数学建模 购房问题

数学建模 购房问 A题:购房贷款问题 蒋萍 ,08(3)班 08211337, 【摘要】 随着人们生活水平的不断提高～越来越多的人正在购置房产用于居住或进行置业投资。但是购房投资是一项金额较大的投资～要人们一次性支付比较困难。但随着市场经济的发展～向银行贷款购房成了我们买房的主要方式。我们知道～如果向银行贷款就需要直接面对提供担保、偿还借贷的问题～现实生活中人们选择贷款的期数、月还款额时～却往往因为缺乏这方面的知识～而带来一定的盲目性～给自己带来或多或少的经济损失。所以在这个市场经济时代～面对不同的决策方案～正确的决策意味着经济资源的最优配置。 本文就购房贷款问题～展开一系列的讨论。针对购房问题进行全面～利用递推数列将实际问题数学化～建立了一个数学模型。利用计算机程序算出结果～不仅求出了各种还款方式的还款金额和利息～而且还指出了等额还款是最优的还款方式。 【关键词】 递推数列 贷款额 利息 贷款期限 还款额 1.问题重述 小王夫妇贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%,月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 1. 在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少,共计付了多少利息, 2. 在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还 贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款 还清, 3. 如果在第6年初，银行的贷款利`率由0.6%,月调到0.8%,月，他们仍然 采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月 的还款额应是多少, 4. 小王夫妇认为，随着他们工作经历的增长，家庭收入也会随着增长，因此， 打算采用逐步增加还款额的还款方式来偿还贷款，具体的办法是:如果第1 年的每月还款额是1000元的话，那么第2年的每月还款额就是1500元，第 3年的每月还款额是2000元，第4年的每月还款额是2500元，以此类推。 在此情况下，如果贷款利率还是0.6%,月，那么，第1年的每月还款额是多 少,以后各年的每月还款额又是多少,共计付了多少利息, 5. 在4提出的还款方式下，在贷款满5年后，打算在第6年初一次还清全部 余款，那么，一次的还款额是多少,如果第6年初，银行的贷款利率由0.6% ,月调到0.8%,月，从第6年起，以后各年的每月还款额是多少, 6. 综合上述问题，为小王夫妇(实际上是打算贷款购房的人)写一份， 帮助他们分析各种的利弊，和偿还贷款的计划。 2(问题的提出及分析 从数学角度看，本课题是等比数列知识的一个实际运用，因此在解决这一问题时首先应弄清以下方面的问题;(1)在银行按揭分期付款中，每月的利息按复利计算;(2)付款中每期付款金额相等(3)付款时，本金和每期所付款额在贷款全部付清前随时间推移而不断增值(4)各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和等于本金从购买到最后一次付款时的利息之和。 本文以计算贷款在分期付款时每期应付款决策，并说明数列在分期付款的应用。有些人认为购房付款一次性付清较好，有些认为分期付款比较好，因为有很多人一次支付较高的款额有一定的困难，还有不少开发商在不断改进营销策略，方便人们消费和付款，所以我认为采取分期付款容易被不同阶层的人接受，现对购房分期付款作以下分析，并作出最优的决策方案。 3(模型假设 (1)除去一定的政策原因 (2)在还款过程中，月收入稳定 (3)银行利率保持稳定 4(模型建立与求解 (1)按分期付款中的规定，各期所付的金额连同到最后一次付贷款的利息之和，等于房子售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，所以我们得到如下关系式: 设每月还x元，一共还了n个月，本金为a，利率为b,利息为m元 x+(1+b)x+x(1+b)^2+x(1+b)^3+…+x(1+b)^(n-1) =a*(1+b)^n 即x[1+(1+b)+(1+b)^2+(1+b)^3+…+(1+b)^(n-1)] =a*1.006^n 观察上式中括号内，是一个首项为1，公比为(1+b)的等比数列的前n项和。 根据:Sn=a1(1-q^n)/(1-q)得: x[(1-(1+b)^n)]/[1-(1+b)] =a*(1+b)^n 则x=a*(1+b)^n*[(1+b)-1]/[(1+b)^n-1] 利息:m=n*x-a 此时 n=240 a=200000 b=0.006 应用计算机程序算出结果: 程序如下: Option Explicit Private Sub Command1_Click() Dim n As Integer, a As Double, b As Single, x As Single, m As Single n = Val(Text1.Text) a = Val(Text2.Text) b = Val(Text3.Text) x = a * (1 + b) ^ n * ((1 + b) - 1) / ((1 + b) ^ n - 1) m = n * x - a Text4.Text = CStr(x) Text5.Text = CStr(m) End Sub 所以由运行结果得: x=1574.699元 m=177927.7元 所以小王夫妇每月的还款额是1574.699元 共计付了利息177927.7元 (2)设第n个月还完x元后还欠银行r元 r=a*(1+b)^n-[1+(1+b)+(1+b)^2+…+(1+b)^(n-1)]x r=a*(1+b)^n-[(1-(1+b)^n)]/[1-(1+b)]x 此时 n=60 x=1574.699 a=200000 b=0.006 应用计算机程序算出结果: 程序如下: Option Explicit Private Sub Command1_Click() Dim n As Integer, a As Double, b As Single, r As Single, x As Single n = Val(Text1.Text) a = Val(Text2.Text) b = Val(Text3.Text) x = Val(Text4.Text) r = a * (1 + b) ^ n - ((1 - (1 + b) ^ n)) / (1 - (1 + b)) * x Text5.Text = CStr(r) End Sub 所以由运行结果得: r=173034.9元 故他们在第6年初，应一次付给银行173034.9元，才能将余下全部的贷款还清 (3)由(1)知:x=a*(1+b)^n*[(1+b)-1]/[(1+b)^n-1] 此时b=0.008 n=180 a=173034.9 应用计算机程序算出结果: 程序如下: Option Explicit Private Sub Command1_Click() Dim n As Integer, a As Double, b As Single, x As Single n = Val(Text1.Text) a = Val(Text2.Text) b = Val(Text3.Text) x = a * (1 + b) ^ n * ((1 + b) - 1) / ((1 + b) ^ n - 1) Text4.Text = CStr(x) End Sub 所以由运行结果得: x=1817.329元 那么第六年后，每月的还款额应是1817.329元 (4)设第一年每月还Y1元，以后每年依次为Y2,Y3,…Y20 假设:还款总额为a;月利率为r;总期数为n;递增间隔为m;递增金额为t;开始递增期数为k; 余数w=(n-k+1)mod m，取整v=int[(n-k+1)/m]等额递增还款法每月还款金额=Y Z1=t/[(1+r)^n-1] Z2=(1+r)^w*[(1+r)^((v+1)*m)-1]/[(1+r)^(m-1)] Y=x-Z1*[Z2-(v+1)] 此时a=200000 r=0.006 n=240 m=1 k=20 t=500 将数据分别代入上式得: w=221 Z1=156.1244 Z2=462.2607 Y1=200000-156.1244*[462.2607-222] =1624.9 ……. 第二十个月应付Y20=1624.9+500*20 =172490元 总利息:(1624.9+172490)*20/2-200000 =314980元 故第一个月应该还款1624.9元 共计利息为314980元 (5)设贷款总额为a第一个月还x元，月利率b，还款间隔为m，每月递增y元，还款的总期数为n，剩余的钱为r x+(1+b)x+(1+b)^2x+(1+b)^3x+…+(1+b)^11x =x[1-(1+b)^12]/[1-(1+b)] (x+y)+(1+b)(x+y)+(1+b)^2(x+y)+(1+b)^3(x+y)+…+(1+b)^11(x+y) =[(x+y)(1-(1+b)^12)]/[1-(1+b)] (x+my)+(1+b)(x+my)+(1+b)^2(x+my)+(1+b)^3(x+my)+…+(1+b)^11(x+my) =(x+my)*(1-(1+b)^12)/[1-(1+b)] (1-(1+b)^12) [x+(x+y)+…+(x+my)] =a*(1+b)^n/[1-(1+b)] 此时b=0.006 a=200000 n=60 m=5 y=500 a*(1+b)^n)(1-(1+b))/(1-(1+b)^12) x*(m+1)+((1+m)*m/2)*y=( x=[(a*(1+b)^n)(1-(1+b))/((1-(1+b)^12)-((1+m)*m/2)*y)]/(m+1) r=a(1+b)^n-x*(m+1)+((1+m)*m/2)*y r=200000(1+0.006)^60-(500*6+15)*500 =122110 所以，一次的还款额是122110元 (6)综合上述分析，相比较而言等额还款是一种比较好的还款方式。 特点:每月还款金额相等。 每月贷款利息按月初剩余贷款本金计算并逐月结清。由于每月的还款额相等，因此，在贷款初期每月的还款中，剔除按月结清的利息后，所还的贷款本金就较少;而在贷款后期因贷款本金不断减少、每月的还款额中贷款利息也不断减少，每月所还的贷款本金就较多。适合月收入比较固定，额外支出较小的家庭 由上述计算我们可以知道等额递增还款法，与等额本金还款法想反，每月还款额逐月递增，适合目前还款能力较弱，但是已经预期到未来会逐步增加的人群缺点就是还款压力逐步变大。 1、分期付款一般情况下多是在购买期房是采用，此种情况也称为建筑期付款。购房人交付首期是与开发商签订正式的房屋买卖契约，房屋交付使用时，交齐全部房款，办理产权过户。 2、也有购买现房分期付款的情况。房屋的交付与房价款支付不同时进行， 房屋交付款 前，现金支付完毕在后。 3分期付款与一次性付款比较慢，其短处是，由于分期付款的利息是付款 时间越长，利率越高，因此放款额加在一起会高于一次性付款金额。不过，如果我们将通货膨胀和个人收入增长率及支付能力综合起来比较，分期付款对购房者来讲还是更合算一些。 5(模型结果分析与检验 (1) 在上面计算的过程中，结果都精确到小数后面一位。存在一定的误差，但并不影响数据总体情况。 (2) 将数据与实际情况进行比对，数据合理，不存在较大的误差。 (3) 针对以上数据进行各方面的分析比较，就如何在首期、月供、总利息之间找到一个平衡点。根据实际得到一些结论，出去政策原因，首期应付越多越好，尽量减少贷款额;贷款额一定，还款期限应据实际月收入而定，期限越短，付银行总利息越少;月供中利息 成分逐年减少，本金成分逐年增多。月薪2000元以内，最后选择10年以上期限供楼， 月薪3000元以上，最好选择10年以内期限供楼。 6(模型优缺点及改进方向 (1)优点:比较精确的计算出了还款金额与总利息金额，可帮助购房贷款的人们 提供参考意见。是他们在面对还贷时，不再有盲目性。选择最优的还款方式。 (2)缺点:没有考虑各种政策原因、家庭月收入是否稳定以及银行利率是否会改 变的因素。现实生活中，存在着很多不确定的因素可能影响结果。所以我们 的模型在实际生活应用中需要加以改进。 (3)解决购房贷款中分期付款的问题后，我们还可以尝试着解决购买其他商品(如 汽车、家电)中分期付款的问题。 7.参考文献 《数学建模简明教程》 戴朝寿 孙世良 编著 高等教育出版社 《数学建模》 沈继红 编著 哈尔滨工程大学出版社 1998