1计算下列定积分

1计算下列定积分 第九章 定积分 1(计算下列定积分: 221edx1,x1dx(2x，3)dx2,,0e,1，xxlnx01); (2); (3); ( x,x9,11e,e2(x，)dx;3dx,tanxdx,40,x20(4); (5) (6) e41dx2(lnx)dx;1,,0x1，xe(7) (8)( 2(利用定积分求极限: 133，，，nlim(12);4n,,n(1) ，，111nlim;，，，,,222n,,nnnn(1)(2)()，，，，，(2) 111n，，，lim();222n,,nnn，，1(2)2(3) 121,,n,lim(sinsinsin)，，， n,,nnnn(4)(3. 证明:若在上可积，. ,,,,,,,,,abf则在上也可积f[,]ab,,,,,, g4. 设)均为定义在上的有界函数(证明:若仅在中有限个点处f[,]ab[,]ab bbg则当在上可积时，在上也可积，且. fxgx()(),,f[,]ab[,]abfxdxgxdx()(),,,aa ,,,,，，a,a,b,an,1,2,？5.设在上有界，证明:在上只有为其f[,]ablim.ac,[,]abnnn,,n 间断点，则在上可积. f[,]ab 6.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小: ,,11222 (1) (2)( xdx与xdx;xdxxdx与sin,,,,0000 7.证明下列不等式: ,1,,dxx22,,; (1) (2); 1,,edxe,,0022121sin,x2 ,4esinxdx,lnx21,,dx36.edx,, (3) (4) ,,0ex2;x b28.设在上连续,且不恒等于零,证明 fx()f[,]abfxdx,0.，，，，,a9.设与g都在上可积,证明 f[,]ab Mxfxgxmxfxgx()max(),(),()min(),(),,,,,,xab,,xab,,,,,, 上也都可积. 在[,]ab 110.设在上可积,且在上满足证明在上也可积. fxm()0.,,f[,]ab[,]ab[,]abf M与g都在上可积,且在上不变号,、分别为在11.证明:若mfx()f[,]abgx()[,]ab ,上的上、下确界,则必存在某实数,使得 [,]ab()mM,,, bb f(x)g(x)dx,,g(x)dx.,,aa12(求下列极限: x2t2()edtx1,20lim. (1) (2) tdtlimcos;x2,x,,0,t20xxedt,013(设为连续函数，证明: f ,, 22(1) f(sinx)dx,f(cosx)dx;,,00 ,,,(2) xf(sinx)dx,f(sinx)dx.,,002 g14. 证明施瓦茨(Schwarz)不等式:若和在上可积，则 f[,]ab 2bbb22,,f(x)g(x)dx,f(x)dx,g(x)dx. ,,,,,aaa,,15. 利用施瓦茨不等式证明: (1)若在上可积，则 f[,]ab 2bb2,,f(x)dx,(b,a)f(x)dx; ,,,,aa,, (2)若在上可积，且，则 f[,]abfxm()0,, bb12f(x)dx,dx,(b,a) ; ,,aaf(x) (3)若、g都在上可积，则有闵可夫斯基(Minkowski)不等式: f[,]ab 111bbb222222，，，，，， ( (f(x)，g(x))dx,f(x)dx，g(x)dx,,,,,,,,,aaa，，，，，， 16(证明:若在上连续，且，则 f[,]abfx()0, bb11,,,lnf(x)dxlnf(x)dx . ,,,,aa,,baba,,