn=pxn-1,qxn-2(n=3，4，…)( (1)证明:α+β=p，αβ=q; (2)求数列,xn,的通项公式; (3)若p=1，q=，求数列,xn,的前n项和Sn( 解析 xn=pxn-1,qxn-2对n=2，3，4…也成立，则x0=1( (1)略. (2)设数列,an,的母函数为 G(y)=a0+a1y+a2y2+a3y3+…， x2=px1,qx0， 所以y2? y3?x3=px2,qx1， y4?x4=px3,qx2， … 以上等式相加得G(y)=，且α+β=p，αβ=q( 当α?β时，令G(y)=+， 所以A+B=1， βA+αB=0， 即A=，B=,. 因此xn=. 当α=β时，G(y)==C(ay)n， 因此xn=Cαn=(n+1)αn. 综上所述， xn =,αn+1,βn+1,，α?β， xn=(n+1)αn，α=β. (3)略( 评注经研究，如果数列,an,满足an+2=pan+1+qan，且a1=a，a2=b(pq?0，a，b均 为常数)，其中α+β=p，αβ=,q( 当α?β时， an=; 当α=β时，an=aαn-1+(n-1)(b-x)αn-2( 在2008年的高考数学试卷中出现了一阶递推数列、一阶分式数列和二阶递推数列问 题，而且数列的形式相当复杂，因此，在教学中加强递推数列在初、高等数学中的本质联系， 从高等数学的角度进行教学，才能保证学生在高考中占有一定的优势( 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文