二进制转十进制,十进制转二进制的算法

二进制转十进制,十进制转二进制的算法 十 1二进制数和十进制数换算对照表 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 二进制 十进制 0000 0 0011 3 0110 6 1001 9 0001 1 0100 4 0111 7 1010 10 0010 2 0101 5 1000 8 1011 11 采用“二进制数”的算术运算也比较简单，制造成本更经济。二进制的加法运算和乘法运算公式都各有四条规则:加法有0+0=0，0+1=1,1+0,1，1，1,10;乘法有0*0=0，0*1=0， 1*0=0， 1*1=1，而十进制的加法和乘法运算公式从0，0开始到9，9，从0*0开始到9*9各需规则100条。 2(二进制代码 电子计算机中的数是用二进制表示的，在计算机中也采用二进制代码表示字母、数字字符、各种各样的符号、汉字等。在处理信息的过程中，可将若干位的二进制代码组合起来表示各种各样的信息。但由于二进制数不直观，人们在计算机上实际操作时，输入、输出的数使用十进制，而具体转换成二进制编码的工作则由计算机软件系统自动完成。 字母和各种字符在计算机中的传输普遍采用Ascll码 (American Standard Code For lnformation lnterchange)，即美国信息交换码，它用了7位二进制数来表达字母和各种常用字符(见附录)。 对于汉字信息的表示比较复杂，我国有汉字几万个，常用的汉字也有7000多个，为了统一，我国制定了汉字编码标准，规定了一、二级汉字共6763个，用两个字节(16位二进制代码)来表示一个汉字进制转二进制: 用2辗转相除至结果为1 将余数和最后的1从下向上倒序写 就是结果 例如302 302/2 = 151 余0 151/2 = 75 余1 75/2 = 37 余1 37/2 = 18 余1 18/2 = 9 余0 9/2 = 4 余1 4/2 = 2 余0 2/2 = 1 余0 故二进制为100101110 二进制转十进制 从最后一位开始算，依次列为第0、1、2...位 第n位的数(0或1)乘以2的n次方 得到的结果相加就是答案 例如:01101011.转十进制: 第0位:1乘2的0次方=1 1乘2的1次方=2 0乘2的2次方,0 1乘2的3次方,8 0乘2的4次方,0 1乘2的5次方,32 1乘2的6次方,64 0乘2的7次方,0 然后:1，2，0 ，8，0，32，64，0,107( 二进制01101011,十进制107( 一、二进制数转换成十进制数 由二进制数转换成十进制数的基本做法是，把二进制数首先写成加权系数展开式，然后按十进制加法规则求和。这种做法称为"按权相加"法。 二、十进制数转换为二进制数 十进制数转换为二进制数时，由于整数和小数的转换不同，所以先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后，再加以合并。 1. 十进制整数转换为二进制整数 十进制整数转换为二进制整数采用"除2取余，逆序排列"法。具体做法是:用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数;再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为零时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。 2(十进制小数转换为二进制小数 十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。具体做法是:用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。 然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。 回答者:HackerKinsn - 试用期 一级 2-24 13:31 1(二进制与十进制的转换 (1)二进制转十进制
方法:"按权展开求和" 例: (1011.01)2 ,(1×23，0×22，1×21，1×20，0×2,1，1×2,2)10 ,(8，0，2，1，0，0.25)10 ,(11.25)10 (2)十进制转二进制 ? 十进制整数转二进制数:"除以2取余，逆序输出" 例: (89)10,(1011001)2 2 89 2 44 …… 1 2 22 …… 0 2 11 …… 0 2 5 …… 1 2 2 …… 1 2 1 …… 0 0 …… 1 ? 十进制小数转二进制数:"乘以2取整，顺序输出" 例: (0(625)10= (0(101)2 0(625 X 2 1(25 X 2 0(5 X 2 1(0 2(八进制与二进制的转换 例:将八进制的37.416转换成二进制数: 37 ( 4 1 6 011 111 (100 001 110 即:(37.416)8 ,(11111.10000111)2 例:将二进制的10110.0011 转换成八进制: 0 1 0 1 1 0 . 0 0 1 1 0 0 2 6 . 1 4 即:(10110.011)2 ,(26.14)8 3(十六进制与二进制的转换
例:将十六进制数5DF.9 转换成二进制: 5 D F ( 9 0101 1101 1111(1001 即:(5DF.9)16 ,(10111011111.1001)2 例:将二进制数1100001.111 转换成十六进制: 0110 0001 ( 1110 6 1 ( E 即:(1100001.111)2 ,(61.E)16 十六进制数互相转换 二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算，每个C， C++程序员都能做到看见二进制数，直接就能转换为十六进制数，反之亦然。 我们也一样，只要学完这一小节，就能做到。 首先我们来看一个二进制数:1111，它是多少呢, 你可能还要这样计算:1 * 20 + 1 * 21 + 1 * 22 + 1 * 23 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。 然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高 位往低位记，:8、4、2、1。即，最高位的权值为23 , 8，然后依次是 22 , 4，21,2， 20 , 1。 记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10 进制值。 下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值(中间略过部分) 仅4位的2进制数 快速计算方法 十进制值 十六进值 1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F 1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E 1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C 1011 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11 B 1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A 1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9 9 .... 0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 1 0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0 6.5 原码、反码、补码 结束了各种进制的转换，我们来谈谈另一个话:原码、反码、补码。 我们已经知道计算机中，所有数据最终都是使用二进制数表达。 我们也已经学会如何将一个10进制数如何转换为二进制数。 不过，我们仍然没有学习一个负数如何用二进制表达。 比如，假设有一 int 类型的数，值为5，那么，我们知道它在计算机中表示为: 00000000 00000000 00000000 00000101 5转换成二制是101，不过int类型的数占用4字节(32位)，所以前面填了一 堆0。 现在想知道，-5在计算机中如何表示, 在计算机中，负数以其正值的补码形式表达。 什么叫补码呢,这得从原码，反码说起。 原码:一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原 码。 比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原码。 反码:将二进制数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制 数的反码。 取反操作指:原为1，得0;原为0，得1。(1变0; 0变1) 比如:将00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反，得11111111 11111111 11111111 11111010。 称:11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反码。 反码是相互的，所以也可称: 11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互为反码。 补码:反码加1称为补码。 也就是说，要得到一个数的补码，先得到反码，然后将反码加上1，所得数称为补码。 比如:00000000 00000000 00000000 00000101 的反码是:11111111 11111111 11111111 11111010。 那么，补码为: 11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011 所以，-5 在计算机中表达为:11111111 11111111 11111111 11111011。转换为十六进制:0xFFFFFFFB。 再举一例，我们来看整数-1在计算机中如何表示。 假设这也是一个int类型，那么: 1、先取1的原码:00000000 00000000 00000000 00000001 2、得反码: 11111111 11111111 11111111 11111110 3、得补码: 11111111 11111111 11111111 11111111 这是一节“前不着村后不着店”的课。不同进制之间的转换纯粹是数学上的计算。不过，你不必担心会有么复杂，无非是乘或除的计算。 生活中其实很多地方的计数方法都多少有点不同进制的影子。 比如我们最常用的10进制，其实起源于人有10个指头。如果我们的祖先始终没有摆脱手脚不分的境况，我想我们现在一定是在使用20进制。 至于二进制……没有袜子称为0只袜子，有一只袜子称为1只袜子，但若有两袜子，则我们常说的是:1双袜子。 生活中还有:七进制，比如星期。十六进制，比如小时或“一打”，六十进制，比如分钟或角度…… 6.1 为什么需要八进制和十六进制? 编程中，我们常用的还是10进制……必竟C/C++是高级语言。 比如: int a = 100,b = 99; 不过，由于数据在计算机中的表示，最终以二进制的形式存在，所以有时候使用二进制，可以更直观地解决问题。 但，二进制数太长了。比如int 类型占用4个字节，32位。比如100，用int类型的二进制数表达将是: 0000 0000 0000 0000 0110 0100 面对这么长的数进行思考或操作，没有人会喜欢。因此，C,C++ 没有提供在代码直接写二进制数的方法。 用16进制或8进制可以解决这个问题。因为，进制越大，数的表达长度也就越短 。不过，为什么偏偏是16或8进制，而不其它的，诸如9或20进制呢, 2、8、16，分别是2的1次方，3次方，4次方。这一点使得三种进制之间可以非常直接地互相转换。8进制或16进制缩短了二进制数，但保持了二进制数的表达特点。在下面的关于进制转换的课程中，你可以发现这一点。 6.2 二、八、十六进制数转换到十进制数 6.2.1 二进制数转换为十进制数 二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方…… 所以，设有一个二进制数:0110 0100，转换为10进制为: 下面是竖式: 0110 0100 换算成 十进制 0第0位 0 * 2 = 0 1第1位 0 * 2 = 0 2第2位 1 * 2 = 4 3第3位 0 * 2 = 0 4第4位 0 * 2 = 0 5第5位 1 * 2 = 32 6第6位 1 * 2 = 64 7第7位 0 * 2 = 0 ， --------------------------- 100 用横式计算为: 012345670 * 2+ 0 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 + 0 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 + 0 * 2 = 100 0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位: 23561 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 = 100 6.2.2 八进制数转换为十进制数 八进制就是逢8进1。 八进制数采用 0,7这八数来表达一个数。 八进制数第0位的权值为8的0次方，第1位权值为8的1次方，第2位权值为8的2次方…… 所以，设有一个八进制数:1507，转换为十进制为: 用竖式表示: 1507换算成十进制。 0 = 7 第0位 7 * 8 1第1位 0 * 8 = 0 2第2位 5 * 8 = 320 3第3位 1 * 8 = 512 ， -------------------------- 839 同样，我们也可以用横式直接计算: 0123 =7 * 8 + 0 * 8 + 5 * 8 + 1 * 8839 结果是，八进制数 1507 转换成十进制数为 839 6.2.3 八进制数的表达方法 C,C++语言中，如何表达一个八进制数呢,如果这个数是 876,我们可以断定它不是八进制数，因为八进制数中不可能出7以上的阿拉伯数字。但如果这个数是123、是567，或12345670，那么它是八进制数还是10进制数，都有可能。 所以,C,C++规定，一个数如果要指明它采用八进制，必须在它前面加上一个0 ，如:123是十进制，但 0123则表示采用八进制。这就是八进制数在C、C++中的表达方法。 由于C和C++都没有提供二进制数的表达方法，所以，这里所学的八进制是我们学习的，CtC++语言的数值表达的第二种进制法。 现在，对于同样一个数，比如是100，我们在代码中可以用平常的10进制表达，例如在变量初始化时: int a = 100; 我们也可以这样写: int a = 0144; //0144是八进制的100;一个10进制数如何转成8进制，我们后面会学到。 千万记住，用八进制表达时，你不能少了最前的那个0。否则计算机会通通当成10进制。不过，有一个地方使用八进制数时，却不能使用加0，那就是我们前面学的用于表达字符的“转义符”表达法。 6.2.4 八进制数在转义符中的使用 我们学过用一个转义符'\'加上一个特殊字母来表示某个字符的方法，如:'\n'表示换行(line)，而'\t'表示Tab字符，'\''则表示单引号。今天我们又学习了一种使用转义符的方法:转义符'\'后面接一个八进制数，用于表示ASCII码等于该值的字符。 比如，查一下第 5章中的ASCII码表 ，我们找到问号字符(?)的ASCII值是63，那么我们可以把它转换为八进值:77，然后用 '\77'来表示'?'。由于是八进制，所以本应写成 '\077'，但因为C,C++规定不允许使用斜杠加10进制数来表示字符，所以这里的0可以不写。 事实上我们很少在实际编程中非要用转义符加八进制数来表示一个字符，所以，6.2.4小节的内容，大家仅仅了解就行。 6.2.5 十六进制数转换成十进制数 2进制，用两个阿拉伯数字:0、1; 8进制，用八个阿拉伯数字:0、1、2、3、4、5、6、7; 10进制，用十个阿拉伯数字:0到9; 16进制，用十六个阿拉伯数字……等等，阿拉伯人或说是印度人，只发明了10个数字啊, 16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这五个字母来分别表示 10，11，12，13，14，15 。字母不区分大小写。 十六进制数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方…… 所以，在第N(N从0开始)位上，如果是是数 X (X 大于等于0，并且X小于等于 15，即:F)表示的大小为 X * 16的N次方。 假设有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制呢, 用竖式计算: 2AF5换算成10进制: 0 = 5 第0位: 5 * 16 1第1位: F * 16 = 240 2第2位: A * 16 = 2560 3第3位: 2 * 16 = 8192 ， ------------------------------------- 10997 直接计算就是: 01235 * 16 + F * 16 + A * 16+ 2 * 16 = 10997 (别忘了，在上面的计算中，A表示10，而F表示15) 现在可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同。 假设有人问你，十进数 1234 为什么是 一千二百三十四,你尽可以给他这么一个算式: 32101234 = 1 * 10 + 2 * 10 + 3 * 10 + 4 * 10 6.2.6 十六进制数的表达方法 如果不使用特殊的写形式，16进制数也会和10进制相混。随便一个数:9876，就看不出它是16进制或10进制。 C，C++规定，16进制数必须以 0x开头 。比如 0x1表示一个16进制数。而1则表示一个十进制。另外如:0xff,0xFF,0X102A,等等。其中的x也也不区分大小写。(注意:0x中的0是数字0，而不是字母O) 以下是一些用法示例: int a = 0x100F; int b = 0x70 + a; 至此，我们学完了所有进制:10进制，8进制，16进制数的表达方式。最后一点很重要，C/C++中，10进制数有正负之分，比如12表示正12，而-12表示负12，;但8进制和16进制只能用达无符号的正整数 ，如果你在代码中里:-078，或者写:-0xF2,C,C++并不把它当成一个负数。 6.2.7 十六进制数在转义符中的使用 转义符也可以接一个16进制数来表示一个字符。如在6.2.4小节中说的 '?' 字符，可以有以下表达方式: '?' //直接输入字符 '\77' //用八进制，此时可以省略开头的0 '\0x3F' //用十六进制 同样，这一小节只用于了解。除了空字符用八进制数 '\0' 表示以外，我们很少用后两种方法表示一个字符。 6.3 十进制数转换到二、八、十六进制数 6.3.1 10进制数转换为2进制数 给你一个十进制，比如:6，如果将它转换成二进制数呢, 10进制数转换成二进制数，这是一个连续除2的过程: 把要转换的数，除以2，得到商和余数， 将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。 听起来有些糊涂,我们结合例子来说明。比如要转换6为二进制数。 “把要转换的数，除以2，得到商和余数”。 那么: 要转换的数是6， 6 ? 2，得到商是3，余数是0 。 (不要告诉我你不会计算6?3～) “将商继续除以2,直到商为0……” 现在商是3，还不是0，所以继续除以2。 那就: 3 ? 2, 得到商是1,余数是1 。 “将商继续除以2，直到商为0……” 现在商是1，还不是0，所以继续除以2。 那就: 1 ? 2, 得到商是0，余数是1 (拿笔纸算一下，1?2是不是商0余1!) “将商继续除以2，直到商为0……最后将所有余数倒序排列” 好极～现在商已经是0。 我们三次计算依次得到余数分别是:0、1、1，将所有余数倒序排列，那就是:110了～ 6转换成二进制，结果是110。 把上面的一段改成用表格来表示，则为: 计算过被除数 商 余数 程 6 6/2 3 0 3 3/2 1 1 1 1/2 0 1 (在计算机中，?用 / 来表示) 如果是在考试时，我们要画这样表还是有点费时间，所更常见的换算过程是使用下图的连除: (图:1) 请大家对照图，表，及文字说明，并且自已拿笔计算一遍如何将6转换为二进制数。 说了半天，我们的转换结果对吗,二进制数110是6吗,你已经学会如何将二进制数转换成10进制数了，所以请现在就计算一下110换成10进制是否就是6。 6.3.2 10进制数转换为8、16进制数 非常开心，10进制数转换成8进制的方法，和转换为2进制的方法类似，惟一变化:除数由2变成8。 来看一个例子，如何将十进制数120转换成八进制数。 用表格表示: 计算过被除数 商 余数 程 120 120/8 15 0 15 15/8 1 7 1 1/8 0 1 120转换为8进制，结果为:170。 非常非常开心，10进制数转换成16进制的方法，和转换为2进制的方法类似，惟一变化:除数由2变成16。 同样是120，转换成16进制则为: 计算过被除数 商 余数 程 120 120/16 7 8 7 7/16 0 7 120转换为16进制，结果为:78。 请拿笔纸，采用(图:1)的形式，演算上面两个表的过程。 6.4 二、十六进制数互相转换 二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算，每个C，C++程序员都能做到看见二进制数，直接就能转换为十六进制数，反之亦然。 我们也一样，只要学完这一小节，就能做到。 首先我们来看一个二进制数:1111，它是多少呢, 0123你可能还要这样计算:1 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2+ 1 * 2 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。 然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，:8、4、2、1。 32210即，最高位的权值为2, 8，然后依次是 2 , 4， ,2， 2 , 1。 记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。 下面列出四位二进制数 xxxx 所有可能的值(中间略过部分) 仅4位的2进制数 快速计算方法 十进制值 十六进值 1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F 1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E 1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C 1011 = 8 + 4 + 0 + 1 = 11 B 1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A 1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 10 9 .... 0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 1 0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0 二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。 如(上行为二制数，下面为对应的十六进制): 1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011 F D ， A 5 ， 9 B 反过来，当我们看到 FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢, 先转换F: 看到F，我们需知道它是15(可能你还不熟悉A,F这五个数)，然后15如何用8421凑呢,应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 :1111。 接着转换 D: 看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢,应该是:8 + 2 + 1,即:1011。 所以,FD转换为二进制数，为: 1111 1011 由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成 16进制，然后再转换成2进制。 比如，十进制数 1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我 们可以先除以16，得到16进制数: 计算过被除数 商 余数 程 1234/11234 77 2 6 77 77/16 4 13 (D) 4 4/16 0 4 结果16进制为: 0x4D2 然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式: 0100 1011 0010。 其中对映关系为: 0100 -- 4 1011 -- D 0010 -- 2 同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先 将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10 进制。 下面举例一个int类型的二进制数: 01101101 11100101 10101111 00011011 我们按四位一组转换为16进制: 6D E5 AF 1B 6.5 原码、反码、补码 结束了各种进制的转换，我们来谈谈另一个话题:原码、反码、补码。 我们已经知道计算机中，所有数据最终都是使用二进制数表达。 我们也已经学会如何将一个10进制数如何转换为二进制数。 不过，我们仍然没有学习一个负数如何用二进制表达。 比如，假设有一 int 类型的数，值为5，那么，我们知道它在计算机中表示为: 00000000 00000000 00000000 00000101 5转换成二制是101，不过int类型的数占用4字节(32位)，所以前面填了一堆0。 现在想知道，-5在计算机中如何表示, 在计算机中，负数以其正值的补码形式表达 。 什么叫补码呢,这得从原码，反码说起。 原码:一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原码。 比如 00000000 00000000 00000000 00000101 是 5的 原码。 反码:将二进制数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制数的反码。 取反操作指:原为1，得0;原为0，得1。(1变0; 0变1) 比如:将00000000 00000000 00000000 00000101每一位取反，得11111111 11111111 11111111 11111010。 称:11111111 11111111 11111111 11111010 是 00000000 00000000 00000000 00000101 的反码。 反码是相互的，所以也可称: 11111111 11111111 11111111 11111010 和 00000000 00000000 00000000 00000101 互为反码。 补码:反码加1称为补码。 也就是说，要得到一个数的补码，先得到反码，然后将反码加上1，所得数称为补码。 比如:00000000 00000000 00000000 00000101 的反码是:11111111 11111111 11111111 11111010。 那么，补码为: 11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 11111111 11111111 11111111 11111011 所以，-5 在计算机中表达为:11111111 11111111 11111111 11111011。转换为十六进制:0xFFFFFFFB。 再举一例，我们来看整数-1在计算机中如何表示。 假设这也是一个int类型，那么: 1、先取1的原码:00000000 00000000 00000000 00000001 2、得反码: 11111111 11111111 11111111 11111110 3、得补码: 11111111 11111111 11111111 11111111 可见，,1在计算机里用二进制表达就是全1。16进制为:0xFFFFFF。 一切都是纸上说的……说,1在计算机里表达为0xFFFFFF，我能不能亲眼看一看呢,当然可以。利用C++ Builder的调试功能，我们可以看到每个变量的16进制值。